(完整word版)阿氏圆问题归纳,推荐文档.pdf

1 阿氏圆题型的解题方法和技巧以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.具体内容如下：阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比nm(1)，则 P点的轨迹，是以定比nm内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆 这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB，(k 1)P点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,(k 1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆基本解法：构造 母子三角形相似【问题】在平面直角坐标系xOy中，在 x 轴、y 轴分别有点C(m，0)，D(0，n).点 P是平面内一动点，且OP=r，求 PC+kPD的最小值.阿氏圆一般解题步骤：第一步：确定动点的运动轨迹(圆)，以点 O为圆心、r 为半径画圆；(若圆已经画出则可省略这一步)第二步：连接动点至圆心O(将系数不为1 的线段的固定端点与圆心相连接)，即连接 OP、OD；第三步：计算出所连接的这两条线段OP、OD长度；第四步：计算这两条线段长度的比k；第五步：在OD上取点 M，使得 OM:OP=OP:OD=k；第六步：连接CM，与圆 O交点即为点P此时 CM 即所求的最小值.【补充：若能直接构造相似计算的，直接计算，不能直接构造相似计算的，先把 k 提到括号外边，将其中一条线段的系数化成k1，再构造相似进行计算】2 习题【旋转隐圆】如图，在RtABC中，ACB=90，D为 AC的中点，M为 BD的中点，将线段AD绕 A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为 BD的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是_.1.Rt ABC中，ACB=90，AC=4，BC=3，点 D为 ABC内一动点，满足CD=2，则 AD+32BD的最小值为 _.2.如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60，A与 BC相切于点E，在 A 上任取一点 P，则 PB+23PD的最小值为 _.3.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，B=60，圆 B的半径为2，P为圆 B上一动点，则 PD+21PC的最小值为 _.4.如图，点A，B在 O上，OA=OB=12,OA OB，点 C是 OA的中点，点D在 OB上，OD=10.动点 P在 O上，则 PC+21PD的最小值为 _.5.如图，等边ABC的边长为6，内切圆记为O，P是圆上动点，求2PB+PC 的最小值.6.如图，边长为4 的正方形，内切圆记为O，P是圆上的动点，求2PA+PB的最小值.7.如图，边长为4 的正方形，点P 是正方形内部任意一点，且BP=2，则 PD+21PC的最小值为_；2PD+4PC 的最小值为 _.8.在平面直角坐标系xOy 中，A(2，0)，B(0,2)，C(4，0)，D(3，2)，P是 AOB外部的第一象限内一动点，且BPA=135，则 2PD+PC 的最小值是 _.3 9.在 ABC中，AB=9，BC=8，ABC=60，A的半径为6，P是 A上的动点，连接 PB、PC，则 3PC+2PB 的最小值为 _.10.如图，在RtABC中，A=30，AC=8，以 C为圆心，4 为半径作 C(1)试判断 C与 AB的位置关系，并说明理由；(2)点 F 是 C上一动点，点D在 AC上且 CD=2，试说明 FCD ACF；(3)点 E是 AB上任意一点，在(2)的情况下，试求出EF+21FA的最小值.11.(1)如图 1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆 B的半径为 2，点 P是圆 B上的一个动点，求 PD+21PC的最小值和PD-21PC的最大值；(2)如图 2，已知正方形ABCD的边长为9，圆 B的半径为6，点 P 是圆 B上的一个动点，那么 PD+32PC的最小值为 _，PD-32PC的最大值为 _(3)如图 3，已知菱形ABCD的边长为4，B=60，圆 B的半径为2，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么PD+21PC的最小值为 _，PD-21PC的最大值为 _.4 12.问题提出：如图1，在 RtABC中，ACB=90，CB=4，CA=6，C半径为 2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求 AP+21BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接 CP，在 CB上取点D，使 CD=1，则有21CBCPCPCD，又 PCD=BCP，PCD BCP 21BPPD，PD=21BP，AP+21BP=AP+PD 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+21BP的最小值为 _(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，31AP+BP的最小值为 _(3)拓展延伸：已知扇形COD 中，COD=90，OC=6，OA=3，OB=5，点 P是弧 CD上一点，求2PA+PB的最小值.【二次函数结合阿氏圆题型】13.如图 1，抛物线 y=ax2+(a+3)x+3（a0）与 x 轴交于点A（4，0），与 y 轴交于点B，在x 轴上有一动点E（m，0）（0m 4），过点E 作 x 轴的垂线交直线AB于点 N，交抛物线于点 P，过点 P作 PM AB于点 M(1)求 a 的值和直线AB的函数表达式；(2)设 PMN 的周长为C1，AEN的周长为C2，若5621CC，求 m的值；(3)如图 2，在（2）条件下，将线段OE绕点 O逆时针旋转得到OE，旋转角为（090），连接EA、EB，求 EA+32EB的最小值5 问题背景：如图 1，在 ABC中，BC=4，AB=2AC 问题初探：请写出任意一对满足条件的AB与 AC的值：AB=_，AC=_ 问题再探：如图 2，在 AC右侧作 CAD=B，交 BC的延长线于点D，求 CD的长问题解决：求 ABC的面积的最大值6 1.小明的数学探究小组进行了系列探究活动类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形探索理解：(1)如图 1，已知A、B、C 在格点（小正方形的顶点）上，请你协助小明用两种不同的方法画出格点D，连接 DA、DC，使四边形ABCD 为邻等四边形；尝试体验：(2)如图 2，邻等四边形ABCD 中，AD=CD，ABC=120，ADC=60，AB=2，BC=1，求四边形 ABCD 的面积解决应用：(3)如图 3，邻等四边形ABCD 中，AD=CD，ABC=75，ADC=60，BD=4 小明爸爸所在的工厂，需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合如图3条件的邻等四边形，要求尽可能节约你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD 面积的最小值；如果不能，请说明理由2.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”(1)如图 1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”请写出你添加的一个条件(2)如图 2，等邻边四边形ABCD中，AB=AD，BAD+BCD=90，AC、BD为对角线，AC=2AB，试探究BC，BD的数量关系(3)如图 3，等邻边四边形ABCD中，AB=AD，AC=2，BAD=2 BCD=60，求等邻边四边形ABCD面积的最小值.