高中数学知识点汇总.pdf

目目 录录高中数学第一章集合.1高中数学第二章函数.6高中数学第三章数列.15高中数学第四章三角函数.21高中数学第五章平面向量.29高中数学第六章不等式.38高中数学第七章直线和圆的方程.42高中数学第八章圆锥曲线方程.49高中数学第九章立体几何.55高中数学第十章排列组合二项定理.71高中数学第十一章概率.78高中数学第十二章概率与统计.80高中数学第十三章极 限.85高中数学第十四章导 数.89高中数学第十五章复数.930v1.0 可编辑可修改高中数学第一章高中数学第一章集合集合考试内容：考试内容：集合、子集、补集、交集、并集逻辑联结词四种命题充分条件和必要条件考试要求：考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义01.01.集集合合与与简简易易逻逻辑辑知知识识要要点点一、知识结构一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一）集合1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.集合的性质：1任何一个集合是它本身的子集，记为A A；空集是任何集合的子集，记为 A；空集是任何非空集合的真子集；如果A B，同时B A，那么A=B.如果A B，B C，那么A C.注：Z=整数（）Z=全体整数（）已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（）（例：S=N；A=N，则 C CsA=0）空集的补集是全集.若集合A=集合B，则 C CBA=，C CAB=C CS（C CAB）=D（注：C CAB=）.3.（x，y）|xy=0，xR，yR坐标轴上的点集.（x，y）|xy0，xR，yR二、四象限的点集.（x，y）|xy0，xR，yR 一、三象限的点集.注：对方程组解的集合应是点集.例：x y 3解的集合(2，1).2x3y 12点集与数集的交集是.（例：A=(x，y)|y=x+1 B=y|y=x+1则AB=）4.n个元素的子集有2 个.n个元素的真子集有2 1 个.n个元素的非空真子集有 2 2 个.5.一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题.一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题.例：若a b 5，则a 2或b 3应是真命题.解：逆否：a=2 且b=3，则a+b=5，成立，所以此命题为真.x 1且y 2，x y 3.解：逆否：x+y=3x 1且y 2nnnx=1 或y=2.x y 3,故x y 3是x 1且y 2的既不是充分，又不是必要条件.2v1.0 可编辑可修改小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3.例：若x 5，x 5或x 2.4.集合运算：交、并、补.交：AB x|x A,且xB并：AB x|x A或xB补：CUA xU,且x A5.主要性质和运算律（1）包含关系：A A,A,AU,CUAU,A B,B C A C;AB A,AB B;AB A,AB B.（2）等价关系：A B A（3）集合的运算律：交换律：A B B A;A B B A.B A AB B CB UUA结合律:(A B)C A(B C);(A B)C A(B C)分配律:.A(B C)(A B)(AC);A(B C)(A B)(AC)0-1 律：A ,A A,UA A,UA U等幂律：A A A,A A A.求补律：ACUA=ACUA=U=UC CUU=C CU U=U反演律：CU(AB)=(C(CUA)(C CUB)C)CU(AB)=(C(CUA)(C CUB)6.有限集的元素个数定义：有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数，记为 card(A)规定 card()=0.基本公式：(1)card(AB)card(A)card(B)card(AB)(2)card(ABC)card(A)card(B)card(C)card(AB)card(BC)card(Ccard(ABC)(3)card(UA)A)=)=card(U)-card(A)3v1.0 可编辑可修改(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.1.整式不等式的解法整式不等式的解法根轴法根轴法（零点分段法）将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)0(0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等式是“b 解的讨论；一元二次不等式 ax+box0(a0)解的讨论.0 0 02二次函数y ax2 bx c（a 0）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根 Rax bxc 02a 0的根ax2bxc 0(a 0)的解集x1,x2(x1 x2)x1 x2 b2ax x x 或x x12b x x 2a4ax2bxc 0(a 0)的解集x x1 x x22.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为f(x)f(x)f(x)f(x)0(或0)；0(或0)的形式，g(x)g(x)g(x)g(x)（2）转化为整式不等式（组）f(x)f(x)f(x)g(x)0 0 f(x)g(x)0;0 g(x)0g(x)g(x)3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：axb c,与axb c(c 0)型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4.一元二次方程根的分布一元二次方程 ax+bx+c=0(a0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.（三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式：p 或 q(记作“pq”)；p 且 q(记作“pq”)；非 p(记作“q”)。3、“或”、“且”、“非”的真值判断（1）“非 p”形式复合命题的真假与F 的真假相反；原 命 题若 p则 q互否否 命 题若 p则 q52互 逆互为为互逆否逆 命 题若 q则 p互否逆 否 命 题若 q则 p逆否互逆（2）“p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为真，其他情况时为假；（3）“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假，其他情况时为真4、四种命题的形式：原命题：若 P 则 q；逆命题：若 q 则 p；否命题：若P 则q；逆否命题：若q 则p。(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题5、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题)、原命题为真，它的逆命题不一定为真。、原命题为真，它的否命题不一定为真。、原命题为真，它的逆否命题一定为真。6、如果已知 pq 那么我们说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。若 pq 且 qp,则称 p 是 q 的充要条件，记为 pq.7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。高中数学第二章高中数学第二章函数函数考试内容：考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性反函数互为反函数的函数图像间的关系指数概念的扩充有理指数幂的运算性质指数函数对数对数的运算性质对数函数函数的应用考试要求：考试要求：（1）了解映射的概念，理解函数的概念6（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题02.02.函函数数知知识识要要点点一、本章知识网络结构：定义F:AB反函数映射函数具体函数一般研究图像 性质二次函数指数指数函数对数对数函数二、知识回顾：（一）映射与函数1.映射与一一映射2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.3.反函数7v1.0 可编辑可修改反函数的定义设函数y f(x)(x A)的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表示出，得到x=(y).若对于 y 在 C 中的任何一个值，通过x=(y)，x 在 A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y)(yC)叫做函数y f(x)(x A)的反函数，记作x f1(y),习惯上改写成y f1(x)（二）函数的性质函数的单调性定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,若当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数；若当 x1f(x2),则说 f(x)在这个区间上是减函数.若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.2.函数的奇偶性8正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：（1 1）定义域在数轴上关于原点对称是函数）定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇为奇函数或偶函数的必要不充分条件；函数或偶函数的必要不充分条件；（2 2）f(x)f(x)或或f(x)f(x)是定义域上的恒等式。是定义域上的恒等式。2 2奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于的图象关于y轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。3.3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性相反减性相反.4 4如果如果f(x)是偶函数，是偶函数，则则f(x)f(|x|)，反之亦成立。反之亦成立。若奇函数在若奇函数在x 0时有意义，则时有意义，则f(0)0。7.奇函数，偶函数：偶函数：f(x)f(x)设（a,b）为偶函数上一点，则（a,b）也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于y轴对称，例如：y x21在1,1)上不是偶函数.满足f(x)f(x)，或f(x)f(x)0，若f(x)0时，奇函数：f(x)f(x)设（a,b）为奇函数上一点，则（a,b）也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：f(x)1.f(x)y x3在1,1)上不是奇函数.f(x)1.满足f(x)f(x)，或f(x)f(x)0，若f(x)0时，f(x)y轴对称 y f（x）8.对称变换：y=f（x）y=f（x）x轴对称 y f（x）原点对称 y f（x）y=f（x）9.判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：f(x1)f(x2)在进行讨论.92x21b2x2b2（x1 x2）(x1 x2)22xxb2x1b210.外层函数的定义域是内层函数的值域.例如：已知函数f（x）=1+x的定义域为A，函数ff（x）的定义域是B，则集合A1 x与集合B之间的关系是 .解：f(x)的值域是f(f(x)的定义域B，f(x)的值域R，故B R，而Ax|x 1，故B A.11.常用变换：f(x y)f(x)f(y)f(x y)f(x).f(y)f(y)f(x)f(x y)y f(x y)f(y)证：f(x y)f(x)xf()f(x)f(y)f(x y)f(x)f(y)y证：xxf(x)f(y)f()f(y)yy12.熟悉常用函数图象：1|x|y y 2例：|x|关于y轴对称.2|x2|1 1y y 22|x|x2|yyy(2,1)(0,1)xxxy|2x 2x1|y|关于x轴对称.2y熟悉分式图象：例：y 2x17定义域x|x 3,xR，2x3x3x值域y|y 2,yR值域x前的系数之比.（三）指数函数与对数函数10y2x3xy a(a 0且a 1)的图象和性质指数函数图象a10a0 时，y1;x0 时，0y0 时，0y1;x1.（5）在 R 上是减函数loga(M N)logaM logaN(1)logaM logaM logaNNnNlogaMn nloga M12)logaaloga1M logaMn NlogbN换底公式：logaN logba推论：logablogbc logca 1 loga1a2loga2a3.logan1an loga1an11（以上M 0,N 0,a 0,a 1,b 0,b 1,c 0,c 1,a1,a2.an 0且 1）12a10a1a1图Ox象x=1x=1a1a0（5）在（0，+）上是增函数x(1,)时y 0在（0，+）上是减函数注：当a,b 0时，log(ab)log(a)log(b).：当M 0时，取“+”，当n是偶数时且M 0时，Mn 0，而M 0，故取“”.例如：logax2 2logax(2logax中x0 而logax2中xR）.y logax互为反函数.y ax（a 0,a 1）与当a 1时，y logax的a值越大，越靠近x轴；当0 a 1时，则相反.（四）方法总结.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.13对数运算：loga(M N)logaM logaN(1)logaM logaM logaNN1logaMnlogaMn nloga M12)loganM alogaN NlogbNlogba换底公式：logaN 推论：logablogbc logca 1 loga1a2loga2a3.logan1an loga1an（以上M 0,N 0,a 0,a 1,b 0,b 1,c 0,c 1,a1,a2.an 0且 1）注：当a,b 0时，log(ab)log(a)log(b).：当M 0时，取“+”，当n是偶数时且M 0时，Mn 0，而M 0，故取“”.2例如：logax 2logax(2logax中x0 而logax中xR）.2y ax（a 0,a 1）与y logax互为反函数.当a 1时，y logax的a值越大，越靠近x轴；当0 a 1时，则相反.函数表达式的求法：定义法；换元法；待定系数法.反函数的求法：先解x,互换 x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为分母不为0；偶次根式中被开方数不小于0；对数的真数大于 0，底数大于零且不等于 1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等.函数值域的求法：配方法(二次或四次)；“判别式法”；反函数法；换元法；不等式法；函数的单调性法.单调性的判定法：设 x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且 x1x2；判定 f(x1)与 f(x2)的大小；作差比较或作商比较.14.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算 f(-x)与 f(x)之间的关系：f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；f(-x)-f(x)=0 为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；f(-x)/f(x)=1 是偶；f(x)f(-x)=-1 为奇函数.图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.高中数学第三章高中数学第三章数列数列考试内容：考试内容：数列等差数列及其通项公式等差数列前n 项和公式等比数列及其通项公式等比数列前n 项和公式考试要求：考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，井能解决简单的实际问题03.03.数数 列列知知识识要要点点数列数列的定义数列的有关概念数列的通项数列与函数的关系项项数通项15等差数列定义等差数列的定义等差数列的通项等差数列的性质等差数列的前n项和等比数列等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前n项和等差数列等比数列an1an dan an1d；an1 q(q 0)an递 推 公式an an1q；an amqnman amnmdan a1(n1)dan a1qn1（a1,q 0）通 项 公式中项A ankank2G ankank(ankank 0)（n,k N*,n k 0）前n项和Snn(a1an)2n(n1)d2（n,k N*,n k 0）na1(q 1)Sna11qna1anq(q 2)1q1qSn na1重 要 性质am an ap aq(m,n,p,q N*,m n p q)aman apaq(m,n,p,q N*,m n p q)1.等差、等比数列：定义等差数列等比数列an为AP an1 an d(常数）an为GP an1an q(常数）16通项公式求和公式an=a1+（n-1）d=ak+（n-k）d=dn+a1-dan a1qn1 akqnkn(a1 an)n(n 1)na1d22d2dn (a1)n22sn(q 1)na1sna1(1 qn)a1 anq(q 1)1 q1 q中项公式A=a b2推广：2an=anm anmG2 ab。推广：an anmanm2若 m+n=p+q，则aman apaq。若kn成等比数列（其中kn N），则akn成等比数列。性质1若 m+n=p+q 则am an ap aq2若kn成（其中kn N）则ak也n为。3sn,s2n sn,s3n s2n成等差数列。sn,s2n sn,s3n s2n成等比数列。4a a1am and n(m n)n 1m nqn1ana1，qnmanam(m n)5看数列是不是等差数列有以下三种方法：an an1 d(n 2,d为常数)2an an1an1(n 2)an knb(n,k为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法：an an1q(n 2,q为常数,且 0)2 an1an1(n 2，anan1an1 0)an注：i.b ac，是a、b、c成等比的双非条件，即b aca、b、c等比数列.17ii.b ac（ac0）为a、b、c等比数列的充分不必要.iii.b ac为a、b、c等比数列的必要不充分.iv.b ac且ac 0为a、b、c等比数列的充要.注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac0，则等比中项一定有两个.an cqn(c,q为非零常数).正数列an成等比的充要条件是数列logxan（x 1）成等比数列.s1 a1(n 1)数列an的前n项和Sn与通项an的关系：ans s(n 2)n1n注：ana1n1d nd a1d（d可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）若d不为 0，则是等差数列充分条件）.等差an前n项和Sn An2Bn n2a1n d 2d 2d可以为零也可不为零为等差2的充要条件若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2.等 差 数 列 依 次 每k项 的 和 仍 成 等 差 数 列，其 公 差 为 原 公 差 的k倍Sk,S2k Sk,S3k S2k.；2若等差数列的项数为 2n nN，则S偶S奇 nd，SS奇偶anan1；nn1若等差数列的项数为2n 1nN，则S2n12n1an，且S奇S偶an，S奇 代入n到2n 1得到所求项数.3.常用公式：1+2+3+n=122232n2nn12S偶nn12n162nn1132333n32注：熟悉常用通项：9，99，999，an10n1；5，55，555，an4.等比数列的前n项和公式的常见应用题：5n10 1.918生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1 r.其中第n年产量为a(1 r)n1，且过n年后总产量为：2n1aa(1r)a(1r).a(1r)aa(1r)n.1(1r)银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1 r)n元.因此，第二年年初可存款：121110a(1r)a(1r)a(1r)a(1r)1(1r)12.a(1r)=.1(1r)分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.a1r x1rmm1 x1rm2.x1r x a1rmx1rm1ar1rm x mr1r15.数列常见的几种形式：an2 pan1qan（p、q为二阶常数）用特证根方法求解.具体步骤：写出特征方程x2 Pxq（x2对应an2，x对应an1），并设二根x1,x2若x1x2nn可设an.c1xn1c2x2，若x1x2可设an(c1c2n)x1；由初始值a1,a2确定c1,c2.an Pan1r（P、r为常数）用转化等差，等比数列；逐项选代；消去常数n转化为an2 Pan1qan的形式，再用特征根方法求an；anc1c2Pn1（公式法），c1,c2由a1,a2确定.转化等差，等比：an1x P(anx)an1 PanPx x x 选代法：an Pan1r P(Pan2r)r an(a1Pn1a1Pn2r Prr.an1 Panran1an PanPan1an1（P1）anPan1.相减，an Pan1rrrrr，c2a1，anc2Pn1c1（a1）Pn1.1 PP 1P 11 Pr.P 1rr)Pn1(a1x)Pn1xP 1P 1用特征方程求解：由选代法推导结果：c16.几种常见的数列的思想方法：等差数列的前n项和为Sn，在d 0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有19两种方法：一是求使an 0,an10，成立的n值；二是由Sn的值.如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依111照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：1,3,.(2n1)n,.242d2dn(a1)n利用二次函数的性质求n22两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于 n2 的任意自然数,验 证anan1(an)为 同 一 常 数。(2)通 项 公 式 法。(3)中 项 公 式 法:验 证an122an1 an an2(an1 anan2)n N都成立。3.在等差数列an中,有关 Sn的最值问题：(1)当a10,d0 时，满足am 0的项数am1 0am 0m 使得sm取最大值.(2)当a10 时，满足的项数 m 使得sm取最小值。在解a 0m1含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。（三）、数列求和的常用方法1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。c 2.裂项相消法:适用于其中an是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部a ann1分无理数列、含阶乘的数列等。bn是各项不为 0 的等比数列。3.错位相减法:适用于anbn其中an是等差数列，4.倒序相加法:类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法.5.常用结论1）:1+2+3+.+n=n(n1)2202）1+3+5+.+(2n-1)=n21 3）13 23 n3n(n 1)2 4）1 2 3 n 5）222221n(n 1)(2n 1)611111 11()n(n 1)nn 1n(n 2)2 nn 26）1111()(p q)pqq ppq高中数学第四章高中数学第四章三角函数三角函数考试内容：考试内容：角的概念的推广弧度制任意角的三角函数单位圆中的三角函数线同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切正弦函数、余弦函数的图像和性质周期函数函数 y=Asin(x+)的图像正切函数的图像和性质已知三角函数值求角正弦定理余弦定理斜三角形解法考试要求：考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin(x+)的简图，理解 A.、的物理意义6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinxarc-cosxarctanx表示（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形21（8）“同角三角函数基本关系式：sin2+cos2=1，sin/cos=tan,tan cos=1”04.04.三三角角函函数数知知识识要要点点1.与（0360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：|k360,k Zy2sinx1cosxcosx终边在x轴上的角的集合：|k180,k Z终边在y轴上的角的集合：|k18090,k Z终边在坐标轴上的角的集合：|k90,k Z终边在y=x轴上的角的集合：|k180 45,k Z终边在y x轴上的角的集合：|k18045,k Z3sinx4cosxxcosx1sinx2sinx34SINCOS三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：360k 若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：360k 180若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：180k 角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：360k 902.角度与弧度的互换关系：360=2180=1=1=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式：1rad180=5718 1（rad）1803、弧长公式：l|r.扇形面积公式：s扇形11lr|r222y ya a的终边的终边P P（x,yx,y)r r4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y）P 与原点的距离为 r，则siny；rcosrxx；tany；cot；secxxry；.cscr.yo ox x225、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）+o ox x-正弦、余割正弦、余割y y-+o o-+x x余弦、正割余弦、正割y y-+o ox x+-正切、余切正切、余切O Oy yy yP PT TMMA A x x6、三角函数线正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT.7.三角函数的定义域：16.几个重要结论:(1)y y(2)y y|sinx|cosx|sinxcosxO Ox x|cosx|sinx|O O|cosx|sinx|x xcosxsinx|sinx|cosx|(3)若 ox,则sinxx0 时,a与a同向;向量a b a(b)ab (x1 x2,y1 y2)AB BA,OBOAAB(a)()a足:|a|a|()a a aa (x,y)(a b)a bb解的讨论；一元二次不等式ax+bx+c0(a0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则2f(x)0 f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x)0 g(x)g(x)0（3）无理不等式：转化为有理不等式求解1 f(x)0定义域f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0f(x)03或g(x)02f(x)g(x)2f(x)g(x)g(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)02f(x)g(x)（4）.指数不等式：转化为代数不等式af(x)ag(x)(a 1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0 a 1)f(x)g(x)af(x)b(a 0,b 0)f(x)lga lgb（5）对数不等式：转化为代数不等式40 f(x)0logaf(x)logag(x)(a 1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)(0 a 1)g(x)0f(x)g(x)（6）含绝对值不等式1 应用分类讨论思想去绝对值；2 应用数形思想；3 应用化归思想等价转化g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)注：常用不等式的解法举例（x为正数）：x(1 x)211 242x(1 x)(1 x)()322 32722x2(1 x2)(1 x2)1 2342 3y x(1 x)y()y 22 32792类似于y sin xcos x sin x(1sin x)，|x1|x|1|(x与1同号，故取等)222xxx41高中数学第七章高中数学第七章直线和圆的方程直线和圆的方程考试内容：考试内容：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式直线方程的一般式两条直线平行与垂直的条件两条直线的交角点到直线的距离用二元一次不等式表示平面区域简单的线性规划问题曲线与方程的概念由已知条件列出曲线方程圆的标准方程和一般方程圆的参数方程考试要求：考试要求：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系（3）了解二元一次不等式表示平面区域（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程07.07.直直线线和和圆圆的的方方程程知知识识要要点点一、直线方程一、直线方程.1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其 中 直 线 与x轴 平行 或 重 合 时，其 倾斜角 为 0，故 直 线 倾斜角 的 范 围 是0180(0).注：当 90或x2x1时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点(a,0),(0,b)，即直线在x轴，y轴上的截距分别为a,b(a 0,b 0)时，42直线方程是：注：若y y xy1.ab22x2是 一 直 线 的 方 程，则 这 条 直 线 的 方 程 是y x2，但 若332x2(x 0)则不是这条线.3附：直线系：对于直线的斜截式方程y kxb，当k,b均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果k,b变化时，对应的直线也会变化.当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.3.两条直线平行：l1l2k1k2两条直线平行的条件是：l1和l2是两条不重合的直线.在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线l1,l2，它们在y轴上的纵截距是b1,b2，则l1l2k1k2，且b1b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2B1A2是平行的必要不充分条件，且C1C2）推论：如果两条直线l1,l2的倾斜角为1,2则l1l212.两条直线垂直：两条直线垂直的条件：设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则有l1l2k1k2 1这里的前提是l1,l2的斜率都存在.l1l2k1 0，且l2的斜率不存在或k2 0，且l1的斜率不存在.（即A1B2A2B1 0是垂直的充要条件）4.直线的交角：直线l1到l2的角（方向角）；直线l1到l2的角，是指直线l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角，它的范围是(0,)，当 90时tank2k1.1k1k2两条相交直线l1与l2的夹角：两条相交直线l1与l2的夹角，是指由l1与l2相交所成的四个角中最小的正角，又称为l1和l2所成的角，它的取值范围是0,2，当 90，则有tank2k1.1k1k2435.过两直线l1:A1xB1y C1 0l2:A2xB2y C2 0的交点的直线系方程A1xB1y C1(A2xB2y C2)0(为参数，A2xB2y C2 0不包括在内）6.点到直线的距离：点到直线的距离公式：设点P(x0,y0)，直线l:Ax ByC 0,P到l的距离为d，则有d Ax0By0CA B22.注：221.两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P.1P2|(x2 x1)(y2 y1)特例：点 P(x,y)到原点 O 的距离：|OP|x2 y22.定 比 分 点 坐 标 分 式。若 点 P(x,y)分 有 向 线 段PP,其 中1 2所成的比为即PP1PP2P1(x1,y1),P2(x2,y2).则x x1x2y y2,y 111特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。3.直线的倾斜角（0180）、斜率:k tan4.过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k 当x1两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1:Ax ByC1 0,l2:Ax ByC2 0(C1C2)，它们之间的距离为d，则有d C1C2A B22y2 y1.x2 x1(x1 x2)x2,y1 y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角90，没有斜率.注；直线系方程1.与直线：Ax+By+C=0 平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.(m R,Cm).2.与直线：Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.(m R)3.过定点（x1,y1）的直线系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B 不全为 0)4.过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+(A2x+B2y+C2）=0(R）注：该直线系不含l2.7.关于点对称和关于某直线对称：44关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点.注：曲线、直线关于一直线（y xb）对称的解法：y换x，x换y.例：曲线f(x,y)=0关于直线y=x2 对称曲线方程是f(y+2,x2)=0.曲线 C:f(x,y)=0 关于点(a,b)的对称曲线方程是f(a x,2b y)=0.二、圆的方程二、圆的方程.1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的 与一个二元方程f(x,y)0的实数建立了如下关系：曲