(完整word版)必修四平面向量的数量积讲义.pdf

1 2.3 平面向量的数量积一、平面向量数量积1、定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量ab cos叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即abab cos。注意：（1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定；（2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法不同，“”不能省略，也不能也成“”；（3）在运用数量积公式时，一定要注意两个向量夹角的范围：00180 0。（4）规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0b0；（5）当向量a与b的夹角为900时，叫a与b互相垂直，记作：ab，此时：abab0。2、平面向量数量积的几何意义：（1）对于abab cos，其中b cos叫做b在a方向上的投影，当为锐角时，投影为正；当为钝角时，投影为负；当就直角时，投影为0；当为 0 度时，投影是b；当为 180 度时，投影为b；（2）a在b方向上的投影与b在a方向上的投影就不同的；（3）a在b方向上的投影值可以写成bba。例 1：已知a 2，b 5，当（1）a与b夹角为 300时；（2）当ab时；（3）当当ab时；分别计算a与b的数量积。【解析】：（1）53；（2）0；（3）10 变式练习 1：已知a 3，b 5，且a与b的夹角为450，则a在b方向上的投影是（）A：223B：3 C：4 D：5【解析】：A 2 变式练习 2：已知a 6，b 3，且ab 12，则a在b方向上的投影是（）A：4 B：2 C：4 D：2【解析】：A 二、平面向量数量积的性质若a与b是非零向量，e是与a方向相同的单位向量，是e与a的夹角1、eaaeae cos2、abab0 3、若a与b同向，则abab(夹角为 0 度)；若反向，则abab(夹角为 180度)；特别地，aa(a)2a2或aaa4、若是a与b的夹角，则 cos baba5、abab（当a与b共线时取等号）三、平面向量数量积的运算律1、abba2、(a)b(ab)a(b)3、(ab)cacbc4、(ab)(ab)(a)2(b)2a2b25、(ab)2a2 2abb2 注意：（1）没有(ab)ca(bc)这个运算定律；（2）acbc，则不能得到ab；（3）若ab0，则a0或b0或900。例 2：下列说法正确的个数_。（1）两个向量的数量积是一个向量；（2）向量在另一个向量方向上的投影也是向量；（3）若ab 0，则a与b的夹角为锐角，若ab0，则a与b的夹角为钝角；（4）(ab)ca(bc)；（5）若ab0，则a0或b0。【解析】：0 个文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 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A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB212212)()(yyxx3、若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abab0 x1x2y1y20 文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 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HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U95 4、若a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则 cos222221212121yxyxyyxx例 4：向量a(1，1)，b(1，2)，则a(2ab)（）A：1 B：0 C：1 D：2【解析】：C 变式练习：若向量a(x，2)，b(2，1)，且ab，则ab（）A：5B：10C：25D：10【解析】：B 例 5：若平面向量a(4，3)，2ab(3，18)，则a与b夹角的余弦值等于（）A：658B：658C：6516D：6516【解析】：C 变式练习 1：设 x、yR，向量a(x，1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则ab（）A：5B：10C：25D：10【解析】：B 变式练习 2：已知a(，2)，b(3，5)，且a与b的夹角为锐角，则的取值范围是_。【解析】：由于 a 与 b 的夹角为锐角，a b0，且 a 与 b 不共线同向由a b0?3 100，解得 103.当向量 a 与 b 共线时，得5 6，得 65，因此 的取值范围是 103且 65.答案：|103且 65 变式练习 3：已知 A(3，0)，B(0，3)，C(cos，sin)，O 为坐标原点。（1）若OCAB，求 tan；（2）若ACBC，求 sin2；（3）若OAOC13，且(0，)，求OB与OC的夹角。【解析】：（1）1（2）98（3）6变式练习 4：已知a(53cosx，cosx)，b(sinx，2cosx)，设函数 f(x)ab2b23。（1）当 x6，2时，求函数f(x)的值域文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 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5：a(3，1)，b(21，23)，且存在实数k 和 t，使ma(t23)b，n ka tb，且mn，试求ttk2的最大值。课 后 综 合 练 习文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 ZS8U5Z5E1U9文档编码:CM7C8W9R2E2 HP9I10V9U10C6 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