高中数学必修 选修知识点归纳大全.pdf

高中数学必修高中数学必修+选修知识点归纳大全选修知识点归纳大全引言引言1.1.课程内容：课程内容：必修课程必修课程由 5 个模块组成：必修必修 1 1：集合、函数概念与基本初：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）等函数（指、对、幂函数）选修选修 2 22 2：导数及其应用，推理与：导数及其应用，推理与证明、证明、数系的扩充与复数系的扩充与复数数选修选修 2 23 3：计数原理、随机变量及：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。其分布列，统计案例。必修必修 2 2：立体几何初步、平面解析：立体几何初步、平面解析几何初步。几何初步。必修必修 3 3：算法初步、统计、概率。：算法初步、统计、概率。必修必修 4 4：基本初等函数基本初等函数（三角函数）（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。平面向量、三角恒等变换。必修必修 5 5：解三角形、数列、不等式。：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程选修课程有 4 个系列：系列 1：由 2 个模块组成。选修 11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修 12：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列 2：由 3 个模块组成。选修选修 2 21 1：常用逻辑用语、圆锥曲：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、线与方程、空间向量与立体几何。空间向量与立体几何。系列 3：由 6 个专题组成。选修 31：数学史选讲。选修 32：信息安全与密码。选修 33：球面上的几何。选修 34：对称与群。选修 35：欧拉公式与闭曲面分类。选修 36：三等分角与数域扩充。系列 4：由 10 个专题组成。选修选修 4 41 1：几何证明选讲。：几何证明选讲。选修 42：矩阵与变换。选修 43：数列与差分。选修选修 4 44 4：坐标系与参数方程。：坐标系与参数方程。选修选修 4 45 5：不等式选讲。：不等式选讲。选修 46：初等数论初步。选修 47：优选法与试验设计初步。选修 48：统筹法与图论初步。选修 49：风险与决策。选修 410：开关电路与布尔代数。2 2重难点及考点：重难点及考点：重点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：高考相关考点：集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布导数：导数的概念、求导、导数倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量的应用复数：复数的概念与运算必修必修 1 1 数学知识点数学知识点第一章：集合与函数概念第一章：集合与函数概念1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。3、常见集合：正整数集合：N*或N，整数集合：Z，有理数集合：Q，实数集合：R.4、集合的表示方法：列举法、描述法.1、一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，则称集合 A是集合 B 的子集。记作A B.2、如果集合A B，但存在元素xB，且x A，则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作：A B.3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：空集合是任何集合的子集.4、如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有2n个子集，2n1个真子集.1、一般地，由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集.记作：AB.2、一般地，由属于集合 A 且属于集合B的所有元素组成的集合，称为 A与 B的交集.记作：A B.3、全集、补集CUA x|xU,且xU1、设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有惟一确定的数fx和 它 对 应，那 么 就 称个函数，记作：f:A B为集合 A 到集合 B 的一y fx,x A.2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.1、注意函数单调性的证明方法：(1)(1)定义法：定义法：设x1、x2a,b,x1 x2那么f(x1)f(x2)0 f(x)在a,b上是增函数；f(x1)f(x2)0 f(x)在a,b上是减函数.步骤：取值作差变形定号判断格式：解：设x1,x2a,b且x1 x2，则：fx1 fx2=(2)(2)导数法：导数法：设函数y f(x)在某个区间内可导，若f(x)0，则f(x)为增函数；若f(x)0，则f(x)为减函数.1、一般地，如果对于函数fx的定义 域 内 任 意 一 个x，都 有f x fx，那么就称函数fx为偶函数.偶函数图象关于y轴对称.2、一般地，如果对于函数fx的定义 域 内 任 意 一 个x，都 有f x fx，那么就称函数fx为奇函数.奇函数图象关于原点对称.知识链接：函数与导数知识链接：函数与导数1、函数y f(x)在点x0处的导数的几何意义：函数y f(x)在点x0处的导数是曲线y f(x)在P(x0,f(x0)处的切线的斜率f(x0)，相 应 的 切 线 方 程 是y y0 f(x0)(x x0).2、几种常见函数的导数C 0；(xn)nxn1；(sin x)cos x；(cos x)sin x；(ax)axlna；(ex)ex；(logax)1xlna；(ln x)1x3、导数的运算法则（1）(u v)uv.（2）(uv)uvuv.（3）(uuvuvv)v2(v 0).4、复合函数求导法则复合函数y f(g(x)数的导数和函y f(u),u g(x)的导数间的关系为的导数与yx yuux，即y的导数的乘积对x的导数等于.y对uu对x解题步骤:分层层层求导作积还原.5、函数的极值(1)极值定义：极值是在x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值；极值是在x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极小值.(2)判别方法：如果在x0附近的左侧f(x)0，图象性(1)定义域：R质（2）值域：（0，+）（3）过定点（0，1），即 x=0时，y=1（4）在R（4）在 R 上是上是增函数减函数(5)x 0,ax1;(5)x 0,0 ax1;右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，aras arsa 0,r,sQ；右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.6、求函数的最值(1)求y f(x)在(a,b)内的极值（极大或者极小值）(2)将y f(x)的各极值点与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。注：注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。第二章：基本初等函数（）第二章：基本初等函数（）1、一般地，如果xn a，那么x叫做a的n次 方 根。其 中n 1,n N.2、当n为奇数时，nan a；当n为偶数时，nan a.3、我们规定：nammana 0,m,n N*,m 1；an1ann 0；4、运算性质：ars arsa 0,r,sQ；abr arbra 0,b 0,r Q.1、记住图象：y axa 0,a 1y2、性质：y=ax0a111、指 数 与o对 数x互 化 式：ax N x logaN；2、对数恒等式：alogaN N.3、基本性质：loga1 0，logaa 1.4、运算性质：当a 0,a 1,M 0,N 0时：logaMN logaM logaN；logM aN logaM logaN；logaMn nlogaM.5、换底公式：loglogcbab logcaa 0,a 1,c 0,c 1,b 0.6、重要公式：logmmanb nlogab7、倒数关系：logab 1log aa 0,a 1,b 0,b 1.b2.2.、对数函数及其性质、对数函数及其性质1、记住图象：y logaxa 0,a 1y1、掌握二分法.2、性质：oy=logax0a1x1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，图象(1)定义域：（0，+）最后检验.性（2）值域：R（3）过定点（1，0），即 x=1 时，必修必修 2 2 数学知识点数学知识点y=0质（4）在（0，+（4）在（0，+）第一章：空间几何体第一章：空间几何体）上是增函数上是减函数(5)x 1,logax 0；(5)x 1,logax 0；1、空间几何体的结构、幂函数、幂函数1、几种幂函数的图象：第三章：函数的应用第三章：函数的应用1、方程fx 0有实根函数y fx的图象与x轴有交点函数y fx有零点.2、零点存在性定理：如果函数y fx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fa fb 0，那么函数y fx在区间常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线a,b内有零点，即存在ca,b，使得fc 0，这个c也就是方程fx 0的根.交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。3、空间几何体的表面积与体积圆柱侧面积；S侧面 2r l圆锥侧面积：S侧面r l圆台侧面积：S侧面r l Rl体积公式：V柱体 S h；V锥体13S h；球的表面积和体积：SR2，V4球 4球3R3.第二章：点、直线、平面之间的位第二章：点、直线、平面之间的位置关系置关系1、公理 1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。2、公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。3、公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。4、公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行.5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。6、线线位置关系：平行、相交、异面。7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。8、面面位置关系：平行、相交。9、线面平行：线面平行：判定：平面外一条直线与此平面判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，内的一条直线平行，则该直线与则该直线与此平面平行此平面平行（简称线线平行，（简称线线平行，则则线面平行）线面平行）。性质：性质：一条直线与一个平面平行，一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行平面的交线与该直线平行（简称（简称线面平行，则线线平行）线面平行，则线线平行）。10、面面平行：面面平行：判定：一个平面内的两条相交直判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，线与另一个平面平行，则这两个则这两个平面平行平面平行（简称线面平行，（简称线面平行，则面则面面平行）面平行）。性质：如果两个平行平面同时和性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，第三个平面相交，那么它们的交那么它们的交线平行线平行（简称面面平行，（简称面面平行，则线线则线线平行）平行）。11、线面垂直：线面垂直：定义：定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。判定：一条直线与一个平面内的判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，两条相交直线都垂直，则该直线则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）则线面垂直）。性质：垂直于同一个平面的两条性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。直线平行。12、面面垂直：面面垂直：定义：定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。判定：一个平面经过另一个平面判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，的一条垂线，则这两个平面垂直则这两个平面垂直（简称线面垂直，（简称线面垂直，则面面垂直）则面面垂直）。性质：两个平面互相垂直，则一性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。直于另一个平面。（简称面面垂（简称面面垂直，则线面垂直）直，则线面垂直）。第三章：直线与方程第三章：直线与方程1、倾斜角与斜率：k tany2 y1x2 x12、直线方程：点斜式：y y0 kx x0斜截式：y kx b两点式：y y1y2 y1x x1x2 x1截距式：xayb1一般式：Ax By C 03、对于直线：l1:y k1x b1,l2:y k2x b2有：l k21/l2k1b1 b；2l1和l2相交 k1 k2；l和lk1 k212重合b1 b；2l1 l2 k1k2 1.4、对于直线：l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0有：lB2 A2B11/l2A1B；1C2 B2C1l1和l2相交 A1B2 A2B1；lB2 A2B11和l2重合A1B；1C2 B2C1l1 l2 A1A2 B1B2 0.5、两点间距离公式：6、点到直线距离公式：7、两平行线间的距离公式：l1：Ax By C1 0与l2：Ax By C2 0平行，则d C1C2A2 B2第四章：圆与方程第四章：圆与方程1、圆的方程：标准方程：标准方程：x a2y b2 r2其中圆心为圆心为(a,b)，半径为，半径为r.一般方程：一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0.其 中 圆圆 心心 为为(D2,E2)，半半 径径 为为r 1D22 E24F.2、直线与圆的位置关系直线Ax By C 0与圆(x a)2(y b)2 r2的位置关系有三种:d r 相离 0;d r 相切 0;d r 相交 0.弦长公式：l 2 r2d23、两圆位置关系：d O1O2外离：d R r；外切：d R r；相交：R r d R r；内切：d R r；内含：d R r.3、空间中两点间距离公式：必修必修 3 3 数学知识点数学知识点第一章：算法第一章：算法1、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言；2、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；3、算法的三种基本结构：顺序结构、条件结构、循环结构当型循环结构直到型循环结构顺序结构示意图：语句 n语句 n+1（图 1）条件结构示意图：IF-THEN-ELSEIF-THEN-ELSE 格式：格式：IF-THENIF-THEN满足条件（图格式：格式：2）否是语句 1（图 3）是语句 2满足条件否语句循环结构示意图：式：WHILE条件当型当型（WHILE 型）循环结构示意图：（图 4）循环体直到型直到型（UNTIL 型）循环结构示意满足条件图：是否（图 5）4、基本算法语句：循环体输入语句的一般格式：否满足条件INPUT“提示内容”；变量是输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式赋值语句的一般格式：变量表达式（“=”有时也用“”）.条件语句的一般格式有两种：IFTHENELSE 语句的一般格式为：IFIF条件THENTHEN语句 1（图ELSEELSEIFTHEN2）语句语句的一般格式为：2END IFEND IFIFIF条件 THEN THEN循环语句的一般格式是两种：语句当型循环（END IFEND IFWHILE（图3）语句的一般格循环体WEND（图4）直到型循环（UNTIL）语句的一般格式：DO循环体LOOP UNTIL（图条件5）算法案例：辗转相除法结果是以相除余数结果是以相除余数为为 0 0 而得到而得到利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：n 得到一个商）：用较大的数 m 除以较小的数大公约数；若）：若S0和一个余数，R0；n 的最R00，则 n 为 m以余数R00，则用除数n 除R0得到一个商S1和一个余数R1；大公约数；若）：若R10，则R1为 m，n 的最以余数R10，则用除数R0除R1得到一个商S2和一个余数R2；到的依次计算直至Rn0，此时所得更相减损术Rn 1即为所求的最大公约数。相等而得到相等而得到结果是以减数与差结果是以减数与差利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：们是否都是偶数。若是，用）：任意给出两个正数；判断它若不是，执行第二步。2 约简；接着把较小的数与所得的差比较，）：以较大的数减去较小的数，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。进位制十进制数化为法法k 进制数除除 k k 取余取余k 进制数化为十进制数第二章：统计第二章：统计1、抽样方法：简单随机抽样（总体个数较少）3、总体特征数的估计：平均数：x x1 x2 x3 xn；n取 值 为x1,x2,xn的 频 率 分 别 为系统抽样（总体个数较多）分层抽样（总体中差异明显）注意：在 N 个个体的总体中抽取出 n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为nN。2、总体分布的估计：一表二图：频率分布表数据详实频率分布直方图分布直观频率分布折线图便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。茎叶图：茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。p1,p2,pn，则 其 平 均 数 为x1p1 x2p2 xnpn；注意：频率分布表计算平均数要取组中值。方差与标准差：一组样本数据x1,x2,xn方差：n2s21n(xi x)；i1标准差：n2s 1n(xi x)i1注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。线性回归方程变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；制作散点图，判断线性相关关系线性回归方程：y bxa（最小二乘法）注意：线性回归直线经过定点(x,y)。第三章：概率1、随机事件及其概率：段、角度、面积、体积等。事件：试验的每一种可能的结果，4、互斥事件：用大写英文字母表示；必然事件、不可能事件、随机事件的特点；随 机 事 件A的 概 率：P(A)mn,0 P(A)1.2、古典概型：基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；古典概型的特点：所有的基本事件只有有限个；每个基本事件都是等可能发生。古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有 n 个，事件 A 包含了其中的 m 个基本事件，则事件 A 发生的概率P(A)mn.3、几何概型：几何概型的特点：所有的基本事件是无限个；每个基本事件都是等可能发生。几 何 概 型 概 率 计 算 公 式：P(A)d的测度D的测度；其中测度根据题目确定，一般为线不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；如果事件A1,A2,An任意两个都是互斥事件，则称事件A1,A2,An彼此互斥。如果事件 A，B 互斥，那么事件 A+B发生的概率，等于事件A，B 发生的概率的和，即：P(A B)P(A)P(B)如果事件A1,A2,An彼此互斥，则有：对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。事件A的对立事件记作A对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。必修必修 4 4 数学知识点数学知识点第一章：三角函数第一章：三角函数1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角终边相同的角的集合：2k,k Z.1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.2、lr.3、弧长公式：l nR180R.4、扇形面积公式：nR2S 36012lR.1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Px,y，那么：sin y,cos x,tanyx2、设点Ax,y为角终边上任意一点，那么：（设r x2 y2）sinyxr，cosr，tanyx，cotxy3、sin，cos，y ytan 在四个P PT T象 限 的 符O OMMA A x x号 和 三 角函数线的画法.正弦线：正弦线：MP;MP;余弦线：余弦线：OM;OM;正切线：正切线：ATAT5、特殊角 0，30，45，60，90，180，270 等的三角函数值.01、平方关系：sin2 cos21.2、商数关系：tansincos.3、倒数关系：tancot1、三角函数的诱导公式、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象奇变偶不变，符号看象限”限”k Z）1、诱导公式一：sin 2k sin,cos 2k cos,（其中：k Z）tan 2k tan.2、诱导公式二：3、诱导公式三：4、诱导公式四：5、诱导公式五：6、诱导公式六：1、记住正弦、余弦函数图象：y=sinxy-5 372-21o22x2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.y sin x在x0,2上的五个关键点为：3（0，0）（，1）（，0）（，-1）（，2，0）.221、记住正切函数的图象：y2、记住余切函数的图象：y=tanx-32-2o232x3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数fx，如果存在一个非零常数 T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有fx T fx，那么函数fx就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质图象图象定义定义域域值域值域最值最值-1,1-1,1无周期周期性性奇偶奇偶性性在2k,2k上 单 调22奇偶奇在2k,2k上单调递增在(k单调单调递增,k)22上 单性性在2k,2k3上单调在2k,2k上 单 调调递增22递减递减对称轴方程：对称轴方程：x kx k对对 称称2无对称轴对称中心(k,0)2性性对称中心(k,0)对称中心(k,0)2、函数、函数y Asinx 的图象的图象1、对于函数：y AsinxBA 0,0有：振幅横坐标不变y Asinx纵坐标变为原来的 A 倍纵坐标不变y AsinxA，周期T 2，初相，相位x，频率f T12.2、能够讲出函数y sin x的图象与y Asinx B的图象之间的平移伸缩变换关系.先平移后伸缩：先平移后伸缩：y sin x横坐标变为原来的|1|倍平移|B|个单位y Asinx B平 移|个 单 位（上加下减）先伸缩后平移：先伸缩后平移：y sin x横坐标不变y sinx（左加右减）y Asin x纵坐标变为原来的 A 倍纵坐标不变y AsinxB ymax ymin2.要根据周期来求,要用图像的关键点来求.横坐标变为原来的|1|倍平 移、三角函数模型的简单应用、三角函数模型的简单应用个 单 位1、要求熟悉课本例题.y Asinx（左加右减）平移|B|个单位y Asinx B（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数y sin(x)，xR 及函数y cos(x)，xR(A,为常数，且 A0)的周期T 2|；函数y tan(x)，x k2,kZ(A,为常数，且 A0)的周期T|.对于y Asin(x)和y Acos(x)来说，对称中心与零点相联系，对对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系称轴与最值点联系.求函数y Asin(x)图像的对称轴与对称中心，只需令只需令x k2(k Z)与与x k(k Z)解出解出x即可即可.余弦函数可与正弦函数余弦函数可与正弦函数类比可得类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：A ymax ymin2，第三章、三角恒等变换记住 15的三角函数值：1、sin sincos cossin2、sin sincoscossin3、cos coscossinsin4、cos coscossinsin5、tantantan1tantan.6、tantantan1tantan.1、sin2 2sincos，变形变形：sincos12sin2.2、cos2 cos2sin21 2sin2.变形如下：变形如下：升幂公式：升幂公式：1cos2 2cos2cos2 2sin12降幂公式：降幂公式：cos212(1cos2)sin212(1cos2)3、tan22tan1tan2.4、tansin21cos21cos2sin2、简单的三角恒等变换、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2 2、辅助角公式、辅助角公式（其中辅助角（其中辅助角所在象限由点所在象限由点(a,b)的象限决定的象限决定,tanba).).第二章：平面向量第二章：平面向量1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作uABuu r；长度为零的向量叫做零向量；长度等于 1 个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.2、a ba b.1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.1、规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a，它的长度和方向规定如下：a a,当 0时,a的方向与a的方向相同；当 0时,a的方向与a的方向相反.2、平面向量共线定理：向量aa 0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b a.1、平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数1,2，使a 1e12e2.1、a xi y j x,y.1、设a x1,y1,b x2,y2，则：a b x1 x2,y1 y2，a b x1 x2,y1 y2，a x1,y1，a/b x1y2 x2y1.2、设Ax1,y1,Bx2,y2，则：AB x2 x1,y2 y1.1、设Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，则线段 AB 中点坐标为x1x22,y1y22，ABC 的重心坐标为x1x2x3y33,y1y23.1、ab a b cos.2、a在b方向上的投影为：a cos.3、a2 a2.4、a a2.5、a b ab 0.1、设a x1,y1,b x2,y2，则：ab x1x2 y1y2a x21 y21ra rb rarb 0 x1x2 y1y2 0ra/rb ra rb x1y2x2y102、设Ax1,y1,Bx2,y2，则：AB x2 x12y2 y12.3 3、两向量的夹角公式两向量的夹角公式4 4、点的平移公式、点的平移公式平移前的点为P(x,y)（原坐标），平移后的对应点为P(x,y)（新坐标），平移向量为uPPuur (h,k)，则x xhy yk.函 数y f(x)的 图 像 按 向 量ra (h,k)平移后的图 像的 解析式为y k f(xh).知识链接：空间向量知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1 1、直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量：若 A、B 是直线l上的任意两点，则uABuu r为直线l的一个方向向量；与uABuu r平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.平面的法向量：若向量rn所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作rn，如果rn，那么向量rn叫做平面的法向量.平面的法向量的求法（待定系平面的法向量的求法（待定系数法）数法）：建立适当的坐标系设平面的法向量为rn (x,y,z)求出平面内两个不共线向量的坐标ra(aau r1,a2,3),b(b1,b2,b3)根据法向量定义建立方程组rnrrar 0.nb 0解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.（如图）2 2、用向量方法判定空间中的平用向量方法判定空间中的平行关系行关系线线平行线线平行设直线l1,l2的方向向量分别是ra、rb，则要证明lr1l2，只需证明arb，即ra kbr(k R).即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。线面平行线面平行（法一）设直线l的方向向量是ra，平面的法向量是ur，则要证明l，只需证明ra ur，即raur 0.即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.面面平行面面平行若平面的法向量为ur，平面的法向量为rv，要证，只需证urrv，即证urrv.即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。3 3、用向量方法判定空间的垂直关系用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直线线垂直设直线l1,l2的方向向量分别是ra、rb，则要证明lrr1 l2，只需证明a b，即rarb 0.即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。线面垂直线面垂直（法一）设直线l的方向向量是ra，平面的法向量是ur，则要证明l，只需证明raur，即ra ur.（法二）设直线l的方向向量是ra，平面内的两个相交向量分别为umr、u unr，若r u ram 0r r,则l.an 0即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直面面垂直若平面的法向量为ur，平面的法向量为rv，要证，只需证urrv，即证urrv 0.即：两平面垂直两平面的法向量垂直。4 4、利用向量求空间角、利用向量求空间角求异面直线所成的角求异面直线所成的角已知a,b为两异面直线，A，C 与 B，D 分别是a,b上的任意两点，a,b所成的角为，u则cosACuu r uuu ruACuu rBDuBDuu r.求直线和平面所成的角求直线和平面所成的角定义：定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角求法：求法：设直线l的方向向量为ra，平面的法向量为ur，直线与平面所成的角为，ra与ur的夹角为，则为的余角或的补角的余角.即有：求二面角求二面角定义：定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角l 的棱上任取一点 O，分别在两个半平面内作射线AO l,BO l，则AOB为二面角l 的平面角.如图：求法：求法：设二面角ABll 的两个半平面的法向量分别为OOAumBr、rn，再设umr、rn的夹角为，二面角l 的平面角为，则二面角为umr、rn的夹角或其补角.根据具体图形确定是锐角或是钝角：如果是锐角，则ucos cosmrurnmr rn，u即 arccosmrurnmr rn；如果是钝角，则ucos cos mrurnmr rn，即u arccosmrrn umr rn.5 5、利用法向量求空间距离、利用法向量求空间距离点点 Q Q 到直线到直线l距离距离若 Q 为直线l外的一点,P在直线上，ar为直线l的方向向量，br=uuuPQrl，则点 Q 到直线l距离为h 1rr2r|ar|(|a|b|)(abr)2点点 A A 到平面到平面的距离的距离若点P P为平面外一点，点M M为平面内任一点，平面的法向量为rn，则 P 到平面的距离就等于uMPuu r在法向量rn方向上的投影的绝对值.即d uMPuu rcosrnu,uMPuu r直线直线a与平面与平面之间的距离之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。r即d nuMPuu rrn.两平行平面两平行平面,之间的距离之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。r即d nuMPuu rrn.异面直线间的距离异面直线间的距离设向量rn与两异面直线a,b都垂直，M a,Pb,则两异面直线a,b间的距离d就是uMPuu r在向量rn方向上投影的绝对值。r uuu即d nMPrrn.6 6、三垂线定理及其逆定理、三垂线定理及其逆定理三垂线定理：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它P和这个平面O的一条斜线Aa的 射 影 垂直，那么它也和这条斜线垂直PO,O推理模式：PAI A a PAa,a OA概括为：概括为：垂直于射影就垂直于斜线垂直于射影就垂直于斜线.三垂线定理的逆定理：三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直PO,O推理模式：PAI A a AOa,a AP概括为：概括为：垂直于斜线就垂直于射影垂直于斜线就垂直于射影.7 7、三余弦定理、三余弦定理设 AC 是平面内的任一条直线，AD 是的一条斜线 AB 在内的射影，且 BDAD，垂足为 D.设 AB与B(AD)所成 的角A1为1，AD2DC与 AC所成 的角为2，AB 与 AC 所成的角为 则cos cos1cos2.8、面积射影定理面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为SS原，它在平面内的射影图形的面积为SS射，平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角，则9 9、一个结论、一个结论长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为1、2、3,则有l2l21l22l23cos2221cos2cos31sin21sin22sin232.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.必修必修 5 5 数学知识点数学知识点第一章：解三角形第一章：解三角形1、正弦定理：asin Absin BcsinC 2R.（其中R为ABC外接圆的半径）用途：用途：已知三角形两角和任一边，已知三角形两角和任一边，求其它元素；求其它元素；已知三角形两边和其中一已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。边的对角，求其它元素。2、余弦定理：用途：用途：已知三角形两边及其夹角，已知三角形两边及其夹角，求其它元素；求其它元素；已知三角形三边，求其它已知三角形三边，求其它元素。元素。做题中两个定理经常结合使用.3、三角形面积公式：4、三角形内角和定理：在ABC 中，有A BC C(A B)C22A B2 2C 22(A B).5、一个常用结论：在ABC中，a b sin A sin B A B;若sin2A sin2B,则A B或A B 2.特特 别别注注 意意，在在 三三 角角 函函 数数 中中，sin Asin B A B不成立。不成立。第二章：数列第二章：数列1、数列中an与Sn之间的关系：a S1,(n 1)n意通项能否合SnSn1,(n 2).注并。2、等差数列：定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的