《函数极限数分》PPT课件.ppt

11 函数极限概念函数极限概念 22由提供更多由提供更多PPTPPT下载下载 3 3 函数极限存在的条件函数极限存在的条件 4 4 两个重要极限两个重要极限 5 5 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量第三章第三章 函数极限函数极限第三章第三章 函数极限函数极限1 函数极限概念播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.1、定义：、定义：2、另两种情形、另两种情形:3、几何解释、几何解释:例例1证证二、自变量趋向有限值时函数的极限1、定义：、定义：2、几何解释、几何解释:注意：注意：例例2证证例例3证证例例3证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.例例4证证3.单侧极限单侧极限:例如例如,左极限左极限右极限右极限左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例5证证四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 思考题思考题思考题解答思考题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.一、填空题一、填空题:练练 习习 题题 (1),自变量趋于有限值时函数的极限;作业 3.小结 (2),自变量趋于无穷大时函数的极限;(3),函数极限的几何意义;(4),单侧极限的概念;(5),应用函数极限的定义验证函数极限的方法;P47:1,3,4,5,6,7.第三章第三章 函数极限函数极限 2 函数极限的性质 如果f(x)A(xx0)那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界 证明有使得则取设);(,0,1,)(lim00 xUxAxfxxo.1)(1)(AxfAxf.);()(0内有界在即xUxfo 函数极限的性质1.局部有界性局部有界性 如果当xx0时f(x)的极限存 那么这极限是唯一的证明，xxfBA时的极限当都是设0,)(0,0,0101Axfxx时有当则,)(0,0202Bxfxx时有当故有同时成立时则当取，xx)2(),1(0),min(021.2)()()()(BxfAxfBxfAxfBA.即其极限唯一的任意性得由BA 2.唯一性唯一性 如果f(x)A(xx0)而且A0(或A0)那么对任何正数rA(或 r 0(或f(x)-r 例2 解 解 例3 解 例4 根据无穷大与无穷小的关系得 因为讨论 提示 当Q(x0)P(x0)0时 约去分子分母的公因式(xx0)先用x3去除分子及分母 然后取极限 解 先用x3去除分子及分母 然后取极限 例5 解:例6 讨论提示 例7 解 所以 解 当x时 分子及分母的极限都不存在 故关于商的极限的运算法则不能应用 例8 是无穷小与有界函数的乘积 (1),唯一性;作业 小结 (2),局部有界性;(3),局部保号性;(4),保不等式性;(5),迫敛性;P47:1,2,3,5,6,7,8,9.(6),四则运算法则;(7),函数极限与数列极限的关系;(8),复合函数的四则运算法则.第三章第三章 函数极限函数极限3 函数极限存在的条件一、极限存在准则一、极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则证证上两式同时成立上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限注意注意:准则准则 和和准则准则 称为称为夹逼准则夹逼准则.例例1 1解解由夹逼定理得由夹逼定理得2.单调有界准则单调有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:例例2 2证证(舍去舍去)第三章第三章 函数极限函数极限4 两个重要极限二、两个重要极限二、两个重要极限(1)注:这是因为 令u(x)则u0 于是 v第一个重要极限 例1 解 解 例2 例3注：在上例中，应用公式（141）时，我们使用了代 换 ,在运算熟练后可不必代换，直接计算：例4.求极限:例5.求极限:练习1.求下列极限:二.关于极限设有函数，根据下表观察的变化趋势。2.718152.716922.704812.5937410000100010010.2.718282.7182710000001000002.718152.716922.704812.59374-10000-1000-100-10.2.718282.71827-1000000-100000时，均趋于一个确定的数2.71828用e表示该数,e是无理数。注意：2.底数中的无穷小量（可以是字母 或是 代数式）和指数互为倒数。1.公式中底数的极限是1，指数的极限是无穷大,函数极限为 型定义定义v第二个重要极限类似地类似地,例6,求极限 解：例7解：例8解：例9解解例10解解 练习2.求下列极限:练习小结：小结：（1）分子、分母含有三角函数且在自变量指定的变化趋 势下是“”型。（2）公式中的“”可以是趋向于零的代数式。（3）注意三角函数有关公式的应用。（1）函数在自变量指定的变化趋势下是“”型。（2）应用公式解题时，注意将底数写成1与一个无穷小量 的代数和的形式，该无穷小量与指数互为倒数。（3）注意求极限过程中运用指数的运算法则。作业作业:P58:1 (1)(10),2 (1)(6),3,4(1)(2).三、小结三、小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则;单调有界准则单调有界准则.思考题思考题求极限求极限思考题解答思考题解答一、填空题一、填空题:练练 习习 题题二、求下列各极限二、求下列各极限:练习题答案练习题答案第三章第三章 函数极限函数极限5 无穷小量与无穷大量则称f(x)是该极限过程中的一个无穷小量(省去xxo,x的极限符号“lim”表示任一极限过程).定义1.若lim f(x)=0,一、无穷小一、无穷小一、无穷小一、无穷小1、定义、定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.例如例如,注意注意（1）无穷小是变量）无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;注2：无穷小量与极限过程分不开,不能脱离极限过程谈无穷小量,小量,但如sinx是x0时的无穷注3：由于limC=C(常数),注4：0是任何极限过程的无穷小量.所以,除0外的任何常数不是无穷小量.2、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性充分性充分性意义意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);3、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是有限个无穷小的代数和仍是无穷小无穷小.证证注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.二、无穷大量二、无穷大量二、无穷大量二、无穷大量定义2：若 0(无论多么大),记作：0(或X0),当0|xxo|X)时，有|f(x)|M,则称f(x)是x x0(或x)时的无穷大量.若以“f(x)M”代替定义中的“|f(x)|M”,就得到正无穷大量的定义.若以“f(x)M”,就得到负无穷大量的定义.分别记作：0,0(或X0),当0|xxo|X)时，有|f(x)|M,特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.不是无穷大不是无穷大无界，无界，证证例例2:试从函数图形判断下列极限.解解：(1)xy0 xyy=tgxxy(2)xoyxxyyx+x注1：若在定义2中，将“f(x)”换成“xn”,注2：若lim f(x)=,将“X”换成“N”,将“x”换成就得到数列xn为无穷大量定义.“n”,则表示在该极限过程中f(x)的极限不存在.0,X0,当|x|X 时,有|f(x)|M,注3：不能脱离极限过程谈无穷大量.注4：无穷大量一定是无界量,任何常量都不是无穷大量.但无界量不一定是无穷大量.说明0,x0(,+)，使得|x0sinx0|M即可.三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证证意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.证明 设及是当xx0时的两个无穷小 则 0 10当0|xx0|1 时 有|20 当0|xx0|2 时 有|取 min1 2 则当0|xx0|时 有 这说明 也是当xx0时的无穷小|2 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小仅就两个xx0时的无穷小情形证明 举例:当x0时 x与sin x都是无穷小 所以xsin x也是当x0时的无穷小 四、无穷小的性质四、无穷小的性质 设 函 数 u在 x0的 某 一 去 心 邻 域x|0|xx0|1内有界 即M0 使当0|xx0|1时 有|u|M 又设是当xx0时的无穷小 即0 存在20 使当0|xx0|2时 有|取min1 2 则当0|xx0|时 有|u|u|M 这说明u 也是当xx0时的无穷小 证明 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小四、无穷小的性质四、无穷小的性质举例:推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小 四、无穷小的性质四、无穷小的性质五、无穷小的比较五、无穷小的比较 观察两个无穷小比值的极限v观察与比较 两个无穷小比值的极限的各种不同情况 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度 在x0的过程中 x2比3x趋于零的速度快些 反过来3x比x2趋于零的速度慢些 而sin x与x趋于零的速度相仿 v无穷小的阶 设 及 为同一个自变量的变化过程中的无穷小 v阶的比较举例所以当x0时 3x2是比x高阶的无穷小 即3x2o(x)(x0)所以当x3时 x29与x3是同阶无穷小 例2 例3 例1 所以当x0时 1cos x 是关于x 的二阶无穷小 所以当x0时 sin x 与x是等价无穷小 即sin xx(x0)例4 例5 v阶的比较举例定理1 与是等价无穷小的充分必要条件为 o()v关于等价无穷小的定理 必要性:证明 所以 o()因为设 只需证 o()充分性:设o()则 因此 所以当x0时 有 sin xxo(x)tan xxo(x)例6 定理1 与是等价无穷小的充分必要条件为 o()v关于等价无穷小的定理 定理1 与是等价无穷小的充分必要条件为 o()v关于等价无穷小的定理 定理2 证明 求两个无穷小比值的极限时 分子及分母都可用等价无穷小来代替 因此 如果用来代替的无穷小选取得适当 则可使计算简化 定理2的意义:定理1 与是等价无穷小的充分必要条件为 o()v关于等价无穷小的定理 定理2 解 当x0时 tan 2x2x sin 5x5x 所以 解 当x0时sin xx 无穷小x33x与它本身显然是等价的 所以 例7 例8 六、小结六、小结1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.思考题思考题思考题解答思考题解答不能保证不能保证.例例有有一、填空题一、填空题:练练 习习 题题练习题答案练习题答案 作业 P66:1,2,3,5,6.