ch7FIR数字滤波器的设计.ppt

主要内容7.1 线性相位线性相位FIR DF的条件和特点的条件和特点7.2 利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR DF7.3 利用频率采样法设计利用频率采样法设计FIR DF7.4 IIR和和FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较第七章第七章 FIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计引言引言一、一、FIR的优点（相对于的优点（相对于IIR 滤波器）滤波器）1 1）FIR可以设计成可以设计成严格的线性相位严格的线性相位，而，而IIR滤波器优良滤波器优良的幅频特性是以非线性相位作为代价的；的幅频特性是以非线性相位作为代价的；2 2）FIR滤波器可以用滤波器可以用FFT技术技术来设计任意形状的幅频特来设计任意形状的幅频特性滤波器；性滤波器；3 3）FIR滤波器总是滤波器总是稳定稳定的。的。二、二、FIR的主要缺点的主要缺点：1 1）h(n)长，阶数长，阶数N比较高，运算量比较大，因而在实现比较高，运算量比较大，因而在实现上需要比较多的运算单元和存储单元；上需要比较多的运算单元和存储单元；2 2）幅频特性不是很理想。）幅频特性不是很理想。FIR的优点及的优点及FFT技术的使用，技术的使用，使得它在各个领域的信号处理使得它在各个领域的信号处理中得到广泛的应用。中得到广泛的应用。系统函数描述：系统函数描述：差分方程描述：差分方程描述：三、三、FIR滤波器的设计任务滤波器的设计任务 FIR滤波器的设计任务就是按照要求的频率特性，滤波器的设计任务就是按照要求的频率特性，以一定的准则选取式中的以一定的准则选取式中的多项式系数多项式系数h(n)，即滤波器，即滤波器的单位冲激响应及阶数的单位冲激响应及阶数N，使传输函数，使传输函数H(ejw)满足技满足技术指标。这里技术指标除了术指标。这里技术指标除了幅度特性幅度特性要求以外，更重要求以外，更重要的要求是保证要的要求是保证H(z)具有具有线性相位线性相位。线性相位线性相位 FIR DF 的设计条件和特点的设计条件和特点是是w的实函数，称为幅度特性的实函数，称为幅度特性为了保证为了保证H(z)具有线性相位，单位取样响应具有线性相位，单位取样响应h(n)应满足的条件？应满足的条件？满足线性相位条件下，幅度特性具有的特点？满足线性相位条件下，幅度特性具有的特点？FIR DF 的频率响应：的频率响应：称为相位特性称为相位特性是正值，称为幅频特性是正值，称为幅频特性称为相频特性称为相频特性H(ejw)线性相位是指线性相位是指(w)是是w的线性函数。的线性函数。(w)=-w （为常数为常数）第一类线性相位第一类线性相位:第二类线性相位第二类线性相位:(w)=0-w（0为起始相位为起始相位）推导第一类线性相位，单位取样响应应满足的条件：推导第一类线性相位，单位取样响应应满足的条件：设设h(n)是实序列是实序列：第一类第一类线性相线性相位位两边取两边取tan：一、条件一、条件 要线性相位，应满足上式。要线性相位，应满足上式。要满足上式，要满足上式，h(n)应满足怎样的条件？应满足怎样的条件？第一类线性相位：第一类线性相位：用类似方法可证明用类似方法可证明第二类线性相位第二类线性相位要求：要求：h(n)对对(N-1)/2奇对称奇对称偶数偶数奇数奇数N偶数偶数奇数奇数N二二、特点、特点共有共有4种情况，讨论种情况，讨论4种情况下幅度特性的特点。种情况下幅度特性的特点。第一种情况第一种情况:h(n)=h(N-1-n)，N是奇数是奇数第一种情况第一种情况:h(n)=h(N-1-n)，N是奇数是奇数因为因为 cos(wn)对对w=0,2 偶对称，偶对称，所以所以Hg(w)对这些频率偶对称。对这些频率偶对称。第一种情况第一种情况:h(n)=h(N-1-n)，N是奇数是奇数可用于设计各种滤波器。可用于设计各种滤波器。则幅度特性和相位特性分别为：则幅度特性和相位特性分别为：Hg(w)对对w=是奇对称，且是奇对称，且 Hg()=0。第二种情况第二种情况:h(n)=h(N-1-n)，N是偶数是偶数对对=奇对称奇对称不能用这种情况设计不能用这种情况设计w=处处H(ejw)不为不为0的滤波器，的滤波器，如如高通、带阻滤波器高通、带阻滤波器。第三种情况第三种情况:h(n)=-h(N-1-n)，N是奇数是奇数只能用于只能用于带通滤波器带通滤波器的设计。的设计。第四种情况第四种情况:h(n)=-h(N-1-n)，N是偶数是偶数只能用于只能用于高通、带通滤波器高通、带通滤波器的设计。的设计。以上四种频率特性可参考教材以上四种频率特性可参考教材P198：表：表。从四种频率特性可以看出，对从四种频率特性可以看出，对FIR DF，只要，只要 h(n)具有对称性，则一定具有线性相位特征。具有对称性，则一定具有线性相位特征。而当而当h(n)奇对称时，通过滤波器的所有频率奇对称时，通过滤波器的所有频率分量都将分量都将产生产生90 的相移的相移。利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器|Hd(ejw)|-2 -wc wc 2 w1、设计原则、设计原则 FIR数字滤波器的设计方法主要是建立在数字滤波器的设计方法主要是建立在 对理对理想滤波器频率特性作某种近似的基础上的。例如，想滤波器频率特性作某种近似的基础上的。例如，设计一低通设计一低通FIR DF，设计的基础是依据理想低通，设计的基础是依据理想低通DF的频率特性：的频率特性：2、设计思路和方法：、设计思路和方法：1)由理想的频率响应由理想的频率响应Hd(ejw)得到理想的得到理想的hd(n)；2)对对hd(n)加窗；加窗；3)由由hd(n)移位得到因果、有限长的单位取样响应移位得到因果、有限长的单位取样响应h(n)。以上述要求为例：以上述要求为例：设已知设已知|Hd(ejw)|=1，()=0，则其逆变换（或者说，则其逆变换（或者说理想低通数字滤波器的单位取样响应）：理想低通数字滤波器的单位取样响应）：hd(n)的特点：的特点：特特 点：点：无限长无限长 非因果非因果 偶对称（优点）偶对称（优点）解决方法：解决方法：加窗截短加窗截短 移位移位(N-1)/2 保留保留h(n)=hd(n-(N-1)/2)此时的此时的h(n)是因果的、线性相位，且为有限长是因果的、线性相位，且为有限长（长度为（长度为N）。）。即为所要设计的滤波器的系统函数，其频率响应即为所要设计的滤波器的系统函数，其频率响应就会近似理想低通滤波器的频响就会近似理想低通滤波器的频响Hd(ejw)，而且，而且是线性相位的。是线性相位的。对对h(n)求求Z变换：变换：总结总结：截取无限长序列：截取无限长序列hd(n)的一段作为的一段作为FIR滤波器的冲激响应，只要乘以一窗函数滤波器的冲激响应，只要乘以一窗函数 w(n)，只不过在这里，选择的窗函数，只不过在这里，选择的窗函数 w(n)=RN(n)，是一矩形窗函数。是一矩形窗函数。显然，不同的截取长度显然，不同的截取长度N及不同的及不同的窗函数窗函数，会给设计的滤波器带来不同的特性。为此，以理会给设计的滤波器带来不同的特性。为此，以理想低通滤波器为例说明序列长度想低通滤波器为例说明序列长度N和窗函数的影和窗函数的影响。响。3.矩形加窗滤波器特性矩形加窗滤波器特性a=(N-1)/2也就是事先给一线性相位，也就是事先给一线性相位，幅频特性如图：幅频特性如图：w-wc wc|Hd(ejw)|取取Hd(ejw)的逆变换得的逆变换得hd(n)：为了省去每次的移位，可以令为了省去每次的移位，可以令hd(n)以以n=a为对称，为对称，a=(N-1)/2如果选择的函数为如果选择的函数为 矩形窗矩形窗w(n)=RN(n)=1 0 n N-1 0 其它其它 矩形窗的矩形窗的频率特性频率特性为为w=0一半波形的积分一半波形的积分最大的正峰最大的正峰最大的负峰最大的负峰比较比较(a)和和(f)的特性可以看出：的特性可以看出：（1）经过矩形窗函数的加权后，理想滤波器陡直的边缘）经过矩形窗函数的加权后，理想滤波器陡直的边缘被加宽，也就是被加宽，也就是在在w=wc出现了过渡带出现了过渡带，其值大约为，其值大约为RN(w)的主瓣宽度的主瓣宽度4 /N。（2）通带内出现起伏通带内出现起伏，最大峰值在，最大峰值在 wc-2/N处，起伏为处，起伏为0.75 dB=20lg(1+0.0895)（第一旁瓣峰值为最大幅度的（第一旁瓣峰值为最大幅度的8.95%，这种效应称为不连续点上的，这种效应称为不连续点上的Gipps效应）效应）阻带衰阻带衰减不为减不为0，最大旁瓣为第一旁瓣，其值为，最大旁瓣为第一旁瓣，其值为-21dB=20lg(0.0895);在在 过渡带过渡带两侧附近产生起伏的两侧附近产生起伏的“肩肩峰峰”和波纹，是由窗函数频响的旁瓣引起的，旁瓣相对和波纹，是由窗函数频响的旁瓣引起的，旁瓣相对值越大，起伏就越剧烈。值越大，起伏就越剧烈。以上两点就是对以上两点就是对hd(n)用矩形窗截短后，在频域的反应。用矩形窗截短后，在频域的反应。实际上矩形窗的频率特性如图实际上矩形窗的频率特性如图(b)，它有比较窄的，它有比较窄的主瓣宽度（两零点间的宽度为主瓣宽度（两零点间的宽度为 w=4 /N,相当于过相当于过渡带宽度，过渡带越窄越好）渡带宽度，过渡带越窄越好），但旁瓣电平比较高，但旁瓣电平比较高，第一旁瓣电平为，阻带衰减比较慢。第一旁瓣电平为，阻带衰减比较慢。（3）增加截取长度）增加截取长度N，将缩小窗函数的主瓣宽度，将缩小窗函数的主瓣宽度4/N，但却不能减小旁瓣相对值。旁瓣与主瓣的相对，但却不能减小旁瓣相对值。旁瓣与主瓣的相对值主要取决于窗函数的形状。因此，增加值主要取决于窗函数的形状。因此，增加N，只能减，只能减小过渡带宽度，不能改善滤波器通带的平稳性和小过渡带宽度，不能改善滤波器通带的平稳性和 阻带阻带的衰减。的衰减。因此，减少通带内起伏和加大阻带的衰减只能从窗因此，减少通带内起伏和加大阻带的衰减只能从窗函数的形状上找解决方法。函数的形状上找解决方法。4.几种窗函数主要指标，类型几种窗函数主要指标，类型（1）矩形窗）矩形窗其频率响应为：其频率响应为：主瓣宽为主瓣宽为4/N,第一旁瓣电平为第一旁瓣电平为-13dB（2）三角形窗（）三角形窗（Bartlett Window）频率响应为：频率响应为：主瓣宽为主瓣宽为8/N,第一旁瓣电平为第一旁瓣电平为-26dB（3）汉宁窗）汉宁窗(Hanning)（4）哈明窗（）哈明窗（Hamming）可合并可合并在一起在一起其频谱为其频谱为广义哈明窗广义哈明窗 广义哈明窗的频谱由三部分组成，由于三部分的相广义哈明窗的频谱由三部分组成，由于三部分的相互叠加，使旁瓣相互抵消，更多的能量集中在主瓣中。互叠加，使旁瓣相互抵消，更多的能量集中在主瓣中。为矩形窗的频谱为矩形窗的频谱二者之瓣宽度为二者之瓣宽度为(2 /N)4=8 /N 汉宁汉宁：最大旁瓣电平：最大旁瓣电平-31dB 哈明哈明：-41 dB这两种窗函数与矩形窗相比：这两种窗函数与矩形窗相比：通常内起伏变小，阻带通常内起伏变小，阻带衰减变大（优点），但代价是过渡带加宽。衰减变大（优点），但代价是过渡带加宽。（5）布莱克曼窗）布莱克曼窗(Blackman)主瓣宽度为主瓣宽度为6 2 /N=12 /N最大旁瓣电平为最大旁瓣电平为-57dB旁瓣进一步抵消阻带衰减进一步增加，过渡带是矩形旁瓣进一步抵消阻带衰减进一步增加，过渡带是矩形窗过渡带的三倍。窗过渡带的三倍。比较各窗函数，可得：矩形窗具有最窄的比较各窗函数，可得：矩形窗具有最窄的 主瓣，但主瓣，但也有最大的旁瓣、峰值和最慢的衰减速度。汉宁窗和哈明也有最大的旁瓣、峰值和最慢的衰减速度。汉宁窗和哈明窗的主瓣稍宽，但有较小的旁瓣和衰减速度，是较为常用窗的主瓣稍宽，但有较小的旁瓣和衰减速度，是较为常用的函数。的函数。称为第一类修正零称为第一类修正零阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数（6）凯塞）凯塞贝塞尔窗贝塞尔窗(kaiserBasel)一般一般 I0(x)取取1525次，便可满足精度要求次，便可满足精度要求 参数可以控制窗的形状，典型数据为参数可以控制窗的形状，典型数据为4 9 加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小。加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小。窗函数的类型窗函数的类型：基本上两大类：基本上两大类1）结构性窗结构性窗：简单的窗函数经过相加，相乘或卷积：简单的窗函数经过相加，相乘或卷积来合成一个性能较好的窗。来合成一个性能较好的窗。例：前例：前5种种，三角形是矩形的卷积，三角形是矩形的卷积 汉宁是三个矩形的叠加：汉宁是三个矩形的叠加：2）按优化准则构造的窗按优化准则构造的窗：Kaiser窗；窗；高斯窗高斯窗4、各种窗函数的技术指标总结、各种窗函数的技术指标总结：用表表示（：用表表示（P211）1)求理想滤波器的单位取样响应求理想滤波器的单位取样响应hd(n)A.已给定已给定Hd(ejw)5、窗函数法的设计步骤、窗函数法的设计步骤四种理想滤波器的频响函数：四种理想滤波器的频响函数：e-jwHd(ejw)=0 低通低通 e-jwHd(ejw)=0 高通高通四种理想滤波器的频响函数：四种理想滤波器的频响函数：e-jwHd(ejw)=0 带通带通 e-jwHd(ejw)=0 带阻带阻B.只给通带、阻带衰减和边界频率只给通带、阻带衰减和边界频率C.可选用理想滤波器做为逼近函数：可选用理想滤波器做为逼近函数：2）根据阻带衰减选择窗函数）根据阻带衰减选择窗函数w(n)，根据允许的过渡带，根据允许的过渡带宽度选择相应的序列长度宽度选择相应的序列长度N。A.选择窗函数选择窗函数w(n)：根据阻带衰减，查表（根据阻带衰减，查表（P211）B.选择序列长度选择序列长度N：设允许的过渡带用设允许的过渡带用 w=wp-ws表示，它近似等于表示，它近似等于所选窗函数的所选窗函数的过渡带过渡带宽度宽度Bt（查表查表）：）：w=Bt3）由窗函数）由窗函数w(n)和和hd(n)求出滤波器的单位取样响应。求出滤波器的单位取样响应。h(n)=hd(n)w(n)4）验证指标）验证指标6、设计举例、设计举例例例 1：分别用矩形窗和汉宁窗设计：分别用矩形窗和汉宁窗设计FIR低通滤波器，设低通滤波器，设N=11，wc rad/s。解解：1)用理想低通作为逼近滤波器，用理想低通作为逼近滤波器，用矩形窗设计用矩形窗设计 2)用汉宁窗设计用汉宁窗设计例例 2：要求设计一低通滤波器，给定采样频率：要求设计一低通滤波器，给定采样频率 sam=2104rad/s。通带截止频率。通带截止频率 p=2103rad/s，阻带截止频率，阻带截止频率 s=21.5 103rad/s,阻带衰减不低于阻带衰减不低于-50dB。解解:(1)确定确定hd(n)先求先求wc：由过渡带可得低通过滤器的：由过渡带可得低通过滤器的3dB截止频率截止频率 c=(p+s)/2=2.5103rad/s。则则 解解:(2)阻带衰减阻带衰减50dB，可选哈明窗。，可选哈明窗。过渡带带宽：过渡带带宽：w=2/sam(s-p)(3)求滤波器冲激响应求滤波器冲激响应 用频率采样法设计用频率采样法设计FIR滤波器滤波器1.设计原理设计原理窗函数设计法是从时域出发的一种设计法。有时窗函数设计法是从时域出发的一种设计法。有时技术指标是在频域给出的，用频率采样法更直接。技术指标是在频域给出的，用频率采样法更直接。设待设计的设待设计的FIR滤波器的频率响应用滤波器的频率响应用Hd(ejw)表示，表示，对它在对它在 间等间隔采样间等间隔采样N点，得到点，得到H(k)H(k)反反FFT得得h(n)，将，将h(n)作为滤波器的单位取样响应，作为滤波器的单位取样响应，取取Z变换即可。实际上变换即可。实际上对对H(k)通过内插关系可得通过内插关系可得：z=ejw：式式式中式中分析分析H(ejw)和和Hd(ejw)之间的误差：之间的误差：由由式可知：在采样点式可知：在采样点w=2 k/N，k=0,1,2,3 N-1,(w-2 k/N)=1.因此在采样点处因此在采样点处H(ejwk)和和H(k)相等，相等，误差为零，即设计的滤波器特征与要求的特征完全一误差为零，即设计的滤波器特征与要求的特征完全一致，而在采样点之间致，而在采样点之间H(ejw)的特征是由各内插函数相的特征是由各内插函数相互叠加的结果。互叠加的结果。因此引起误差，导致通带和阻带都存在起伏。在间断因此引起误差，导致通带和阻带都存在起伏。在间断点处，误差最大，且在附近形成振荡特性。为了改善点处，误差最大，且在附近形成振荡特性。为了改善滤波器的特性，可以对频响间断点附近区间内插一个滤波器的特性，可以对频响间断点附近区间内插一个或几个过渡采样点，使不连续点变成缓慢过渡。或几个过渡采样点，使不连续点变成缓慢过渡。频率采样法设计流程图：频率采样法设计流程图：确定希望逼近的确定希望逼近的Hd(ejw)估算采样点数估算采样点数N及过渡带采样点数及过渡带采样点数m采样：采样：hd(k)=Hd(ej2 k/N)k=0,1.N插入过渡带采样点插入过渡带采样点h(n)=IDFTHd(k),k=0,1.NH(ejw)=FTh(n)H(ejw)满足要求？满足要求？输出输出h(n)或或H(z),画网络结构图画网络结构图增加过渡带采样增加过渡带采样点数改变点数改变N值值2.结论结论1）原则上讲，频率采样法来适合设计任意频响）原则上讲，频率采样法来适合设计任意频响特性的特性的FIR滤波器，但最常用的还是具有片段常滤波器，但最常用的还是具有片段常数频响特性的滤波器。数频响特性的滤波器。2）用频率采样法来设计滤波器是通过频率取样）用频率采样法来设计滤波器是通过频率取样点的内插函数来逼近要求的滤波特性，设计比较点的内插函数来逼近要求的滤波特性，设计比较死板，不够灵活。死板，不够灵活。