高中数学知识点总结(最全版)(精品).pdf

数数学学知知识识点点总总结结引言引言1.1.课程内容：课程内容：必修课程必修课程由 5 个模块组成：必修必修 1 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修必修 2 2：立体几何初步、平面解析几何初步。：立体几何初步、平面解析几何初步。必修必修 3 3：算法初步、统计、概率。：算法初步、统计、概率。必修必修 4 4：基本初等函数（三角函数）：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。、平面向量、三角恒等变换。必修必修 5 5：解三角形、数列、不等式。：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程选修课程有 4 个系列：系列 1：由 2 个模块组成。选修 11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修 12：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列 2：由 3 个模块组成。选修选修 2 21 1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。空间向量与立体几何。选修选修 2 22 2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修选修 2 23 3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列 3：由 6 个专题组成。选修 31：数学史选讲。选修 32：信息安全与密码。选修 33：球面上的几何。选修 34：对称与群。选修 35：欧拉公式与闭曲面分类。选修 36：三等分角与数域扩充。系列 4：由 10 个专题组成。选修选修 4 41 1：几何证明选讲。：几何证明选讲。选修 42：矩阵与变换。选修 43：数列与差分。选修选修 4 44 4：坐标系与参数方程。：坐标系与参数方程。选修选修 4 45 5：不等式选讲。：不等式选讲。选修 46：初等数论初步。选修 47：优选法与试验设计初步。选修 48：统筹法与图论初步。选修 49：风险与决策。选修 410：开关电路与布尔代数。2 2重难点及考点：重难点及考点：第-2-页 共 102 页重点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：高考相关考点：集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布导数：导数的概念、求导、导数的应用复数：复数的概念与运算高中数学高中数学 必修必修 1 1 知识点知识点第一章第一章集合与函数概念集合与函数概念1.11.1集合集合【1.1.11.1.1】集合的含义与表示】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.（4）集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法：x|x具有的性质，其中x为集合的代表元素.第-3-页 共 102 页图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.21.1.2】集合间的基本关系】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义(1)AAA 中的任一元素都属于 B(2)A(3)若A B且B C，则A C(4)若A B且B A，则A B（1）A（A 为非空子集）性质示意图A B子集（或A(B)A(B)B BA AB A)AB或A B，且 B 中至少有一元素不属于A真子集（或BA）(2)若AB且BC，则ACB BA A集合相等A BA 中的任一元素都(1)AB属于 B，B 中的任(2)BA一元素都属于 AnA(B)A(B)nnn（7）已知集合A有n(n 1)个元素，则它有2个子集，它有2 1个真子集，它有2 1个非空子集，它有2 2非空真子集.【1.1.31.1.3】集合的基本运算】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质（1）A（2）A（3）AA（1）A（2）A（3）AA示意图交集ABx|x A,且xB并集ABx|x A,或xBA A B AB BA A AB AB B1A(UA)A AB BA AB B补集UAx|xU,且xA痧B)(UA)(?U(AUB)痧B)(UA)(?U(AUB)2A(UA)U【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集|x|a(a 0)|x|a(a 0)x|a x ax|x a或x a第-4-页 共 102 页把axb看成一个整体，化成|x|a，|ax b|c,|ax b|c(c 0)|x|a(a 0)型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式 b 4ac二次函数2 0 0 0y ax2bxc(a 0)的图象一元二次方程O Oax bxc 0(a 0)的根2bb24acx1,22a（其中x1 x2)x1 x2 b2a无实根ax2bxc 0(a 0)的解集x|x x1或x x2x|x b2aRax2bxc 0(a 0)的解集x|x1 x x21.21.2函数及其表示函数及其表示【1.2.11.2.1】函数的概念】函数的概念（1）函数的概念设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作f:A B函数的三要素:定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设a,b是两个实数，且a b，满足a x b的实数x的集合叫做闭区间，记做a,b；满足a x b的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a x b，或a x b的实数x的集合叫做半开半闭区间，,分 别 记 做a b),x ,a x,b的x实b数x的 集 合 分 别 记 做，(a,b；满 足x aa ,)a,(,)b,(,b 注意：注意：对于集合x|a x b与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须a b，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）第-5-页 共 102 页（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：f(x)是整式时，定义域是全体实数f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1y tan x中，x k2(k Z)零（负）指数幂的底数不能为零若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为a,b，其复合函数fg(x)的定义域应由不等式a g(x)b解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值最值判别式法：若函数y f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x b(y)xc(y)0，则在a(y)0时，由于x,y为实数，故必须有 b(y)4a(y)c(y)0，从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【1.2.21.2.2】函数的表示法】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记第-6-页 共 102 页22作f:A B给定一个集合A到集合B的映射，且a A,bB如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象1.31.3函数的基本性质函数的基本性质【1.3.11.3.1】单调性与最大（小）值】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质定义如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x x 1 1 x x 时，都有 f(xf(x)f(x)f(x)，2 21 12 2 那么就说 f(x)在这个区间上是增函数增函数如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x x f(x)f(x)，2 21 12 2 那么就说 f(x)在这个区间上是减函数减函数图象判定方法（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数y yy=f(X)y=f(X)f(x)f(x)1f(x)f(x)2o ox x1x x2x x函数的单调性y yf(x)f(x)1y=f(X)y=f(X)f(x)f(x)2o ox x1x x2x x在公共定义域内，在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数对于复合函数y fg(x)，令，令u g(x)，若，若y f(u)为增，为增，u g(x)为增，则为增，则y fg(x)为增；若为增；若y f(u)为减，为减，u g(x)为减，为减，则则y fg(x)为增；为增；若若y f(u)为增，为增，u g(x)为减，为减，则则y fg(x)为为减；若减；若y f(u)为减，为减，u g(x)为增，则为增，则y fg(x)为减为减（2）打“”函数f(x)x a(a 0)的图象与性质xy yf(x)分别在(,a、a,)上为增函数，分别在 a,0)、(0,a上为减函数（3）最大（小）值定义一般地，设函数y f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M那么，我们称M是函o ox x第-7-页 共 102 页数f(x)的最大值，记作fmax(x)M一般地，设函数y f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)m；（2）存在x0I，使得f(x0)m那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作fmax(x)m【1.3.21.3.2】奇偶性】奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质定义如果对于函数 f(x)定义域内任意一个x，都有f(f(x)=x)=f(x)f(x),那么函数 f(x)叫做奇函数奇函数函数的奇偶性如果对于函数 f(x)定义域内任意一个x，都有f(f(f(x)f(x),那 么 函 数 x)=x)=f(x)叫做偶函数偶函数若函数f(x)为奇函数，且在x 0处有定义，则f(0)0奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充知识函数的图象补充知识函数的图象（1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换h0,左移h个单位k0,上移k个单位y f(x)y f(x h)y f(x)y f(x)kh0,右移|h|个单位k0,下移|k|个单位图象判定方法（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）伸缩变换01,伸y f(x)y f(x)1,缩0A1,缩y f(x)y Af(x)A1,伸对称变换y轴x轴y f(x)y f(x)y f(x)y f(x)第-8-页 共 102 页直线yx原点y f(x)y f(x)y f(x)y f1(x)去掉y轴左边图象y f(x)y f(|x|)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象y f(x)y|f(x)|将x轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章第二章基本初等函数基本初等函数()2.12.1指数函数指数函数【2.1.12.1.1】指数与指数幂的运算】指数与指数幂的运算（1）根式的概念如果x a,aR,xR,n 1，且nN，那么x叫做a的n次方根当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是 0；负数a没有n次方根式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a 0根式的性质：(na)n a；当n为奇数时，a a；当n为偶数时，an|a|（2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：anam(a 0,m,nN,且n 1)0 的正分数指数幂等于 0正数的负分数指数幂的意义是：amnmnnnnna (a 0)a (a 0)1m1()nn()m(a 0,m,nN,且n 1)0 的负分数指数幂aa没有意义注意口诀：注意口诀：底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质a a arrsrs(a 0,r,sR)(ar)s ars(a 0,r,sR)(ab)a b(a 0,b 0,rR)【2.1.22.1.2】指数函数及其性质】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称定义图象指数函数x函数y a(a 0且a 1)叫做指数函数rra 10 a 1y y a ax xy yy y a ax xy y第-9-页 共 102 页y y 1 1(0,1)(0,1)y y 1 1(0,1)(0,1)定义域值域过定点奇偶性单调性在R上是增函数R(0,)图象过定点(0,1)，即当x 0时，y 1非奇非偶在R上是减函数ax1(x 0)函数值的变化情况ax1(x 0)ax1(x 0)ax1(x 0)ax1(x 0)ax1(x 0)图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低a变化对2.22.2对数函数对数函数【2.2.12.2.1】对数与对数运算】对数与对数运算（1）对数的定义若a N(a 0,且a 1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x logaN，其中a叫做底数，N叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：x logaN ax N(a 0,a 1,N 0)（2）几个重要的对数恒等式xloga1 0，logaa 1，logaab b（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N，即log10N；自然对数：ln N，即logeN（其中e 2.71828）（4）对数的运算性质如果a 0,a 1,M 0,N 0，那么加法：logaM logaN loga(MN)减法：logaM logaN loga数乘：nlogaM logaMn(nR)anlogabMlogaNMN NnlogbNlogaM(b 0,nR)换底公式：logaN(b 0,且b 1)blogba第-10-页 共 102 页【2.2.22.2.2】对数函数及其性质】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称定义对数函数函数y logax(a 0且a 1)叫做对数函数a 10 a 1y y图象x x 1 1y y logloga ax xy y1 1x x O O(1,0)(1,0)x xO Oy y logloga ax x(1,0)(1,0)x x定义域值域过定点奇偶性单调性在(0,)上是增函数(0,)R图象过定点(1,0)，即当x 1时，y 0非奇非偶在(0,)上是减函数logax 0(x 1)函数值的变化情况logax 0(x 1)logax 0(x 1)logax 0(0 x 1)logax 0(x 1)logax 0(0 x 1)图象的影响a变化对(6)反函数的概念在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高设函数y f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y f(x)中解出x，得式子x(y)如果对于y在通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表示x是yC中的任何一个值，的函数，函数x(y)叫做函数y f(x)的反函数，记作x f（7）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式y f(x)中反解出x f将x f111(y)，习惯上改写成y f1(x)(y)；(y)改写成y f1(x)，并注明反函数的定义域（8）反函数的性质原函数y f(x)与反函数y f1(x)的图象关于直线y x对称1函数y f(x)的定义域、值域分别是其反函数y f(x)的值域、定义域第-11-页 共 102 页若P(a,b)在原函数y f(x)的图象上，则P(b,a)在反函数y f1(x)的图象上一般地，函数y f(x)要有反函数则它必须为单调函数2.32.3幂函数幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x叫做幂函数，其中x为自变量，是常数（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象 幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图第-12-页 共 102 页象只分布在第一象限过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调性：如果 0，则幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数如果 0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当qpq（其中p,q互质，ppqp和qZ），若p为奇数q为奇数时，则y x是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则y x是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则y x是非奇非偶函数图象特征：幂函数y x,x(0,)，当1时，若0 x 1，其图象在直线y x下方，若x 1，其图qp象在直线y x上方，当1时，若0 x 1，其图象在直线y x上方，若x 1，其图象在直线y x下方补充知识二次函数补充知识二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a 0)顶点式：f(x)a(xh)2k(a 0)两根式：f(x)a(x x1)(x x2)(a 0)（2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便（3）二次函数图象的性质二次函数f(x)ax bxc(a 0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x 2b,顶点坐标是2ab4acb2(,)2a4a当a 0时，抛物线开口向上，函数在(,bbb上递减，在,)上递增，当x 时，2a2a2a4acb2bbb上递增，,)上递减，fmin(x)；当a 0时，抛物线开口向下，函数在(,在当x 2a2a2a4a4acb2时，fmax(x)4a22二次函数f(x)ax bxc(a 0)当 b 4ac 0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2|x1x2|a|第-13-页 共 102 页（4）一元二次方程ax2bxc 0(a 0)根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程ax bxc 0(a 0)的两实根为x1,x2，且x1 x2令f(x)ax bxc，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：a对称轴位置：x kx1x222b判别式：端点函数值符号2ayf(k)0ya 0 x b2aOkx1x kx2b2aOxx1x2xa 0f(k)0 x1x2kya 0Oyf(k)0 x Ob2ax1x2kxb2akx2x1a 0 xx f(k)0 x1kx2af(k)0ya 0yf(k)0 x2xa 0Okx1x2xx1Okf(k)0k1x1x2k2ya 0yx f(k1)0f(k)02x1x2k2xOb2aOk1k1x1x2k2xbx 2af(k1)0a 0f(k2)0有且仅有一个根 x（或 x2）满足 k1x（或 x2）k2f(k1)f(k2)0，并同时考虑 f(k1)=0 或 f(k2)=011第-14-页 共 102 页这两种情况是否也符合ya 0yf(k1)0f(k1)0 x1k2Ok1x2xOx1k1a 0 x2k2xf(k2)0f(k2)0k1x1k2p1x2p2此结论可直接由推出（5）二次函数f(x)ax2bxc(a 0)在闭区间p,q上的最值设f(x)在区间p,q上的最大值为最大值为M，最小值为，最小值为m，令x0（）当a 0时（开口向上）若1(p q)2bbbb p，则m f(p)若p q，则m f()若 q，则m f(q)2a2a2a2a f(q)Of(p)xOf(b)2af(q)xf(p)Ofbf(p)2axb)2aff(q)bb x0，则M f(q)x0，则M f(p)若2a2a fx(q)0Oxfb(p)f(2a()当a 0时(开口向下)若bf()2af(p)O(q)bf()2a f(p)x0Oxb)2aff(q)bbbb p，则M f(p)若p q，则M f()若 q，则M f(q)2a2a2a2af(b)2aff(p)xO(q)xOx ff(q)第-15-页共 102 页f(p)若bb x0，则m f(q)x0，则m f(p)2a2af(b)2af(f(p)Ofb)2a(q)x0 xx0Of(q)x f(p)第三章第三章 函数的应用函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y f(x)(x D)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数y f(x)(x D)的零点。2、函数零点的意义：函数y f(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数y f(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：方程f(x)0有实数根函数y f(x)的图象与x轴有交点函数y f(x)有零点3、函数零点的求法：求函数y f(x)的零点：1（代数法）求方程f(x)0的实数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y 性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数y ax bx c(a 0)），方程ax bx c 0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点），方程ax bx c 0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点），方程ax bx c 0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点高中数学高中数学 必修必修 2 2 知识点知识点第一章第一章空间几何体空间几何体1.11.1 柱、锥、台、球的结构特征柱、锥、台、球的结构特征（1 1）棱柱：定义）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE A B C D E或用对角线的端点字母，如五棱柱AD几何特征几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2 2）棱锥）棱锥第-16-页 共 102 页f(x)的图象联系起来，并利用函数的2222定义定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示表示：用各顶点字母，如五棱锥P A B C D E几何特征几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3 3）棱台：定义）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示表示：用各顶点字母，如五棱台P A B C D E几何特征几何特征：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点（4 4）圆柱：定义）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5 5）圆锥：定义）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6 6）圆台：定义：）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（7 7）球体：定义：）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。1.21.2 空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3 直观图：斜二测画法4 斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.31.3 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积1 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2S rl r2 圆柱的表面积2rl 2S r3 圆锥的表面积2224 圆台的表面积S rl r Rl R5 球的表面积S 4R2（二）空间几何体的体积1 柱体的体积V S底h2 锥体的体积V 3 台体的体积V （S上V 1S底h313S上S下 S下)h4 球体的体积43R3第-17-页 共 102 页第二章第二章 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系2.12.1 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示0（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45，且横边画成邻边的 2 倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平面 等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面 ABCD 等。3三个公理：（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为DCALABL =LABLAB公理 1 作用：判断直线是否在平面内（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。AB C符号表示为：A、B、C 三点不共线=有且只有一个平面，使 A、B、C。公理 2 作用：确定一个平面的依据。（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P =L，且 PLP公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据L2.1.22.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设 a、b、c 是三条直线ab=accb强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：a与 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；(0，)；两条异面直线所成的角 2第-18-页 共 102 页 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab；两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.32.1.3 2.1.42.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示a a=A a2 2.2.2.直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质2.2.12.2.1 直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：ab =aab2.2.22.2.2 平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：abab=P ab2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.32.2.3 2.2.42.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：aa ab =b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。第-19-页 共 102 页2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：=a ab =b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.12.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定1、定义如果直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面 互相垂直，记作L，直线L 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。L p2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.22.3.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭 lB2、二面角的记法：二面角-l-或-AB-3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.32.3.3 2.3.42.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图本章知识结构框图平面（公理1、公理2、公理 3、公理 4）空间直线、平面的位置关系第-20-页 共 102 页第三章第三章直线与方程直线与方程3.13.1 直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率3.13.1 倾斜角和斜率倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定=0.2、倾斜角 的取值范围：0 180.当直线 l 与 x 轴垂直时,=90.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k=tan当直线 l 与 x 轴平行或重合时,=0,k=tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时,=90,k 不存在.由此可知,一条直线 l 的倾斜角 一定存在,但是斜率 k 不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线P1P2 的斜率：斜率公式斜率公式:k=y2-y1/x2-x1:k=y2-y1/x2-x13.1.23.1.2 两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系注意:上面的等