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第九章 压杆稳定91 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念92 瘦长压杆的临界力瘦长压杆的临界力93 压杆的临界应力压杆的临界应力9-4 压杆的稳定校核压杆的稳定校核9-5 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施 91 91压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念一、压杆的稳定平衡与不稳定平衡一、压杆的稳定平衡与不稳定平衡一、压杆的稳定平衡与不稳定平衡一、压杆的稳定平衡与不稳定平衡稳定平衡：轴向受压杆件，当压力稳定平衡：轴向受压杆件，当压力稳定平衡：轴向受压杆件，当压力稳定平衡：轴向受压杆件，当压力F F小于某一数值时，在一个小于某一数值时，在一个小于某一数值时，在一个小于某一数值时，在一个微小的横向力的作用下，压杆偏离其原来的直线平衡位置而微小的横向力的作用下，压杆偏离其原来的直线平衡位置而微小的横向力的作用下，压杆偏离其原来的直线平衡位置而微小的横向力的作用下，压杆偏离其原来的直线平衡位置而产生微弯，当去掉该横向力时压杆复原到原来的直线平衡产生微弯，当去掉该横向力时压杆复原到原来的直线平衡产生微弯，当去掉该横向力时压杆复原到原来的直线平衡产生微弯，当去掉该横向力时压杆复原到原来的直线平衡,则称这种压杆原来的平衡为稳定平衡。则称这种压杆原来的平衡为稳定平衡。则称这种压杆原来的平衡为稳定平衡。则称这种压杆原来的平衡为稳定平衡。不不不不稳稳稳稳定定定定平平平平衡衡衡衡：轴轴轴轴向向向向受受受受压压压压杆杆杆杆件件件件，当当当当压压压压力力力力F F超超超超过过过过某某某某一一一一数数数数值值值值后后后后，压压压压杆杆杆杆仍仍仍仍保保保保持持持持直直直直线线线线平平平平衡衡衡衡，但但但但在在在在一一一一微微微微小小小小的的的的横横横横向向向向力力力力的的的的作作作作用用用用下下下下，压压压压杆杆杆杆偏偏偏偏离离离离其其其其原原原原来来来来的的的的直直直直线线线线平平平平衡衡衡衡位位位位置置置置而而而而产产产产生生生生微微微微弯弯弯弯，去去去去掉掉掉掉横横横横向向向向力力力力后后后后压压压压杆杆杆杆不不不不能能能能复复复复原原原原到到到到原原原原来来来来的的的的直直直直线线线线平平平平衡衡衡衡，而而而而是是是是在在在在弯弯弯弯曲曲曲曲状状状状态态态态下下下下达达达达到到到到新新新新的的的的弯弯弯弯曲曲曲曲平衡，则称这种压杆原来的平衡为不稳定平衡。平衡，则称这种压杆原来的平衡为不稳定平衡。平衡，则称这种压杆原来的平衡为不稳定平衡。平衡，则称这种压杆原来的平衡为不稳定平衡。二、失稳和临界载荷的概念二、失稳和临界载荷的概念失失失失稳稳稳稳：压压压压杆杆杆杆由由由由稳稳稳稳定定定定的的的的直直直直线线线线平平平平衡衡衡衡形形形形式式式式到到到到不不不不稳稳稳稳定定定定的的的的直直直直线线线线平平平平衡衡衡衡形形形形式的转变称为失稳。式的转变称为失稳。式的转变称为失稳。式的转变称为失稳。临临临临界界界界载载载载荷荷荷荷：压压压压杆杆杆杆处处处处于于于于稳稳稳稳定定定定的的的的直直直直线线线线平平平平衡衡衡衡与与与与不不不不稳稳稳稳定定定定的的的的直直直直线线线线平平平平衡衡衡衡的临界状态时的载荷称为临界载荷。的临界状态时的载荷称为临界载荷。的临界状态时的载荷称为临界载荷。的临界状态时的载荷称为临界载荷。工程实例工程实例 92 92 92 92 瘦长压杆临界力瘦长压杆临界力瘦长压杆临界力瘦长压杆临界力一、两端铰支压杆的临界力一、两端铰支压杆的临界力:假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图从挠曲线入手，求临界力。如图从挠曲线入手，求临界力。弯矩：弯矩：弯矩：弯矩：挠曲线近似微分方程：挠曲线近似微分方程：挠曲线近似微分方程：挠曲线近似微分方程：PPxPxyPM微分方程的解：微分方程的解：微分方程的解：微分方程的解：确定积分常数：确定积分常数：确定积分常数：确定积分常数：临界力临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取是微弯下的最小压力，故，只能取n=1；且杆将绕惯性；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。矩最小的轴弯曲。二、此公式的应用条件：二、此公式的应用条件：1.志向压杆；志向压杆；2.线弹性范围内；线弹性范围内；3.两端为球铰支座。两端为球铰支座。两端铰支压杆临界力的欧拉公式两端铰支压杆临界力的欧拉公式 留意：压杆的横截面惯性矩应取最小值即留意：压杆的横截面惯性矩应取最小值即留意：压杆的横截面惯性矩应取最小值即留意：压杆的横截面惯性矩应取最小值即IminImin。因为压杆因为压杆因为压杆因为压杆失稳时总是在抗弯实力最小的纵向平面内发生弯曲的。失稳时总是在抗弯实力最小的纵向平面内发生弯曲的。失稳时总是在抗弯实力最小的纵向平面内发生弯曲的。失稳时总是在抗弯实力最小的纵向平面内发生弯曲的。例题例题已知：两端铰支瘦长压杆，已知：两端铰支瘦长压杆，横截面直径横截面直径d=50mm，材料材料Q235钢，弹性模量钢，弹性模量E=200GPa，s=235MPa，试确定其临界力。，试确定其临界力。解：截面惯性矩解：截面惯性矩临界力临界力三、其它支承状况下，压杆临界力的欧拉公式三、其它支承状况下，压杆临界力的欧拉公式 长长度度系系数数（或或约约束束系系数数）。压杆临界力欧拉公式的一般形式压杆临界力欧拉公式的一般形式一端固一端固一端固一端固定一端定一端定一端定一端自由自由自由自由两端饺两端饺两端饺两端饺支支支支一端饺一端饺一端饺一端饺支一端支一端支一端支一端固定固定固定固定两端固两端固两端固两端固定定定定临界压力临界压力临界压力临界压力统一公式统一公式统一公式统一公式 称为称为称为称为压杆的压杆的压杆的压杆的长长长长度因数度因数度因数度因数；l l称称称称为为为为压杆的压杆的压杆的压杆的相当长度相当长度相当长度相当长度0.5l表91 各种支承约束条件下等截面瘦长压杆临界力的欧拉公式支承状况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由失稳时挠曲线形态PcrABl临界力Pcr欧拉公式长度系数=10.7=0.5=2PcrABlPcrABl0.7lCCDC 挠曲线拐点C、D 挠曲线拐点Pcrl2l例例2 求下列瘦长压杆的临界力。求下列瘦长压杆的临界力。解：解：3010PL9393欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围 中、小柔度杆的临界应力中、小柔度杆的临界应力一、一、基本概念基本概念1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。3.柔度：柔度：2.瘦长压杆的临界应力：瘦长压杆的临界应力：4.大柔度杆的分界：大柔度杆的分界：二、中小柔度杆的临界应力计算二、中小柔度杆的临界应力计算1.直线型阅历公式直线型阅历公式 P S 时：时：比例极限比例极限屈服极限屈服极限 S 时：时：强度问题强度问题临界应力总图bass-=l l PPE p pl l2 =2.抛物线型阅历公式我国建筑业常用：Ps 时：s 时：由临界应力总图可得出以下结论：由临界应力总图可得出以下结论：由临界应力总图可得出以下结论：由临界应力总图可得出以下结论：根据直线型经验公式临界应力总图，三类压杆的临界应力根据直线型经验公式临界应力总图，三类压杆的临界应力根据直线型经验公式临界应力总图，三类压杆的临界应力根据直线型经验公式临界应力总图，三类压杆的临界应力采用三种不同的公式：采用三种不同的公式：采用三种不同的公式：采用三种不同的公式：的压杆为的压杆为的压杆为的压杆为细长杆细长杆细长杆细长杆，其临界应力，其临界应力，其临界应力，其临界应力 ，可用可用可用可用欧拉公式欧拉公式欧拉公式欧拉公式计算；计算；计算；计算；的压杆为的压杆为的压杆为的压杆为中长杆中长杆中长杆中长杆其临界应力力其临界应力力其临界应力力其临界应力力 可用可用可用可用直线型经验公式直线型经验公式直线型经验公式直线型经验公式计算；计算；计算；计算；的压杆为的压杆为的压杆为的压杆为粗短杆粗短杆粗短杆粗短杆，其，其，其，其临界应力力临界应力力临界应力力临界应力力 按强度问按强度问按强度问按强度问题处理题处理题处理题处理。总结总结例例例例1 1：图示两端饺支压杆，横截面直径图示两端饺支压杆，横截面直径图示两端饺支压杆，横截面直径图示两端饺支压杆，横截面直径d=50mmd=50mm，材料为，材料为，材料为，材料为Q235Q235钢，其弹性模量钢，其弹性模量钢，其弹性模量钢，其弹性模量E=200GPaE=200GPa，p p=100=100。试确定此压杆的试确定此压杆的试确定此压杆的试确定此压杆的临界应力。临界应力。临界应力。临界应力。解：解：解：解：计算柔度，确定临界应力计算公式。计算柔度，确定临界应力计算公式。计算柔度，确定临界应力计算公式。计算柔度，确定临界应力计算公式。此压杆属于瘦长杆，接受欧拉公式计算临界应力此压杆属于瘦长杆，接受欧拉公式计算临界应力此压杆属于瘦长杆，接受欧拉公式计算临界应力此压杆属于瘦长杆，接受欧拉公式计算临界应力例例例例2 2：图示压杆，：图示压杆，：图示压杆，：图示压杆，直径均为直径均为直径均为直径均为d=160mmd=160mm，材料都是材料都是材料都是材料都是Q235Q235钢，钢，钢，钢，E=E=206GPa206GPa，c c=123,=123,试试试试计算二杆的临界压力。计算二杆的临界压力。计算二杆的临界压力。计算二杆的临界压力。解：解：解：解：计算柔度，确定临界应力计算公式计算柔度，确定临界应力计算公式计算柔度，确定临界应力计算公式计算柔度，确定临界应力计算公式是瘦长杆，可接受欧拉公式是瘦长杆，可接受欧拉公式是瘦长杆，可接受欧拉公式是瘦长杆，可接受欧拉公式是非瘦长杆，接受阅历公式是非瘦长杆，接受阅历公式是非瘦长杆，接受阅历公式是非瘦长杆，接受阅历公式例例例例3 3：图示三根压杆，横截面面积及材料各不相同，但它图示三根压杆，横截面面积及材料各不相同，但它图示三根压杆，横截面面积及材料各不相同，但它图示三根压杆，横截面面积及材料各不相同，但它们的（们的（们的（们的（）相同。）相同。）相同。）相同。A.A.长度因数；长度因数；长度因数；长度因数；B.B.相当长度；相当长度；相当长度；相当长度；C.C.柔度；柔度；柔度；柔度；D.D.临界压力临界压力临界压力临界压力B B9-4 9-4 压杆的稳定校核压杆的稳定校核压杆稳定性计算主要有两种方法：压杆稳定性计算主要有两种方法：平安因数法和折减系数法。平安因数法和折减系数法。平安系数法多用于稳定性校核和确定许可载荷，平安系数法多用于稳定性校核和确定许可载荷，折减系数法多用于截面设计。折减系数法多用于截面设计。稳定安全系数稳定安全系数工作平安系数工作平安系数平安因数法解题步骤：平安因数法解题步骤：平安因数法解题步骤：平安因数法解题步骤：1 1）计算压杆最大柔度；）计算压杆最大柔度；）计算压杆最大柔度；）计算压杆最大柔度；2 2）选择对应的临界应力公式计算）选择对应的临界应力公式计算）选择对应的临界应力公式计算）选择对应的临界应力公式计算crcr；3 3）计算临界压力）计算临界压力）计算临界压力）计算临界压力FcrFcr；4 4）进行稳定性计算。）进行稳定性计算。）进行稳定性计算。）进行稳定性计算。例例例例1 1：图示托架作用力：图示托架作用力：图示托架作用力：图示托架作用力F=10kNF=10kN，ABAB杆的外径杆的外径杆的外径杆的外径D=50mmD=50mm，内径，内径，内径，内径d=40mmd=40mm，材料为，材料为，材料为，材料为Q235Q235钢，钢，钢，钢，E=200GPaE=200GPa，p=100p=100，n nstst=3=3。试校核。试校核。试校核。试校核ABAB杆的稳定性杆的稳定性杆的稳定性杆的稳定性。解：解：CDCD梁梁ABAB杆杆AB杆杆AB为大柔度杆，可用欧拉公式为大柔度杆，可用欧拉公式AB杆满足稳定性要求杆满足稳定性要求 9-5 9-5 提高提高压杆稳定性的措施压杆稳定性的措施欧拉公式欧拉公式减小压杆长度减小压杆长度 l减小长度系数减小长度系数（增加约束）（增加约束）增大截面惯性矩增大截面惯性矩 I（合理选择截面形态）（合理选择截面形态）增大弹性模量增大弹性模量 E（合理选择材料）（合理选择材料）依据压杆的稳定性条件可知，依据压杆的稳定性条件可知，依据压杆的稳定性条件可知，依据压杆的稳定性条件可知，压杆的稳定性主要取决于压杆材料的力学性能和柔度。压杆的稳定性主要取决于压杆材料的力学性能和柔度。压杆的稳定性主要取决于压杆材料的力学性能和柔度。压杆的稳定性主要取决于压杆材料的力学性能和柔度。压杆柔度越大，其稳定性就越差。压杆柔度越大，其稳定性就越差。压杆柔度越大，其稳定性就越差。压杆柔度越大，其稳定性就越差。柔度又与压杆的长度、约束条件、截面形态和尺寸有关。柔度又与压杆的长度、约束条件、截面形态和尺寸有关。柔度又与压杆的长度、约束条件、截面形态和尺寸有关。柔度又与压杆的长度、约束条件、截面形态和尺寸有关。提高压杆稳定性的措施主要有：提高压杆稳定性的措施主要有：提高压杆稳定性的措施主要有：提高压杆稳定性的措施主要有：减小压杆长度减小压杆长度 l减小长度系数减小长度系数（增加约束）（增加约束）增大截面惯性矩增大截面惯性矩 I I（合理选择截面形态）（合理选择截面形态）增大弹性模量增大弹性模量 E E（合理选择材料）（合理选择材料）大柔度杆大柔度杆中柔度杆中柔度杆表表 9.2 9.2对于粗短杆或中长杆，其临界载荷与材料的比例极限或屈服对于粗短杆或中长杆，其临界载荷与材料的比例极限或屈服对于粗短杆或中长杆，其临界载荷与材料的比例极限或屈服对于粗短杆或中长杆，其临界载荷与材料的比例极限或屈服强度有关，这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。强度有关，这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。强度有关，这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。强度有关，这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。在其他条件均相同的条件下，选用弹性模量大的材料，可以在其他条件均相同的条件下，选用弹性模量大的材料，可以在其他条件均相同的条件下，选用弹性模量大的材料，可以在其他条件均相同的条件下，选用弹性模量大的材料，可以提高瘦长压杆的承载实力。例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁提高瘦长压杆的承载实力。例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁提高瘦长压杆的承载实力。例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁提高瘦长压杆的承载实力。例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁或铝制压杆的临界载荷。或铝制压杆的临界载荷。或铝制压杆的临界载荷。或铝制压杆的临界载荷。但是，一般碳素钢、合金钢以及高强度钢的弹性模量数值相但是，一般碳素钢、合金钢以及高强度钢的弹性模量数值相但是，一般碳素钢、合金钢以及高强度钢的弹性模量数值相但是，一般碳素钢、合金钢以及高强度钢的弹性模量数值相差不大。因此，对于瘦长杆，若选用高强度钢，对压杆临界差不大。因此，对于瘦长杆，若选用高强度钢，对压杆临界差不大。因此，对于瘦长杆，若选用高强度钢，对压杆临界差不大。因此，对于瘦长杆，若选用高强度钢，对压杆临界载荷影响甚微，意义不大，反而造成材料的奢侈。载荷影响甚微，意义不大，反而造成材料的奢侈。载荷影响甚微，意义不大，反而造成材料的奢侈。载荷影响甚微，意义不大，反而造成材料的奢侈。例例例例1 1 1 1：两根瘦长压杆的长度、两根瘦长压杆的长度、两根瘦长压杆的长度、两根瘦长压杆的长度、横截面面积、横截面面积、横截面面积、横截面面积、约束状态及约束状态及约束状态及约束状态及材料均相同，若其横截面形态分别为正方形和实心圆形，材料均相同，若其横截面形态分别为正方形和实心圆形，材料均相同，若其横截面形态分别为正方形和实心圆形，材料均相同，若其横截面形态分别为正方形和实心圆形，则二压杆的临界压力则二压杆的临界压力则二压杆的临界压力则二压杆的临界压力FcrFcrFcrFcr正和正和正和正和FcrFcrFcrFcr圆的关系为（圆的关系为（圆的关系为（圆的关系为（）。）。）。）。A.FA.FA.FA.Fcr crcr cr正正正正=F F F Fcr crcr cr圆圆圆圆；B.FB.FB.FB.Fcr crcr cr正正正正F F F Fcr crcr cr圆圆圆圆；C.FC.FC.FC.Fcr crcr cr正正正正F F F Fcr crcr cr圆圆圆圆；D.D.D.D.不确定不确定不确定不确定C C例例例例2 2 2 2：材料和柔度都相同的两根压杆（材料和柔度都相同的两根压杆（材料和柔度都相同的两根压杆（材料和柔度都相同的两根压杆（）。）。）。）。A.A.A.A.临界应力确定相等，临界压力不确定相等；临界应力确定相等，临界压力不确定相等；临界应力确定相等，临界压力不确定相等；临界应力确定相等，临界压力不确定相等；B.B.B.B.临界应力不确定相等，临界压力确定相等；临界应力不确定相等，临界压力确定相等；临界应力不确定相等，临界压力确定相等；临界应力不确定相等，临界压力确定相等；C.C.C.C.临界应力和压力都确定相等；临界应力和压力都确定相等；临界应力和压力都确定相等；临界应力和压力都确定相等；D.D.D.D.临界应力和压力都不确定相等。临界应力和压力都不确定相等。临界应力和压力都不确定相等。临界应力和压力都不确定相等。A A例例例例3 3 3 3：图示两端铰支压杆，当其失稳时（图示两端铰支压杆，当其失稳时（图示两端铰支压杆，当其失稳时（图示两端铰支压杆，当其失稳时（）。）。）。）。A.A.A.A.临界压力临界压力临界压力临界压力F F F Fcr crcr cr2 2 2 2EIEIEIEIy y y y/L/L/L/L2 2 2 2，挠曲线位于，挠曲线位于，挠曲线位于，挠曲线位于xyxyxyxy面内；面内；面内；面内；B.B.B.B.临界压力临界压力临界压力临界压力F F F Fcr crcr cr2 2 2 2EIEIEIEIy y y y/L/L/L/L2 2 2 2，挠曲线位于，挠曲线位于，挠曲线位于，挠曲线位于xzxzxzxz面内；面内；面内；面内；C.C.C.C.临界压力临界压力临界压力临界压力F F F Fcr crcr cr2 2 2 2EIEIEIEIz z z z/L/L/L/L2 2 2 2，挠曲线位于，挠曲线位于，挠曲线位于，挠曲线位于xyxyxyxy面内；面内；面内；面内；D.D.D.D.临界压力临界压力临界压力临界压力F F F Fcr crcr cr2 2 2 2EIEIEIEIz z z z/L/L/L/L2 2 2 2，挠曲线位于，挠曲线位于，挠曲线位于，挠曲线位于xzxzxzxz面内。面内。面内。面内。B B例例例例4 4 4 4：下列有关压杆临界应力下列有关压杆临界应力下列有关压杆临界应力下列有关压杆临界应力cr cr cr cr 的结论中（的结论中（的结论中（的结论中（）是正确的。是正确的。是正确的。是正确的。A.A.A.A.瘦长杆的瘦长杆的瘦长杆的瘦长杆的cr cr cr cr 值与杆的材料无关；值与杆的材料无关；值与杆的材料无关；值与杆的材料无关；B.B.B.B.中长杆的中长杆的中长杆的中长杆的cr cr cr cr 值与杆的柔度无关；值与杆的柔度无关；值与杆的柔度无关；值与杆的柔度无关；C.C.C.C.中长杆的中长杆的中长杆的中长杆的cr cr cr cr 值与杆的材料无关；值与杆的材料无关；值与杆的材料无关；值与杆的材料无关；D.D.D.D.短粗杆的短粗杆的短粗杆的短粗杆的cr cr cr cr 值与杆的柔度无关。值与杆的柔度无关。值与杆的柔度无关。值与杆的柔度无关。D D例例例例5 5 5 5：将低碳钢改为优质高强度钢后，并不能提高：将低碳钢改为优质高强度钢后，并不能提高：将低碳钢改为优质高强度钢后，并不能提高：将低碳钢改为优质高强度钢后，并不能提高（）压杆的承压实力。）压杆的承压实力。）压杆的承压实力。）压杆的承压实力。A.A.A.A.瘦长；瘦长；瘦长；瘦长；B.B.B.B.中长；中长；中长；中长；C.C.C.C.短粗；短粗；短粗；短粗；D.D.D.D.非短粗非短粗非短粗非短粗A A例例例例6 6 6 6：图示各杆横截面面积相等，在其它条件均相同的条件：图示各杆横截面面积相等，在其它条件均相同的条件：图示各杆横截面面积相等，在其它条件均相同的条件：图示各杆横截面面积相等，在其它条件均相同的条件下，压杆接受图（下，压杆接受图（下，压杆接受图（下，压杆接受图（）所示截面形态，其稳定性最好。）所示截面形态，其稳定性最好。）所示截面形态，其稳定性最好。）所示截面形态，其稳定性最好。D D例例例例7 7 7 7：由低碳钢组成的瘦长压杆，经冷作硬化后其（：由低碳钢组成的瘦长压杆，经冷作硬化后其（：由低碳钢组成的瘦长压杆，经冷作硬化后其（：由低碳钢组成的瘦长压杆，经冷作硬化后其（）。）。）。）。A.A.A.A.稳定性提高，强度不变；稳定性提高，强度不变；稳定性提高，强度不变；稳定性提高，强度不变；B.B.B.B.稳定性不变，强度提高；稳定性不变，强度提高；稳定性不变，强度提高；稳定性不变，强度提高；C.C.C.C.稳定性和强度都提高；稳定性和强度都提高；稳定性和强度都提高；稳定性和强度都提高；D.D.D.D.稳定性和强度都不变。稳定性和强度都不变。稳定性和强度都不变。稳定性和强度都不变。B B（A A A A）（B B B B）（C C C C）（D D D D）小结小结1、了解压杆稳定平衡、不稳定平衡和临界、了解压杆稳定平衡、不稳定平衡和临界 载荷的概念载荷的概念2、驾驭压杆柔度的计算方法，以及推断大、驾驭压杆柔度的计算方法，以及推断大 柔度、中柔度、小柔度压杆的原则柔度、中柔度、小柔度压杆的原则3、熟知压杆临界应力总图，能依据压杆的、熟知压杆临界应力总图，能依据压杆的 类别选用合适的公式计算临界应力类别选用合适的公式计算临界应力4、驾驭简洁压杆的稳定计算方法、驾驭简洁压杆的稳定计算方法5、了解提高压杆稳定性的主要措施、了解提高压杆稳定性的主要措施