《弹性力学初步》PPT课件.ppt

刚体刚体：在任何外力作用下在任何外力作用下,形状大小均形状大小均不发生改变的物体。不发生改变的物体。刚体内任意两质元间的距离保持不变任意两质元间的距离保持不变内部质元之间可以有相对运动内部质元之间可以有相对运动，宏观上体现为形变形变或非均匀流动非均匀流动。如果质元之间可以有相对运动？刚体 忽略形变弹性体 形变不可忽略流体 无法维持固定的形状弹性体和流体的研究方法研究方法：微元为有质量的体积元微元为有质量的体积元质量的体积元质量的体积元密度密度r r力作用在微元的表面力作用在微元的表面应力：应力：F/SF/S微元不是微元不是离散的质点离散的质点弹性形变弹性形变当物体所受外力撤除后，在外力作用下所发当物体所受外力撤除后，在外力作用下所发生的形状和体积的变化完全消失，而恢复原状的形变生的形状和体积的变化完全消失，而恢复原状的形变.弹性体弹性体在外力作用下，物体内部各点的相对位置发生在外力作用下，物体内部各点的相对位置发生改变；宏观上，表现为物体的大小和形状发生变化。改变；宏观上，表现为物体的大小和形状发生变化。自然界中并没有完全弹性体，一般变形体，既有弹性，还有撤去外力后不能完全复原的塑性塑性。假设：假设：(1)(1)变形体材料均匀变形体材料均匀连续连续，忽略实际物体中的微粒间的不，忽略实际物体中的微粒间的不连续性。认为物体的性质处处相同。连续性。认为物体的性质处处相同。多晶纯橄榄石矿物在正多晶纯橄榄石矿物在正交显微镜下图像。颗粒交显微镜下图像。颗粒之间是不连续的。每个之间是不连续的。每个颗粒都是橄榄石矿物。颗粒都是橄榄石矿物。（注颜色不同是矿物双（注颜色不同是矿物双折射的干涉产生的。）折射的干涉产生的。）(2)变形体材料变形体材料各向同性各向同性，在各个方向具有相同的力学性，在各个方向具有相同的力学性质。暂不考虑各向异性的材料。质。暂不考虑各向异性的材料。譬如：单晶是各向异性的。多晶，在宏观上表现出譬如：单晶是各向异性的。多晶，在宏观上表现出各向各向同性同性。这是由于多晶是大量单晶无规则排列的结果，在。这是由于多晶是大量单晶无规则排列的结果，在宏观上的平均效果表现为宏观上的平均效果表现为各向同性各向同性(3)变形体变形体变形很小变形很小，即物体几何大小和形状的改变与其，即物体几何大小和形状的改变与其总尺寸相比甚小。总尺寸相比甚小。在形变很小的情况下，可以认为物体内各点的相对位移在形变很小的情况下，可以认为物体内各点的相对位移与力成正比，即该形变是弹性形变。这时，与力成正比，即该形变是弹性形变。这时，变形和作用变形和作用力之间的关系仍然呈线性力之间的关系仍然呈线性，是胡克定律在复杂力作用下，是胡克定律在复杂力作用下的推广，称为的推广，称为“广义胡克定律广义胡克定律”外力，内力和应力ABAB讨论横截面积远小于其长度的细直杆细直杆。两端受到沿轴线的力而平衡假想横面AB将直杆分成上下两部分。通过截面AB产生一对内力。考虑平衡。应力应力 Fn是内力在外法线方向的投影，S是横截面积单位：帕,N/m2 应力是物体中各部分应力是物体中各部分之间相互作用的内力之间相互作用的内力8.2.1 8.2.1 线应变线应变l在固体中一个截面上的应力一般应力一般不与此截面垂直不与此截面垂直，我们可以将它分解为法向分量和切向分量法向分量和切向分量，前者称为正应力正应力，后者称为剪切应力剪切应力。纯正应力相对应的体应变体应变纯剪切应力相对应的剪切应变剪切应变赵州桥赵州桥如果设计得好，楔型石料将主要承受压应力8线应变线应变取一根长、宽、高分别为取一根长、宽、高分别为l l，w w，h h的等截面杆形材料。如果两端的等截面杆形材料。如果两端在拉力在拉力F F作用下，其长度伸长为作用下，其长度伸长为 l l，并满足小变形假设。，并满足小变形假设。l胡胡克定律克定律：力与伸长成正比，即力与伸长成正比，即F F l l。l杆伸长杆伸长 l l不仅取决于外力不仅取决于外力F F，也取决于杆的长度。，也取决于杆的长度。F F l l/l ll为得到杆形材料的伸长为得到杆形材料的伸长 l l，力，力F F将取决于该材料的横截面积。将取决于该材料的横截面积。F/SF/S l l/l l相相对对伸伸长长 l l/l l就是就是单单位位长长度的伸度的伸长长，一般称，一般称为为应变应变。（仅形变较小时成立）（仅形变较小时成立）胡克定律胡克定律 即即 Y Y是弹性模量是弹性模量(杨氏模量杨氏模量),),是描写材料本身弹性的物理量是描写材料本身弹性的物理量.F F l l O O C CD DB B O O A AB B P P P P 是塑性应变是塑性应变.断裂点断裂点 弹性极限弹性极限 实验：当在一个方向上对材料拉伸时，必将在与这一伸长垂直的方向上收缩。宽度的相对收缩正比于长度的相对伸长。根据材料的各向同性假设各向同性假设l常数 v 称为泊松比，它是表征材料性质的另一个参数。泊松比是一个无量纲的正数，小于1/28.2.2 叠加原理叠加原理在力和位移上都是在力和位移上都是线性线性的，而且均满足小位移假设，的，而且均满足小位移假设，所以叠加原理成立。所以叠加原理成立。由此，一维情况下成立的应力由此，一维情况下成立的应力-应变关系与泊松比关应变关系与泊松比关系在多维情况下也成立系在多维情况下也成立8.2.3 体应变与剪切应变体应变与剪切应变1 1）体积形变）体积形变体体应力与体应变应力与体应变 若只有若只有p p1 1单独作用，棱边单独作用，棱边a a为纵向边，为纵向边，棱边棱边b b和和c c为横向边，三个应变分别为：为横向边，三个应变分别为：在在p p2 2单独作用下，以及单独作用下，以及p p3 3单独作用下，棱边单独作用下，棱边a a，b b，c c的的应变分别为：应变分别为：在应力在应力p p1 1，p p2 2，p p3 3同时作用下，棱边同时作用下，棱边a a的应变为：的应变为：在应力在应力p p1 1，p p2 2，p p3 3同时作用下，棱边同时作用下，棱边b b和和c c的应变为：的应变为：体积：体积：体积变化（体积变化（体应变体应变）当当时，即静水压作用下时，即静水压作用下K K为为体积模量体积模量，有关系，有关系由上式得，由上式得，要小于。否则体积模量要小于。否则体积模量K K为负值，材料会在为负值，材料会在增加压力时发生膨胀。增加压力时发生膨胀。2 2）剪切形变）剪切形变切应力与切应变切应力与切应变 剪切形变剪切形变物体受到力偶作用使物体两个平行物体受到力偶作用使物体两个平行截面间发生相对平行移动截面间发生相对平行移动.A AB BC CD D切应力切应力 S S是截面是截面ABCDABCD的面积，的面积，物体受到力偶物体受到力偶 发生剪切变形发生剪切变形 切应力具有与正应力相同的量纲和单位切应力具有与正应力相同的量纲和单位.2.2.切应力切应力 1.1.力偶：大小相等方向相反彼此平行的一对力力偶：大小相等方向相反彼此平行的一对力Odm1m2与参考点的选择无关与参考点的选择无关剪切应力互等定律：剪切应力互等定律：作用于互相垂直的假想截面上并作用于互相垂直的假想截面上并垂直于该两平面交线的切应力相等垂直于该两平面交线的切应力相等.思考：切应力不相等时，物体会出现什么状态？思考：切应力不相等时，物体会出现什么状态？a ab bc c力偶矩力偶矩 3.3.纯剪切状态：剪切应力互等纯剪切状态：剪切应力互等 和和 分别表示上下底面和左右侧面的切应力分别表示上下底面和左右侧面的切应力 4.4.剪切应变描述剪切应变描述 a ab bc cd db b c c 剪切形变特征剪切形变特征:切应变切应变 :平行截面间相对平行截面间相对滑移与截面垂直距离之比滑移与截面垂直距离之比.即即 形变小时，形变小时，又称切变角又称切变角.即即 G G称切变模量，称切变模量，由材料弹性决定由材料弹性决定.G G反映材料抵抗剪反映材料抵抗剪切形变的能力，切形变的能力，单位与弹性模量相同单位与弹性模量相同.剪切形变的胡克定律剪切形变的胡克定律若形变在一定限度内，切若形变在一定限度内，切应力与切应变成正比应力与切应变成正比.弹性模量弹性模量E E、切变模量、切变模量G G和泊松系数和泊松系数 之间的关系为之间的关系为 5.5.剪切形变的胡克定律剪切形变的胡克定律 由上式得，由上式得，要大于要大于-1-1。否则剪切模量。否则剪切模量G G为负值，材为负值，材料会在做剪切形变时对外力做功而不是外力做功使材料会在做剪切形变时对外力做功而不是外力做功使材料发生形变。料发生形变。Y Y、G G和和 之间关系的推导之间关系的推导 FFFF水平方向的应变为：水平方向的应变为：1）正应力作用下）正应力作用下2）剪切力作用下）剪切力作用下BDBD截面上受力为截面上受力为截面面积为截面面积为 因此拉因此拉(张张)应力为应力为F/S AC截面上压应力为截面上压应力为-F/S在立方体处于纯剪切状态下，其剪切应力在立方体处于纯剪切状态下，其剪切应力F/S相相当于彼此大小相等、互相垂直，并与原立方体面当于彼此大小相等、互相垂直，并与原立方体面成成45截面上的拉截面上的拉(张张)应力与压应力的组合。应力与压应力的组合。应力与应变可由下图所示的力作用下的结论得到，应力与应变可由下图所示的力作用下的结论得到，这可由上一个关系式给出：这可由上一个关系式给出：其中一条其中一条对对角角线线伸伸长长，另一条，另一条则缩则缩短。短。在讨论剪切应变时，切应变常采用角变形在讨论剪切应变时，切应变常采用角变形 角表示角表示 例题：大理石在例题：大理石在110MPa110MPa的应力下才碎裂，它在破裂之的应力下才碎裂，它在破裂之前经历的最大应变有多大？前经历的最大应变有多大？解：由应力解：由应力-应变关系应变关系 ，Y=5510Y=55109 9PaPa或其它值（查得）或其它值（查得）=210=210-3-3例题：一种砖密度为例题：一种砖密度为2102103 3kg/mkg/m3，最大可承受，最大可承受40MPa40MPa的应力。那么用这种砖一层层砌起高塔，能保持最底的应力。那么用这种砖一层层砌起高塔，能保持最底层的砖不破裂的塔的最大高度为多少？层的砖不破裂的塔的最大高度为多少？解：应力为解：应力为可推得：可推得：例题：一条铝线长米，横截面为圆形且直径为毫米。一端固定，例题：一条铝线长米，横截面为圆形且直径为毫米。一端固定，另一端栓一千克的物体在水平面内做圆周运动。请问多大的另一端栓一千克的物体在水平面内做圆周运动。请问多大的角速度能使铝线有角速度能使铝线有1.00101.0010-3-3的应变？的应变？解：铝的杨氏模量解：铝的杨氏模量E=6910E=69109 9PaPa其中其中例题：一根铁质缆线横截面面积为平方厘米，每米重千克。如例题：一根铁质缆线横截面面积为平方厘米，每米重千克。如果果500500米的缆线垂直悬挂于悬崖下，请问在它自身的重力作用米的缆线垂直悬挂于悬崖下，请问在它自身的重力作用下，缆线会伸长多少米？下，缆线会伸长多少米？解：在解：在x x处的应力为处的应力为x x处的处的dxdx微元的伸长量微元的伸长量dl dl 总伸长量为总伸长量为例题：矩形横截面杆在轴向拉力的作用下产生拉伸应变例题：矩形横截面杆在轴向拉力的作用下产生拉伸应变为为，此材料的泊松比为，此材料的泊松比为，求证体积的相对改变为：，求证体积的相对改变为：式中式中V0和和V分别代表原来和形变后的体积。低碳钢的杨分别代表原来和形变后的体积。低碳钢的杨氏模量为氏模量为，泊松比为，受到的拉应力，泊松比为，受到的拉应力为为 ，求杆体积的相对变化。，求杆体积的相对变化。解：应变解：应变泊松比：泊松比：体积：体积：得证得证拉应力：拉应力：所以：所以：在剪切钢板时，由于刀口不快，没有切断，该材料在剪切钢板时，由于刀口不快，没有切断，该材料发生了剪切形变。钢板的横截面积为发生了剪切形变。钢板的横截面积为S=90cmS=90cm2 2，二刀，二刀口间的距离为，当剪切力为口间的距离为，当剪切力为F=7*10F=7*105 5N N时，已知钢板的剪变模量为时，已知钢板的剪变模量为G=8*10G=8*101010PaPa，求：，求：（1 1）钢板中的剪切应力；（）钢板中的剪切应力；（2 2）钢板的剪切应变；）钢板的剪切应变；（3 3）与刀口齐的两个截面所发生的相对滑移。）与刀口齐的两个截面所发生的相对滑移。解：（解：（1）剪切应力：）剪切应力：（2 2）剪切应变：）剪切应变：（3 3）应变与相对滑移：）应变与相对滑移：一根长度为一根长度为L，半径为，半径为a，其一端相对于另一端扭转角其一端相对于另一端扭转角度度 的圆柱形棒。的圆柱形棒。由实验知，由实验知，在小变形的条件下，一根受扭在小变形的条件下，一根受扭转的棒所受的力矩与扭转角转的棒所受的力矩与扭转角 成正比成正比，其其比例系数取决于棒的材料以及棒的几何尺比例系数取决于棒的材料以及棒的几何尺寸。下面我们将导出这个比例系数。寸。下面我们将导出这个比例系数。扭转的本质是剪切应变扭转的本质是剪切应变。这是一个材料内部不同部分。这是一个材料内部不同部分受有不同应力的问题。受有不同应力的问题。把圆柱棒分成许多很薄的同轴柱形壳分别进行考察。我把圆柱棒分成许多很薄的同轴柱形壳分别进行考察。我们讨论其中一个半径为们讨论其中一个半径为，厚度为，厚度为 的薄柱壳。的薄柱壳。柱壳面上一个小正方形，受扭转后柱壳面上一个小正方形，受扭转后变成一个平行四边形。在剪切力作变成一个平行四边形。在剪切力作用下，此柱壳元的切变角为用下，此柱壳元的切变角为利用虎克定律，剪切应力为利用虎克定律，剪切应力为 同时切应力还可表示为一端的剪切同时切应力还可表示为一端的剪切力除以端面积力除以端面积 F提供了环绕柱轴的力矩提供了环绕柱轴的力矩 M：总力矩总力矩M应等于该柱壳整个圆周的每个应等于该柱壳整个圆周的每个 M之和：之和：即，一个空心薄柱壳的即，一个空心薄柱壳的转动刚度转动刚度(即转动弹性模量即转动弹性模量)一根实心棒可以看成许许多多同心薄柱壳构成，而且每一根实心棒可以看成许许多多同心薄柱壳构成，而且每一柱壳有相同的扭转角一柱壳有相同的扭转角 总转动力矩等于每一柱壳上的力矩之和。因此总转动力矩等于每一柱壳上的力矩之和。因此 试推导钢管扭转常量试推导钢管扭转常量D D的表达式。的表达式。例题：一铝管直径为例题：一铝管直径为4cm4cm，壁厚，壁厚1mm1mm，长，长10m10m，一，一端固定，另一端作用一力矩，求铝管的扭转角。端固定，另一端作用一力矩，求铝管的扭转角。已知铝的剪变模量已知铝的剪变模量G=2.65*10G=2.65*101010PaPa。解：扭转角：解：扭转角：代入数据，得：代入数据，得：梁的弯曲梁的弯曲A AA A B BC CC C B B M M1 1M M2 2A AA A B BC C B B C C矩形横截面梁矩形横截面梁 ，不计自重，不计自重 ,如图如图 M MA AA A b bh h弯曲后，靠近上缘各层发生压缩形变；靠近下缘各弯曲后，靠近上缘各层发生压缩形变；靠近下缘各层，发生拉伸形变层，发生拉伸形变.处于中间的的处于中间的的CCCC 层层(中性层中性层)既不伸长也不压缩既不伸长也不压缩.中性层曲率中性层曲率M M是加于梁的力偶矩，是加于梁的力偶矩，E E为材料的杨氏模量，为材料的杨氏模量，b b为梁为梁宽度，宽度，h h为梁的高度为梁的高度.弯曲形变特点弯曲形变特点:铁轨的横截面呈铁轨的横截面呈“工工”字字形：铁轨在列车压力下弯形：铁轨在列车压力下弯曲，拉压应力集中于上下曲，拉压应力集中于上下缘之故。缘之故。人体骨骼人体骨骼当杆型物体弯曲和扭转形变时，拉伸当杆型物体弯曲和扭转形变时，拉伸或剪切应力都是集中于最外侧或剪切应力都是集中于最外侧骨骼呈中空状骨骼呈中空状矩形横截面边长矩形横截面边长2:32:3的梁在力偶矩作用下发生纯弯曲。的梁在力偶矩作用下发生纯弯曲。对于截面的两个不同取向，同样的力偶矩产生的曲对于截面的两个不同取向，同样的力偶矩产生的曲率半径之比为多少？率半径之比为多少？解：依据梁弯曲的曲率公式，有：解：依据梁弯曲的曲率公式，有：设边长分别为：设边长分别为：2a2a、3a3a一种取法：一种取法：b=2ab=2a，h=3ah=3a则：则：另一种取法：另一种取法：b=3ab=3a，h=2ah=2a则：则：剪切波（横波）静态扭棒静态扭棒 扭矩沿棒处处相等，并正比于扭矩沿棒处处相等，并正比于 如果扭转是均匀的，有如果扭转是均匀的，有 在棒中任取一长度为在棒中任取一长度为 x的一小段棒，两端面的一小段棒，两端面1,2的位置的位置坐标分别为坐标分别为x和和x+x，所受转扭分别为，所受转扭分别为 和和 当当 x足够小时，有近似关系：足够小时，有近似关系：作用于此小段棒的净扭矩为：作用于此小段棒的净扭矩为：小段棒的质量为小段棒的质量为 为材料的密度为材料的密度 它相对于圆棒轴的转动惯量为：它相对于圆棒轴的转动惯量为：转矩等于转动惯量与角加速度之积：转矩等于转动惯量与角加速度之积：即即 化简为：化简为：8.4.2 8.4.2 涨缩波（纵波）涨缩波（纵波）以弹性细棒中传播的声波的为例以弹性细棒中传播的声波的为例 取弹性棒中的任意一小段棒，此小取弹性棒中的任意一小段棒，此小段棒两端的平衡位置为段棒两端的平衡位置为x和和x+x，运动中两端面的位移为运动中两端面的位移为y和和y+y，应力为应力为和和 。设棒的横截面积为设棒的横截面积为S，材料的杨氏模量为，材料的杨氏模量为E。则这小段。则这小段棒受到的合力为棒受到的合力为 小段棒的质量为小段棒的质量为 由牛顿第二定律由牛顿第二定律 得得 这是这是一维波动方程一维波动方程，声速为，声速为 其中其中 为棒的密度。为棒的密度。在粗而厚的物体中传播的声波，其波速将比一根细棒中传在粗而厚的物体中传播的声波，其波速将比一根细棒中传播的声速大一些。这是由于大物体中的横向尺寸比声音波播的声速大一些。这是由于大物体中的横向尺寸比声音波长大得多，推压该物体不会向旁伸展，受到横向约束。这长大得多，推压该物体不会向旁伸展，受到横向约束。这种情况下的弹性模量种情况下的弹性模量E大于材料的大于材料的E：因此声速可以表示为：因此声速可以表示为：因有关系因有关系GEE，纵波比剪切波传播得更快。，纵波比剪切波传播得更快。8.4.3 8.4.3 固体介质中纵波、横波的转换固体介质中纵波、横波的转换固体材料既可以传播纵波固体材料既可以传播纵波(P波波)也可以传播也可以传播横波横波(S波波)。当固体材料中的弹性波遇到界。当固体材料中的弹性波遇到界面时，即使入射的只有纵波，反射和折射面时，即使入射的只有纵波，反射和折射出的也会既有纵波也有横波。出的也会既有纵波也有横波。在某些特殊条件下，纵波入射只反射横波；横在某些特殊条件下，纵波入射只反射横波；横波入射只反射纵波。这种现象称为波入射只反射纵波。这种现象称为“偏振交换偏振交换”或或“波型转换波型转换”。应用：转换波测界面深度应用：转换波测界面深度利用利用PS-P的到时差可以计算的到时差可以计算转换界面的深度转换界面的深度P1P1P0S0台站台站介质介质2介质介质1界面界面应用在矿藏勘探上应用在矿藏勘探上8.4.4 8.4.4 实例：超声波探测与成像、实例：超声波探测与成像、CTCT、地震波反演、地震波反演在固体中传播的弹性波遇到界面时会发生反射，可以在固体中传播的弹性波遇到界面时会发生反射，可以用来检查金属零件内部的用来检查金属零件内部的缺陷缺陷CT(计算机断层扫描计算机断层扫描)B超超地震会激发出弹性波地震会激发出弹性波(地震波地震波)，地震波在地球内部传播，地震波在地球内部传播，遇到不同的物质、不同的界面，也会有不同的反应。根遇到不同的物质、不同的界面，也会有不同的反应。根据在全球各地记录到的地震波数据，就可以推断地球内据在全球各地记录到的地震波数据，就可以推断地球内部的结构，通常称为部的结构，通常称为“地震波反演地震波反演”。地震波到时地震波到时-震中距震中距地震波在地球内部的部分传递方式地震波在地球内部的部分传递方式 地震定位地震定位第八九章作业第八九章作业8-4,10,12,13,169-6,13,20,33,41,46,50,65,73