D73数项级数及审敛法.ppt
二、交二、交错级数及其数及其审敛法法 三、三、绝对收收敛与条件收与条件收敛 第二、三节第二、三节一、正一、正项级数及其数及其审敛法法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 机动目录上页下页返回结束 第七章 一、正一、正项级数及其数及其审敛法法若定理定理 1.正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”机动目录上页下页返回结束都有定理定理2(比比较审敛法法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数 k 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨机动目录上页下页返回结束(1)若强级数则有因此对一切有由定理 1 可知,则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,弱级数机动目录上页下页返回结束例例1.讨论 p 级数(常数 p 0)的敛散性.解解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知 p 级数发散.发散,机动目录上页下页返回结束因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛.时,2)若机动目录上页下页返回结束调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在对一切机动目录上页下页返回结束证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例例2.2.机动目录上页下页返回结束定理定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当 l=0(3)当 l=证:据极限定义,设两正项级数满足(1)当 0 l 时,机动目录上页下页返回结束由定理 2 可知同时收敛或同时发散;(3)当l=时,即由定理2可知,若发散,(1)当0 l 时,(2)当l=0时,由定理2 知收敛,若机动目录上页下页返回结束是两个正正项级数数,(1)当 时,两个级数同时收敛或发散;特别取可得如下结论:对正项级数(2)当 且 收敛时,(3)当 且 发散时,也收敛;也发散.机动目录上页下页返回结束的敛散性.例例3.判别级数的敛散性.解解:根据比较审敛法的极限形式知例例4.判别级数解解:根据比较审敛法的极限形式知机动目录上页下页返回结束定理定理4.比值审敛法(Dalembert 判别法)设 为正项级数,且则(1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知机动目录上页下页返回结束因此所以级数发散.时(2)当说明明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如例如,p 级数但级数收敛;级数发散.从而机动目录上页下页返回结束例例5.讨论级数的敛散性.解解:根据定理4可知:级数收敛;级数发散;机动目录上页下页返回结束对任意给定的正数 定理定理5.根值审敛法(Cauchy判别法)设 为正项级则证明提示明提示:即分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.数,且机动目录上页下页返回结束时,级数可能收敛也可能发散.例如,p 级数 说明明:但级数收敛;级数发散.机动目录上页下页返回结束例例6.证明级数收敛于S,似代替和 S 时所产生的误差.解解:由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和 Sn 近 机动目录上页下页返回结束二二、交、交错级数及其数及其审敛法法 则各项符号正负相间的级数称为交交错级数数.定理定理6.(Leibnitz 判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和 其余项满足机动目录上页下页返回结束证:是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故机动目录上页下页返回结束收敛收敛用Leibnitz 判判别法法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛机动目录上页下页返回结束三、三、绝对收收敛与条件收与条件收敛 定定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.机动目录上页下页返回结束定理定理7.绝对收敛的级数一定收敛.证:设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令机动目录上页下页返回结束例例7.证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.机动目录上页下页返回结束(2)令因此收敛,绝对收敛.机动目录上页下页返回结束其和分别为 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.*定理定理8.绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.(P203 定理9)说明明:证明参考 P203P206,这里从略.*定理定理9.(绝对收敛级数的乘法)则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数与都绝对收敛,其和为但需注意条件收敛级数不具有这两条性质.(P205 定理10)机动目录上页下页返回结束内容小内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限机动目录上页下页返回结束3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛机动目录上页下页返回结束思考与思考与练习设正项级数收敛,能否推出收敛?提示提示:由比较判敛法可知收敛.注意注意:反之不成立.例如,收敛,发散.机动目录上页下页返回结束 作业作业 P206 1(1),(3),(5);2 (2),(3),(4);3 (1),(2);4 (1),(3),(5),(6);5(2),(3),(5)第三节目录上页下页返回结束备用用题1.判别级数的敛散性:解解:(1)发散,故原级数发散.不是 p级数(2)发散,故原级数发散.机动目录上页下页返回结束2.则级数(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析分析:(B)错;又C机动目录上页下页返回结束
