(完整word版)初中数学题的改编与变式.pdf

1 初中数学题的改编与变式普陀二中张杰题 1、【原题出处 1】（2007 常州）已知，如图，正方形ABCD 的边长为 6，菱形 EFGH 的三个顶点 E、G、H 分别在正方形 ABCD 边 AB、CD、DA 上，AH2，连接 CF（1）当 DG2 时，求 FCG 的面积；（2）设 DGx，用含 x 的代数式表示 FCG 的面积；（3）判断 FCG 的面积能否等于 1，并说明理由【原题出处 2】（慈溪中学 2008 年保送生招生考试第14 题）已知，如图，矩形ABCD 中，AD=6，DC=7，菱形 EFGH 的三个顶点E，G，H 分别在矩形 ABCD 的边 AB，CD 上，AH=2，连接 CF（1）当四边形EFGH 为正方形时，求DG 的长；（2）当 FCG 的面积为 1 时，求 DG 的长；（3）当 FCG 的面积最小时，求DG 的长.【原题解析】：本题的设计的意图是考察学生的数学思想方法，核心思想“特殊一般特殊”，第（1）问中“DG2”寓意于 DGAH，即HAE GDH，且GHE90 四边形（菱形）EFGH 已特殊化为正方形。第（2）问中“DGx”是让菱形 EFGH 一般化由于可推知 FCG 中，CG6x，所以，作出CG 边上的高FM 就成为一种必然，再连接GE，通过证明HAEFMG，得 FMAH2第（3）问是借助试题中“菱形 EFGH 的三个顶点 E、G 分别在正方形 ABCD边 AB、CD 上”的限制作用由第（2）问可知，FMAH2，是一个定值，则x的大小就限制了 FCG 的面积因为 HDAH，所以 HCHB，即点 E 不可能与点 A 重合（x 的最小值为 0，即 HG 的最小值等于 HD）点 G 不能与点 C 重合（即HG 的最大值等于 HB）这样通过求出x 的值并由此求出 HG（或 AE）的值就可以正确判断 FCG 的面积能否等于 1了A B C D E F G H M HGFEBADC2 A B C D y x 图乙H E F G A B C D y x 备用图B A C D E G H x y 图甲F H 改编题：如图，正方形 ABCD 的边长为 6.以直线 AB 为 x 轴、AD 为 y 轴建立平面直角坐标系.菱形 EFGH 的三个顶点 H、E、G 分别在正方形 ABCD 边 DA、AB、CD 上，已知 AH2.（1）如图甲，当点 F 在边 BC 上时，求点 F 的坐标；（2）设 DG=x.请在图乙中探索：用含x 的代数式表示点 F 的坐标；（3）设点 F 的横坐标为 m.问:m 有无最大值和最小值？若有，请求出；若无，请直接作否定的判断，不必说明理由.【改编意图说明】：本题的关键点 F的位置，在边 BC上,是它的一种特殊情形，我设计改编的意图是以探究动态菱形 EFG H 中，点 F 的位置变化为主线而展开。从易到难的策略，利用从特殊到一般的思想，再辅于整体感知、逆向思维等方法，来考察学生的思维。解：（1）如图甲，连接 GE.DGBE，DGEBEG，HGEF，HGEFEG，DGHBEF.在HDG 与FBE 中，090,HDGDGHHGFBEBEFFEHDGFBE，FBHDADAH624,点 F 的坐标为（6，4）.B A C D E G H x y 图甲F 3（2）如图乙，连接 GE，作 FMx 轴，垂足为点 M.同理可证，HDGFME，MEDGx，FMHD4.在 RtHDG 中，HG242x216x2，HGHE，HE2HG216x2.在 RtHAE 中，22221612AEHEAHxx，AMAEEM212xx，点 F 的坐标为（212xx，4）.（3）依题意，可知 HDHA.即：当点 G 与点 D 重合时，m最小，此时 x0，m212xx2 3.当点 E 与点 B 重合时，m最大，此时 HG2HB2226240，DGx40162426，m212xx12242 662 6.A B C D y x 图乙E F G H M 4 题 2、【原题出处】（2007 年.江西）如图，已知 AOB，OA=OB，点 E 在 OB 边上，四边形AEBF 是矩形，请你只用无刻度的直尺在图中画出AOB 的平分线（保留画图痕迹）.【原题解析】：本题以一道作图题的形式出现，打破了以往作图题的范畴，它强调只用无刻度的直尺在图中画出AOB 的平分线，使得此题不是纯粹的作图题，实际上是一道几何的证明题，它需要综合运用矩形的性质“矩形的对角互相平分”和等腰三角形的三线合一的性质，才能完成。只有知道AB 和 EF的交点在等腰 AOB 的顶角平分线上，才能达到解决问题的目的。【改编意图说明】：孙维刚老师提出：要站在知识系统的高度来进行数学教学，做到多题归一、一题多解。本题组的设计，就是“多题归一”的一个体现。我将原题中的矩形分别改换成圆、菱形、平行四边形，不同图形的出现与变化，形式上变了，但本题的解题思路一样，实质没有变化。只要大家掌握了解决原题的方法，就能很快找到其解决办法。虽然它们各自用不同知识解决同一问题,对学生的思维得以发散。改编 1、如图 9，已知 AOB，P 与AOB 的两边相切，请你只用无刻度的直尺在图中画出 AOB 的平分线（保留画图痕迹）.改编 2.如图 10，已知 AOB，E、F 分别在 OA、OB 上，四边形 EOFP 是菱形，请你只用无刻度的直尺在图中画出AOB 的平分线（保留画图痕迹）.改编 3.如图 11，已知 AOB，OA=OB，点 E 在 OB 边上，四边形 AEBF 是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出AOB 的平分线（保留画图痕迹）.图 1 图 2 图 3 图 4 5 题 3、【原题出处】（2006 年佛山市课改实验区中考试题第 24 题）已知：在四边形ABCD 中，AB1，E、F、G、H 分别时 AB、BC、CD、DA上的点，且 AEBFCGDH。设四边形 EFGH 的面积为 S，AEx(0 x1)。(1)如图，当四边形ABCD 为正方形时，求 S关于 x 的函数解析式，并求S的最小值 S0；在图中画出 中函数的草图，并估计S0.6 时 x 的近似值(精确到 0.01)；(2)如图，当四边形ABCD 为菱形，且 A30时，四边形 EFGH 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。【原题解析】：此题是一道几何与函数的相结合的运动综合题，意图是考查迅速对数形结合、函数思想的应用能力。试题让学生在运动变化中探究数学问题的本质，去发现变量之间互相依存的函数关系，培养学生的数学能力。试题第（1）问运用三角形全等的判定与性质、直角三角形两锐角互余等几何知识给予解答；第（2）问根据图形的面积关系，运用勾股定理列出函数关系式，然后用配方法求最值；第（3）问已知函数值 S，求对应的自变量t 的值。改编 1：在边长为 1cm 的正方形ABCD中，点EFGH，分别按ABBC，CD，DA的方向同时出发，以1cm/s 的GHBDACEFA E B H D G C F(第 24 题图)O y x(第 24 题图)方格边长0.1(第 24 题图)A E B H D G C F 6 速度匀速运动（1）在运动中，点EFGH，所形成的四边形EFGH为（）平行四边形矩形菱形正方形（2）当点EFGH，运动到何处时，四边形EFGH 的面积最小？并说明理由。（3）当运动时间t等于多少秒时，四边形EFGH的面积S是正方形ABCD 面积的58？【改编意图说明】：把原题改编成图形运动类试题，使得试题比较灵活，展现形式活泼、新颖；增加第一问，并以选择题的形式出现，这样有利于引起学生的兴趣，使试题的难度降低了；删除原题的第二问，另外设置一个与前二问有关联的问题，形成递进关系。同时，这一问又可考查学生对一元二次方程的掌握情况。改 编2：在 边 长 为4cm 的 正 方 形A B C D中，点EFGH，分 别 按ABBC，CD，DA的方向同时出发，以 1cm/s的速度匀速运动 在运动过程中，设四边形EFGH的面积为2(cm)S，运动时间为(s)t（1）试证明四边形EFGH是正方形；（2）写出S关于t的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小？最小值是多少？（3）是否存在某一时刻t，使四边形 EFGH 的面积与正方形 ABCD 的面积比是 5：8？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由。【改编意图说明】：把“边长为 1cm”改成“边长为4cm”，这样便于学生计算，在配方时尽可能地不出现分数；把原来的选择题设计成一道几何证明题，这取材于义务教育课程标准实验教材书，目的在于引导教师在教学过程中要重视教材，注意课本的典型例题及其解法。这不但可以考查几何演绎推理能力，而且为第二问的解答作铺垫；GHBDACEF7 第二问改编后，使得问题更加简明，目的性更强，便于学生理解和解答；将第三问改编成存在型问题，同样使试题形式活泼、新颖，同时还能更好地考查学生的思维能力与探索创新能力。改编 3：变式 1：在试题的基础上还可以追加一问：（4）若将条件“以 1cm/s的速度匀速运动”改为“点E、G 以 1cm/s 的速度匀速运动，点 F、H 以 2cm/s的速度匀速运动。”那么四边形 EFGH 的面积有最大值或最小值吗？若有，请求出这个值，若没有，请说明理由。变式 2：还提出下面一个问题：（5）在运动过程中，连结EG，试猜想线段 EG 一定会经过哪一点，并说明理由。变式 3：已知，如图，E、F、G、H 按照 AECG，BFDH，BFnAE（n 是正整数）的关系，分别在两邻边长为a，na的矩形 ABCD 各边上运动，设 AEx，四边形 EFGH 的面积为 S。（1）当 n1，2 时，如图，如图，观察运动情况，写出四边形EFGH 各顶点运动到何位置，使1?2SS矩形ABCD（2）当 n3 时，如图，求 S与 x 之间的函数关系式（写出自变量 x 的取值范围）探索S 随 x 增大而变化的规律，猜想四边形EFGH 各顶点运动到何位置使1?2SS矩形 ABCDOFGBCADEHA H D E G B F C A H D A H D E G E G B F C B F C A H D E G B F C 8（3）当 nk（k1）时，你所得到的规律和猜想是否成立？为什么？