高中数学常用公式及常用结论-大全.pdf

教学资料（高中数学）教学资料（高中数学）祝同学们学习进步祝同学们学习进步高中数学常用公式及常用结论1.1.元素与集合的关系元素与集合的关系x A xCUA,xCUA x A.2.2.德摩根公式德摩根公式CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.3.3.包含关系包含关系AB A AB B A B CUB CUA ACUB CUAB R4.4.容斥原理容斥原理card(AB)cardAcardBcard(AB)card(ABC)cardAcardBcardC card(AB)card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).nnn 5 5集合集合a1,a2,an的子集个数共有的子集个数共有2个；真子集有个；真子集有21 1 个；非空子集有个；非空子集有21 1 个；非空的真子集个；非空的真子集有有2n2 2 个个.6.6.二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式的三种形式(1)(1)一般式一般式f(x)ax bxc(a 0);(2)(2)顶点式顶点式f(x)a(xh)k(a 0);(3)(3)零点式零点式f(x)a(x x1)(x x2)(a 0).7.7.解连不等式解连不等式N f(x)M常有以下转化形式常有以下转化形式22N f(x)M f(x)M f(x)N 0f(x)NM NM N 0|f(x)M f(x)2211.f(x)NM N8.8.方程方程f(x)0在在(k1,k2)上有且只有一个实根上有且只有一个实根,与与f(k1)f(k2)0不等价不等价,前者是后者的一个必要而不是前者是后者的一个必要而不是2充分条件充分条件.特别地特别地,方程方程ax bx c 0(a 0)有且只有一个实根在有且只有一个实根在(k1,k2)内内,等价于等价于f(k1)f(k2)0,或或k k2k k2bbf(k1)0且且k1 1 k2.,或或f(k2)0且且12a222a9.9.闭区间上的二次函数的最值闭区间上的二次函数的最值二次函数二次函数f(x)ax bx c(a 0)在闭区间在闭区间p,q上的最值只能在上的最值只能在x 2b处及区间的两端点处取得，处及区间的两端点处取得，具具2a体如下：体如下：(1)(1)当当 a0a0 时，若时，若x bbp,q，则，则f(x)min f(),f(x)maxmaxf(p),f(q)；2a2abp,q，f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).2abbp,q，则则f(x)min minf(p),f(q)，若若x p,q，则则(2)(2)当当a0a0)a0)（1 1）f(x)f(x a)，则，则f(x)的周期的周期 T=aT=a；（2 2）f(x)f(x a)0，1(f(x)0)，f(x)1或或f(xa)(f(x)0),f(x)12或或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),则则f(x)的周期的周期 T=2aT=2a；21(f(x)0)，则，则f(x)的周期的周期 T=3aT=3a；(3)(3)f(x)1f(x a)f(x1)f(x2)(4)(4)f(x1 x2)且且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1 x2|2a)，则，则f(x)的周期的周期 T=4aT=4a；1 f(x1)f(x2)(5)(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则则f(x)的周期的周期 T=5aT=5a；(6)(6)f(x a)f(x)f(x a)，则，则f(x)的周期的周期 T=6a.T=6a.或或f(x a)30.30.分数指数幂分数指数幂4教学资料（高中数学）教学资料（高中数学）祝同学们学习进步祝同学们学习进步(1)(1)a(2)(2)amn1nmnam1mn（a 0,m,nN，且，且n 1）.（a 0,m,nN，且，且n 1）.a3131根式的性质根式的性质n（1 1）(na)a.（2 2）当）当n为奇数时，为奇数时，nan a；a,a 0当当n为偶数时，为偶数时，a|a|.a,a 0nn3232有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质(1)(1)a a arsrrsrrrsrs(a 0,r,sQ).(2)(2)(a)a(a 0,r,sQ).(3)(3)(ab)a b(a 0,b 0,rQ).注：注：若若 a a0 0，p p 是一个无理数，则是一个无理数，则 a ap p表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用数幂都适用.33.33.指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式logaN b ab N(a 0,a 1,N 0).34.34.对数的换底公式对数的换底公式logmN(a 0,且且a 1,m 0,且且m 1,N 0).).logmann推论推论logamb logab(a 0,且且a 1,m,n 0,且且m 1,n 1,N 0).).mlogaN 3535对数的四则运算法则对数的四则运算法则若若 a a0 0，a a1 1，M M0 0，N N0 0，则，则(1)(1)loga(MN)logaM logaN;M logaM logaN;Nn(3)(3)logaM nlogaM(nR).(2)(2)loga2236.36.设函数设函数f(x)logm(ax bx c)(a 0),记记 b 4ac.若若f(x)的定义域为的定义域为R,则则a 0，且且 0;若若f(x)的值域为的值域为R,则则a 0，且，且 0.对于对于a 0的情形的情形,需要单独检验需要单独检验.37.37.对数换底不等式及其推广对数换底不等式及其推广1,则函数则函数y logax(bx)a11 (1)(1)当当a b时时,在在(0,)和和(,)上上y logax(bx)为增函数为增函数.aa11，(2)(2)当当a b时时,在在(0,)和和(,)上上y logax(bx)为减函数为减函数.aa若若a 0,b 0,x 0,x 推论推论:设设n m 1，p 0，a 0，且，且a 1，则，则（1 1）logm p(n p)logmn.（2 2）logamlogan loga2mn.25教学资料（高中数学）教学资料（高中数学）祝同学们学习进步祝同学们学习进步38.38.平均增长率的问题平均增长率的问题如果原来产值的基础数为如果原来产值的基础数为 N N，平均增长率为，平均增长率为p，则对于时间，则对于时间x的总产值的总产值y，有，有y N(1 p).39.39.数列的同项公式与前数列的同项公式与前 n n 项的和的关系项的和的关系xn 1s1,(数列数列an的前的前 n n 项的和为项的和为sn a1a2ansnsn1,n 240.40.等差数列的通项公式等差数列的通项公式an).).an a1(n1)d dn a1d(nN*)；其前其前 n n 项和公式为项和公式为n(a1an)n(n1)na1d22d1n2(a1d)n.22sn41.41.等比数列的通项公式等比数列的通项公式an a1qn1a1nq(nN*)；q其前其前 n n 项的和公式为项的和公式为a1(1qn),q 1sn1qna,q 11a1anq,q 11q或或sn.na,q 1142.42.等比差数列等比差数列an:an1 qand,a1 b(q 0)的通项公式为的通项公式为b(n1)d,q 1anbqn(d b)qn1d；,q 1q1其前其前 n n 项和公式为项和公式为nbn(n1)d,(q 1)sn.d1qnd(b)n,(q 1)1qq11q43.43.分期付款分期付款(按揭贷款按揭贷款)ab(1b)n每次还款每次还款x 元元(贷款贷款a元元,n次还清次还清,每期利率为每期利率为b).).n(1b)14444常见三角不等式常见三角不等式（1 1）若）若x(0,(2)(2)若若x(0,2)，则，则sin x x tanx.2(3)(3)|sin x|cos x|1.)，则，则1 sin xcosx 2.45.45.同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式6教学资料（高中数学）教学资料（高中数学）祝同学们学习进步祝同学们学习进步sin2cos21，tan=nn(1)2sin,sin()n12(1)2cos,sin，tancot1.cos46.46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）(n 为偶数)(n 为奇数)(n 为偶数)(n 为奇数)nn(1)2cos,cos()n12(1)2sin,47.47.和角与差角公式和角与差角公式sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tan tantan().1tantansin()sin()sin2sin2(平方正弦公式平方正弦公式););cos()cos()cos2sin2.asinbcos=a2b2sin()(辅助角辅助角所在象限由点所在象限由点(a,b)的象限决定的象限决定,tan48.48.二倍角公式二倍角公式b).).asin 2 sincos.cos2 cos2sin2 2cos2112sin2.2tan.tan221tan49.49.三倍角公式三倍角公式sin3 3sin4sin3 4sinsin()sin().33cos3 4cos33cos 4coscos()cos()333tantan3tan3 tantan()tan().13tan23350.50.三角函数的周期公式三角函数的周期公式函数函数y sin(x)，x xR R及函数及函数y cos(x)，x xR(A,R(A,为常数，为常数，且且A A0 0，0)0)的周期的周期T 函数函数y tan(x)，x k51.51.正弦定理正弦定理.2；2,kZ(A,(A,为常数，且为常数，且 A A0 0，0)0)的周期的周期T.abc 2R.sin Asin BsinC52.52.余弦定理余弦定理a2 b2c22bccos A;b2 c2a22cacosB;c2 a2b22abcosC.7教学资料（高中数学）教学资料（高中数学）祝同学们学习进步祝同学们学习进步53.53.面积定理面积定理111ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示分别表示 a a、b b、c c 边上的高）边上的高）.222111（2 2）S absinC bcsin A casin B.2221(3)(3)SOAB(|OA|OB|)2(OAOB)2.2（1 1）S 54.54.三角形内角和定理三角形内角和定理在在ABCABC 中，有中，有A BC C(A B)CA B 2C 22(A B).222k55.55.简单的三角方程的通解简单的三角方程的通解sin x a x k(1)arcsina(k Z,|a|1).cosx a x 2karccosa(k Z,|a|1).tan x a x karctana(k Z,aR).特别地特别地,有有sin sin k(1)k(k Z).cos cos 2k(kZ).tan tan k(kZ).56.56.最简单的三角不等式及其解集最简单的三角不等式及其解集sin x a(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),k Z.sin x a(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),k Z.cosx a(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),k Z.cosx a(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.tan x a(aR)x(karctana,k2),k Z.tan x a(aR)x(k2,karctana),k Z.57.57.实数与向量的积的运算律实数与向量的积的运算律设、为实数，那么设、为实数，那么(1)(1)结合律：结合律：(a)=(a)=()a;)a;(2)(2)第一分配律：第一分配律：(+)a=)a=a+a+a;a;(3)(3)第二分配律：第二分配律：(a+b)=(a+b)=a+a+b.b.58.58.向量的数量积的运算律：向量的数量积的运算律：(1)(1)a ab=bb=ba a（交换律）（交换律）;(2)(2)（a a）b=b=（a ab b）=a ab=b=a a（b b）;(3)(3)（a a+b+b）c=c=a ac+bc+bc.c.59.59.平面向量基本定理平面向量基本定理如果如果 e e1 1、e e2 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1 1、2 2，使得，使得 a=a=1 1e e1 1+2 2e e2 2不共线的向量不共线的向量 e e1 1、e e2 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底叫做表示这一平面内所有向量的一组基底6060向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示设设 a=a=(x1,y1),b=,b=(x2,y2)，且，且 b b0 0，则，则 a a b(bb(b0)0)x1y2 x2y1 0.53.53.a a与与 b b 的数量积的数量积(或内积或内积)a ab=|b=|a a|b|cos|b|cos 61.61.a ab b 的几何意义的几何意义数量积数量积 a ab b 等于等于 a a 的长度的长度|a|a|与与 b b 在在 a a 的方向上的投影的方向上的投影|b|cos|b|cos的乘积的乘积8教学资料（高中数学）教学资料（高中数学）祝同学们学习进步祝同学们学习进步62.62.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(1)(1)设设 a=a=(x1,y1),b=,b=(x2,y2)，则，则 a+b=a+b=(x1 x2,y1 y2).(2)(2)设设 a=a=(x1,y1),b=,b=(x2,y2)，则，则 a-b=a-b=(x1 x2,y1 y2).(3)(3)设设 A A(x1,y1)，B B(x2,y2),则则AB OBOA(x2 x1,y2 y1).(4)(4)设设 a=a=(x,y),R，则，则a=a=(x,y).(5)(5)设设 a=a=(x1,y1),b=,b=(x2,y2)，则，则 a ab=b=(x1x2 y1y2).63.63.两向量的夹角公式两向量的夹角公式cosx1x2 y1y2x y x yAB AB21212222(a a=(x1,y1),b=,b=(x2,y2).).64.64.平面两点间的距离公式平面两点间的距离公式dA,B=|AB|(x2 x1)2(y2 y1)2(A(A(x1,y1)，B B(x2,y2).).65.65.向量的平行与垂直向量的平行与垂直设设 a=a=(x1,y1),b=,b=(x2,y2)，且，且 b b0 0，则，则A|bA|bb=b=a a x1y2 x2y1 0.a ab(ab(a0)0)a ab=0b=0 x1x2 y1y2 0.66.66.线段的定比分公式线段的定比分公式设设P1P2的分点的分点,是实数，且是实数，且PP1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段是线段P1PP2，则，则x1x2OP OP21OP 1y1y2111（）.t(1t)OPOP tOP121x y 67.67.三角形的重心坐标公式三角形的重心坐标公式 ABCABC 三三 个个 顶顶 点点 的的 坐坐 标标 分分 别别 为为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则则 ABCABC 的的 重重 心心 的的 坐坐 标标 是是G(x1 x2 x3y1 y2 y3,).3368.68.点的平移公式点的平移公式x xhx x h OP OP PP.y y ky y k注注:图形图形 F F 上的任意一点上的任意一点 P(xP(x，y)y)在平移后图形在平移后图形F上的对应点为上的对应点为P(x,y)，且，且PP的坐标为的坐标为(h,k).69.69.“按向量平移”的几个结论“按向量平移”的几个结论（1 1）点）点P(x,y)按向量按向量 a=a=(h,k)平移后得到点平移后得到点P(xh,y k).(2)(2)函数函数y f(x)的图象的图象C按向量按向量 a=a=(h,k)平移后得到图象平移后得到图象C,则则C的函数解析式为的函数解析式为y f(xh)k.(3)(3)图图象象C按按向向量量 a=a=(h,k)平平移移后后得得到到图图象象C,若若C的的解解析析式式y f(x),则则C的的函函数数解解析析式式为为y f(xh)k.(4)(4)曲线曲线C:f(x,y)0按向量按向量 a=a=(h,k)平移后得到图象平移后得到图象C,则则C的方程为的方程为f(xh,y k)0.(5)(5)向量向量 m=m=(x,y)按向量按向量 a=a=(h,k)平移后得到的向量仍然为平移后得到的向量仍然为 m=m=(x,y).70.70.三角形五“心”向量形式的充要条件三角形五“心”向量形式的充要条件设设O为为ABC所在平面上一点，角所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为所对边长分别为a,b,c，则，则9教学资料（高中数学）教学资料（高中数学）祝同学们学习进步祝同学们学习进步（1 1）O为为ABC的外心的外心 OA OB OC.（2 2）O为为ABC的重心的重心 OAOBOC 0.（3 3）O为为ABC的垂心的垂心 OAOB OBOC OCOA.（4 4）O为为ABC的内心的内心 aOAbOBcOC 0.（5 5）O为为ABC的的A的旁心的旁心 aOA bOBcOC.71.71.常用不等式：常用不等式：（1 1）a,bRa b 2ab(当且仅当当且仅当 a ab b 时取“=”号时取“=”号)22222abab(当且仅当当且仅当 a ab b 时取“=”号时取“=”号)2333（3 3）a b c 3abc(a 0,b 0,c 0).（2 2）a,bR（4 4）柯西不等式）柯西不等式(a2b2)(c2d2)(ac bd)2,a,b,c,d R.（5 5）a b a b a b.72.72.极值定理极值定理已知已知x,y都是正数，则有都是正数，则有（1 1）若积）若积xy是定值是定值p，则当，则当x y时和时和x y有最小值有最小值2 p；（2 2）若和）若和x y是定值是定值s，则当，则当x y时积时积xy有最大值有最大值推广推广 已知已知x,yR，则有，则有(x y)(x y)2xy（1 1）若积）若积xy是定值是定值,则当则当|x y|最大时最大时,|x y|最大；最大；当当|x y|最小时最小时,|x y|最小最小.（2 2）若和）若和|x y|是定值是定值,则当则当|x y|最大时最大时,|xy|最小；最小；当当|x y|最小时最小时,|xy|最大最大.273.73.一元二次不等式一元二次不等式ax bx c 0(或 0)(a 0,b 4ac 0)，如果，如果a与与ax bxc同号，则其同号，则其2212s.422解集在两根之外；如果解集在两根之外；如果a与与ax bxc异号，则其解集在两根之间异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之简言之：同号两根之外，异号两根之间间.x1 x x2(x x1)(x x2)0(x1 x2)；2x x1,或x x2(x x1)(x x2)0(x1 x2).74.74.含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式当当 a 0a 0 时，有时，有x a x2 a a x a.2x a x2 a2 x a或或x a.75.75.无理不等式无理不等式（1 1）（2 2）f(x)0.f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0 f(x)0.f(x)g(x)g(x)0或f(x)g(x)2g(x)010教学资料（高中数学）教学资料（高中数学）祝同学们学习进步祝同学们学习进步（3 3）f(x)0.f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)276.76.指数不等式与对数不等式指数不等式与对数不等式(1)(1)当当a 1时时,af(x)ag(x)f(x)g(x);f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.f(x)g(x)(2)(2)当当0 a 1时时,af(x)ag(x)f(x)g(x);f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)77.77.斜率公式斜率公式k y2 y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.x2 x178.78.直线的五种方程直线的五种方程（1 1）点斜式）点斜式y y1 k(x x1)(直线直线l过点过点P1(x1,y1)，且斜率为，且斜率为k)（2 2）斜截式）斜截式y kxb(b(b 为直线为直线l在在 y y 轴上的截距轴上的截距).).y y1x x1(y1 y2)()(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1 x2).).y2 y1x2 x1xy(4)(4)截距式截距式1(a、b分别为直线的横、纵截距，分别为直线的横、纵截距，a、b 0)ab（5 5）一般式）一般式Ax ByC 0(其中其中 A A、B B 不同时为不同时为 0).0).（3 3）两点式）两点式79.79.两条直线的平行和垂直两条直线的平行和垂直(1)(1)若若l1:y k1xb1，l2:y k2xb2l1|l2 k1 k2,b1 b2;l1 l2 k1k2 1.(2)(2)若若l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0,且且 A A1 1、A A2 2、B B1 1、B B2 2都不为零都不为零,A1B1C1；A2B2C2l1 l2 A1A2 B1B2 0；l1|l280.80.夹角公式夹角公式k2k1|.1k2k1(l1:y k1xb1，l2:y k2xb2,k1k2 1)AB A2B1|.(2)(2)tan|12A1A2 B1B2(l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0,A1A2 B1B2 0).).(1)(1)tan|直线直线l1 l2时，直线时，直线 l l1 1与与 l l2 2的夹角是的夹角是.211教学资料（高中数学）教学资料（高中数学）祝同学们学习进步祝同学们学习进步81.81.l1到到l2的角公式的角公式k2k1.1k2k1(l1:y k1xb1，l2:y k2xb2,k1k2 1)AB A2B1(2)(2)tan12.A1A2 B1B2(l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0,A1A2 B1B2 0).).(1)(1)tan直线直线l1 l2时，直线时，直线 l l1 1到到 l l2 2的角是的角是.28282四种常用直线系方程四种常用直线系方程(1)(1)定点直线系方程：定点直线系方程：经过定点经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为的直线系方程为y y0 k(x x0)(除直线除直线x x0),),其中其中k是待定是待定的系数的系数;经过定点经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为的直线系方程为A(x x0)B(y y0)0,其中其中A,B是待定的系数是待定的系数(2)(2)共点直线系方程：经过两直线共点直线系方程：经过两直线l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0的交点的直线系方程为的交点的直线系方程为(A1x B1y C1)(A2x B2y C2)0(除除l2)，其中是待定的系数，其中是待定的系数(3)(3)平行直线系方程：直线平行直线系方程：直线y kxb中当斜率中当斜率 k k 一定而一定而 b b 变动时，表示平行直线系方程与直线变动时，表示平行直线系方程与直线Ax ByC 0平行的直线系方程是平行的直线系方程是Ax By 0(0)，是参变量，是参变量(4)(4)垂直直线系方程：与直线垂直直线系方程：与直线Ax ByC 0(A(A0 0，B B0)0)垂直的直线系方程是垂直的直线系方程是Bx Ay 0,是参变量是参变量83.83.点到直线的距离点到直线的距离A B84.84.Ax ByC 0或或0所表示的平面区域所表示的平面区域设直线设直线l:Ax ByC 0，则，则Ax ByC 0或或0所表示的平面区域是：所表示的平面区域是：若若B 0，当当B与与Ax By C同号时，同号时，表示直线表示直线l的上方的区域；的上方的区域；当当B与与Ax By C异号时，异号时，表示直线表示直线l的下方的区域的下方的区域.简言之简言之,同号在上同号在上,异号在下异号在下.若若B 0，当当A与与Ax By C同号时，同号时，表示直线表示直线l的右方的区域；的右方的区域；当当A与与Ax By C异号时，异号时，表示直线表示直线l的左方的区域的左方的区域.简言之简言之,同号在右同号在右,异号在左异号在左.85.85.(A1x B1y C1)(A2x B2y C2)0或或0所表示的平面区域所表示的平面区域设曲线设曲线C:(A1x B1y C1)(A2x B2y C2)0（A1A2B1B2 0），则，则d|Ax0 By0C|22(点点P(x0,y0),直线直线l：Ax ByC 0).).(A1x B1y C1)(A2x B2y C2)0或或0所表示的平面区域是：所表示的平面区域是：(A1x B1y C1)(A2x B2y C2)0所表示的平面区域上下两部分；所表示的平面区域上下两部分；(A1x B1y C1)(A2x B2y C2)0所表示的平面区域上下两部分所表示的平面区域上下两部分.86.86.圆的四种方程圆的四种方程（1 1）圆的标准方程）圆的标准方程(xa)(y b)r.22（2 2）圆的一般方程）圆的一般方程x y Dx Ey F 0(D E 4F0).0).22222x arcos.y brsin（4 4）圆的直径式方程）圆的直径式方程(x x1)(x x2)(y y1)(y y2)0(圆的直径的端点是圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2).).（3 3）圆的参数方程）圆的参数方程87.87.圆系方程圆系方程(1)(1)过点过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是的圆系方程是(x x1)(x x2)(y y1)(y y2)(x x1)(y1 y2)(y y1)(x1 x2)0(x x1)(x x2)(y y1)(y y2)(axby c)0,其中其中axby c 0是直线是直线AB的方程的方程,是待定的是待定的12教学资料（高中数学）教学资料（高中数学）祝同学们学习进步祝同学们学习进步系数系数(2)(2)过过 直直 线线l:Ax ByC 0与与 圆圆C:x y Dx Ey F 0的的 交交 点点 的的 圆圆 系系 方方 程程 是是22x2 y2 Dx Ey F(Ax By C)0,是待定的系数是待定的系数2222(3)(3)过过圆圆C1:x y D1x E1y F1 0与与圆圆C2:x y D2x E2y F2 0的的交交点的点的 圆圆系系方方程程是是x2 y2 D1x E1y F1(x2 y2 D2x E2y F2)0,是待定的系数是待定的系数88.88.点与圆的位置关系点与圆的位置关系点点P(x0,y0)与圆与圆(x a)(y b)r的位置关系有三种的位置关系有三种若若d(a x0)(b y0)，则，则22222d r 点点P在圆外在圆外;d r 点点P在圆上在圆上;d r 点点P在圆内在圆内.89.89.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线直线Ax By C 0与圆与圆(x a)(y b)r的位置关系有三种的位置关系有三种:222d r 相离 0;d r 相切 0;d r 相交 0.其中其中d Aa BbCA B22.90.90.两圆位置关系的判定方法两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为设两圆圆心分别为 O O1 1，O O2 2，半径分别为，半径分别为 r r1 1，r r2 2，O1O2 dd r1 r2 外离 4条公切线;d r1 r2 外切 3条公切线;r1r2 d r1r2 相交 2条公切线;d r1r2内切 1条公切线;0 d r1r2内含 无公切线.91.91.圆的切线方程圆的切线方程(1)(1)已知圆已知圆x y Dx Ey F 0若已知切点若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是在圆上，则切线只有一条，其方程是22D(x0 x)E(y0 y)F 0.22D(x0 x)E(y0 y)当当(x0,y0)圆外时圆外时,x0 x y0y F 0表示过两个切点的切点弦方程表示过两个切点的切点弦方程22过圆外一点的切线方程可设为过圆外一点的切线方程可设为y y0 k(x x0)，再利用相切条件求，再利用相切条件求k k，这时必有两条切线，这时必有两条切线，注意不注意不x0 x y0y 要漏掉平行于要漏掉平行于 y y 轴的切线轴的切线斜率为斜率为 k k 的切线方程可设为的切线方程可设为y kxb，再利用相切条件求，再利用相切条件求 b b，必有两条切线，必有两条切线(2)(2)已知圆已知圆x y r2过圆上的过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为点的切线方程为x0 x y0y r;222斜率为斜率为k的圆的切线方程为的圆的切线方程为y kxr 1k2.x acosx2y292.92.椭圆椭圆221(a b 0)的参数方程是的参数方程是.aby bsinx2y293.93.椭圆椭圆221(a b 0)焦半径公式焦半径公式ab13教学资料（高中数学）教学资料（高中数学）祝同学们学习进步祝同学们学习进步a2a2PF1 e(x)，PF2 e(x).cc9494椭圆的的内外部椭圆的的内外部x2y2（1 1）点）点P(x0,y0)在椭圆在椭圆221(a b 0)的内部的内部abx2y2（2 2）点）点P(x0,y0)在椭圆在椭圆221(a b 0)的外部的外部ab95.95.椭圆的切线方程椭圆的切线方程22x0y021.2ab22x0y01.a2b2x2y2x xy y(1)(1)椭圆椭圆221(a b 0)上一点上一点P(x0,y0)处的切线方程是处的切线方程是02021.ababx2y2（2 2）过椭圆）过椭圆221(a b 0)外一点外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是abx0 xy0y21.2abx2y222222（3 3）椭圆）椭圆221(a b 0)与直线与直线Ax ByC 0相切的条件是相切的条件是A a B b c.abx2y296.96.双曲线双曲线221(a 0,b 0)的焦半径公式的焦半径公式aba2a2PF1|e(x)|，PF2|e(x)|.cc97.97.双曲线的内外部双曲线的内外部x2y2(1)(1)点点P(x0,y0)在双曲线在双曲线221(a 0,b 0)的内部的内部abx2y2(2)(2)点点P(x0,y0)在双曲线在双曲线221(a 0,b 0)的外部的外部ab98.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系双曲线的方程与渐近线方程的关系22x0y01.a2b222x0y021.2abx2y2x2y2b(1(1）若双曲线方程为）若双曲线方程为221渐近线方程：渐近线方程：22 0 y x.ababax2y2xyb (2)(2)若渐近线方程为若渐近线方程为y x 0双曲线可设为双曲线可设为22.ababax2y2x2y2 (3)(3)若双曲线与若双曲线与221有公共渐近线，可设为有公共渐近线，可设为22（0，焦点在，焦点在x x 轴上，轴上，0，焦点在，焦点在ababy y 轴上）轴上）.99.99.双曲线的切线方程双曲线的切线方程x2y2x xy y(1)(1)双曲线双曲线221(a 0,b0)上一点上一点P(x0,y0)处的切线方程是处的切线方程是02021.ababx2y2（2 2）过双曲线）过双曲线221(a 0,b0)外一点外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是abx0 xy0y21.2abx2y222222（3 3）双曲线）双曲线221(a 0,b0)与直线与直线Ax ByC 0相切的条件是相切的条件是A a B b c.ab2100.100.抛物线抛物线y 2px的焦半径公式的焦半径公式14教学资料（高中数学）教学资料（高中数学）祝同学们学习进步祝同学们学习进步抛物线抛物线y 2px(p 0)焦半径焦半径CF x0过焦点弦长过焦点弦长CD x12p.2pp x2 x1 x2 p.222y2101.101.抛物线抛物线y 2px上的动点可设为上的动点可设为 P P(,y)或或P(2pt2,2pt)或 P P(x,y)，其中，其中y2 2px.2pb24acb22)102.102.二二 次次 函函 数数y ax bxc a(x（1 1）顶顶 点点 坐坐 标标 为为(a 0)的的 图图 象象 是是 抛抛 物物 线线：2a4ab4acb2b4acb214acb21(,)；,)；（2 2）焦点的坐标为）焦点的坐标为(（3 3）准线方程是）准线方程是y.2a4a2a4a4a103.103.抛物线的内外部抛物线的内外部2(1)(1)点点P(x0,y0)在抛物线在抛物线y 2px(p 0)的内部的内部 y 2px(p 0).2点点P(x0,y0)在抛物线在抛物线y 2px(p 0)的外部的外部 y 2px(p 0).22(2)(2)点点P(x0,y0)在抛物线在抛物线y 2px(p 0)的内部的内部 y 2px(p 0).点点P(x0,y0)在抛物线在抛物线y 2px(p 0)的外部的外部 y 2px(p 0).(3)(3)点点P(x0,y0)在抛物线在抛物线x 2py(p 0)的内部的内部 x 2py(p 0).点点P(x0,y0)在抛物线在抛物线x 2py(p 0)的外部的外部 x 2py(p 0).(4)(4)点点P(x0,y0)在抛物线在抛物线x 2py(p 0)的内部的内部 x 2py(p 0).点点P(x0,y0)在抛物线在抛物线x 2py(p 0)的外部的外部 x 2py(p 0).104.104.抛物线的切线方程抛物线的切线方程2(1)(1)抛物线抛物线y 2px上一点上一点P(x0,y0)处的切线方程是处的切线方程是y0y p(x x0).222222222222（2 2）过抛物线）过抛物线y 2px外一点外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是y0y p(xx0).（3 3）抛物线）抛物线y 2px(p 0)与直线与直线Ax ByC 0相切的条件是相切的条件是pB 2AC.105.105.两个常见的曲线系方程两个常见的曲线系方程(1)(1)过曲线过曲线f1(x,y)0,f2(x,y)0的交点的曲线系方程是的交点的曲线系方程是222f1(x,y)f2(x,y)0(为参数为参数).).x2y221,其中其中k maxa2,b2.当当k mina2,b2时时,表示椭表示椭(2)(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程共焦点的有心圆锥曲线系方程2a kb k2222圆圆;当当mina,b k maxa,b 时时,表示双曲线表示双曲线.106.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB(x1 x2)2(y1 y2)2或或AB(1k2)(x2 x1)2|x1 x2|1 tan2|y1 y2|1cot2（弦端点（弦端点 A A(x1,y1),B(x2,y2)，由，由方程方程y kx b2消去消去 y y 得到得到ax bx c 0，0,为直线为直线AB的倾斜角，的倾斜角，k为直线的斜率）为直线的斜率）.F(x,y)0107.107.圆锥曲线的两类对称问题圆锥曲线的两类对称问题（1 1）曲线）曲线F(x,y)0关于点关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0 y)0.（2 2）曲线）曲线F(x,y)0关于直线关于直线Ax ByC 0成轴对称的曲线是成轴对称的曲线是F(x2A(Ax ByC)2B(Ax ByC),y)0.2222A BA B222108.108.“四线”一方程“四线”一方程2对于一般的二次曲线对于一般的二次曲