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三角形中位线定理【学习目标】1.理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理2.掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4 个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1、如图，已知P、R 分别是长方形ABCD 的边 BC、CD上的点，E、F 分别是 PA、PR的中点，点 P在 BC上从 B向 C移动，点 R不动，那么下列结论成立的是（）A线段 EF的长逐渐增大B线段 EF的长逐渐变小C线段 EF的长不变D无法确定【答案】C；【解析】连 AR，由 E、F分别为 PA，PR的中点知 EF为 PAR的中位线,则12EFAR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形举一反三：【变式】（2015 秋?青岛校级月考）在 ABC 中，中线 BE、CF交于点 O，M、N分别是 BO、CO中点，则四边形MNEF 是什么特殊四边形？并说明理由精品资料-欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 1 页，共 6 页 -【答案】5；解：四边形MNEF 是平行四边形理由如下：BE、CF是中线，E、F 分别是 AC、AB的中点，EF是ABC的中位线，EF BC且 EF=BC，M、N分别是 BO、CO中点，MN是OBC的中位线，MN BC且 MN=BC，EF MN且 EF=MN，四边形MNEF 是平行四边形2、如图，ABC中，D、E分别是 BC、AC的中点，BF平分 ABC，交 DE于点 F，若 BC6，则 DF的长是（）A2 B3 C.52 D 4【思路点拨】利用中位线定理，得到DE AB，根据平行线的性质，可得EDC ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DFDB，进而求出DF的长【答案解析】解：在 ABC中，D、E分别是 BC、AC的中点DE ABEDC ABCBF平分ABCEDC 2FBD在BDF中，EDC FBD BFDDBF DFBFD BD 12BC 126 3精品资料-欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 2 页，共 6 页 -【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题3、如图所示，在ABC中，M为 BC的中点，AD为 BAC的平分线，BDAD于 D，AB12，AC 18，求 MD 的长【思路点拨】本题中所求线段MD与已知线段AB、AC之间没有什么联系，但由M为 BC的中点联想到中位线，另有AD为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形 ABN，D为 BN的中点，DM即为中位线，不难求出MD的长度【答案与解析】解：延长 BD交 AC于点 N AD 为 BAC的角平分线，且AD BN，BAD NAD，ADB ADN 90，在 ABD和 AND中，BADNADAD=ADADBADNABD AND(ASA)AN AB 12，BD DN AC 18，NC AC AN18126，D、M分别为 BN、BC的中点，DM12CN 1623【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形举一反三：【变式】（2015 春?泗洪县校级期中）如图，BE，CF是ABC的角平分线，AN BE于 N，AM CF于 M，求证：MN BC【答案】证明：延长AN、AM分别交 BC于点 D、G 精品资料-欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 3 页，共 6 页 -BE为ABC的角平分线，BE AG，BAG=BGA，ABG为等腰三角形，BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN 同理 AM=DM，MN为ADG的中位线，MN BC 4、（鞍山一模）（1）如图 1，在四边形ABCD 中，E、F分别是 BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则BME=CNE，求证：AB=CD （提示取 BD的中点 H，连接 FH，HE作辅助线）（2）如图 2，在ABC中，且 O是 BC边的中点，D是 AC边上一点，E是 AD的中点，直线OE交 BA的延长线于点G，若 AB=DC=5，OEC=60，求OE的长度【思路点拨】（1）连结 BD，取 DB的中点 H，连结 EH、FH，证明出EH AB，EH=AB，FH CD，FH=CD，证出 HE=HF，进而证出AB=CD；（2）连结 BD，取 DB的中点 H，连结 EH、OH，证明出 EH=OH，可证明证出 OEH是等边三角形，进而求出OE=【答案与解析】（1）证明：连结BD，取 DB的中点 H，连结 EH、FHE、F 分别是 BC、AD的中点，EH AB，EH=AB，FH CD，FH=CD，BME=CNE，HE=HF，AB=CD；精品资料-欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 4 页，共 6 页 -（2）解：连结BD，取 DB的中点 H，连结 EH、OH，AB=CD，HO=HE，HOE=HEO，OEC=60，HEO=AGO=60，OEH是等边三角形，AB=DC=5，OE=【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度举一反三：【变式】如图，AB CD，E，F 分别为 AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则 EF的长是（）A 4 B3 C 2 D1【答案】D；解：连接 DE并延长交 AB于 H，CD AB，C=A，CDE=AHE，E 是 AC中点，AE=CE，DCE HAE，DE=HE，DC=AH，F 是 BD中点，精品资料-欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 5 页，共 6 页 -EF是DHB的中位线，EF=12BH，BH=AB-AH=AB-DC=2，EF=1 类型二、中点四边形5、（2016 春?高邮市校级期末）如图，点O是 ABC外一点，连接OB、OC，线段 AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，连接 DE、EF、FG、GD（1）判断四边形DEFG 的形状，并说明理由；（2）若 M为 EF的中点，OM=2，OBC 和 OCB 互余，求线段DG的长【答案与解析】解：（1）四边形 DEFG 是平行四边形，理由是：线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，EFBC，EF=BC，DG=BC，DG BC，EFDG，EF=DG，四边形 DEFG 是平行四边形；（2）OBC 和 OCB 互余，OBC+OCB=90，BOC=1 8090=90，M为 EF的中点，OM=2，EF=2OA=4，EF=DG，DG=4【总结升华】本题考查了中点四边形形状的判定，主要是利用中位线定理得出一组对边平行且相等，从而判定是平行四边形.精品资料-欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 6 页，共 6 页 -