《数列极限的定义》PPT课件.ppt

一、数列极限的定义一、数列极限的定义割圆术：割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽概念的概念的引入引入正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积数列的概念数列的概念定义定义:如果按照某一法则如果按照某一法则,对每个对每个 ,对应着一个确定对应着一个确定的实数的实数 ,这些实数这些实数 按照下标按照下标n从小到大排列得到的一从小到大排列得到的一个序列个序列就叫做数列就叫做数列,简记为数列简记为数列 .数列中的每一个数叫做数列的数列中的每一个数叫做数列的项项，第，第n项项 叫做数列的叫做数列的一般项一般项.例如例如注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在可看作一动点在数轴上依次取数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一确定的是否无限接近于某一确定的数值数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划它它.通过观察通过观察:当当n无限增大时无限增大时,无限接近于无限接近于1.数列的极限数列的极限观察数列观察数列当当时的变化趋势时的变化趋势.注意：注意：如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.1.1.具有任意给定性，它是描述具有任意给定性，它是描述 与与 的无限接近程度的无限接近程度.2 2.N.N 与与有关，且不唯一有关，且不唯一.函数的极限函数的极限一、一、函数极限的定义函数极限的定义二、二、函数极限的性质函数极限的性质1 1、自变量趋于有限值时函数的极限、自变量趋于有限值时函数的极限 或或定义定义1 1 设函数设函数f(x)在点在点x0 0的某一去心邻域内有定义，如果存在的某一去心邻域内有定义，如果存在常数常数A,对于任意给定的正数对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在（不论它多么小），总存在正数正数,使得当使得当x 满足不等式满足不等式0|0|xx0 0|时，对应的函数值时，对应的函数值f(x)都满足不等式，都满足不等式，|f(x)A|那末常数那末常数A就叫做就叫做函数函数f(x)当当xx0 0时的极限时的极限，记作，记作注注1）语言表述语言表述 当当 时有时有 则则一、一、函数极限的定义函数极限的定义2）表示表示 时时 有无极限有无极限 与与 有无定义没有关系有无定义没有关系.3）任意给定后，才能找到任意给定后，才能找到 ，依赖于依赖于 ，且，且 越小，越小，越小越小.4）不唯一，也不必找最大的，只要存在即可不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.几几何何意意义义 如如果果函函数数f(x)当当xx0时时极极限限为为A,以以任任意意给给定定一一正正数数,作作两两条条平平行行于于x轴轴的的直直线线y=A+和和y=A-,存存在在点点x0的的邻邻域域(x0-,x0+),当当x在在邻邻域域(x0-,x0+)内内,但但xx0时时,曲曲线线y=f(x)上的点上的点(x,f(x)都落在两条平行线之间。都落在两条平行线之间。例例1 1证明证明 (C为常数为常数)证证当当 时时,成立成立,例例2 2证明证明证证取取当当 时时,成立成立,证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.例例3 3证明证明要使要使只要取只要取当当 时时,就有就有证证例例4 4当当 时时,要使要使取取当当 时时,就有就有只要只要 且不取负值且不取负值.结结论论:函函数数f(x)当当xx0时时极极限限存存在在的的充充分分必必要要条条件件是是左左极极限限与右极限均存在且相等，即与右极限均存在且相等，即左极限和右极限左极限和右极限当当自自变变量量x从从x0的的左左(或或右右)侧侧趋趋于于x0时时，函函数数f(x)有有极极限限A，则称，则称A为函数为函数f(x)当当xx0时的时的左左(右右)极限极限，记作，记作或或例例5 5 函数函数当当 时时 的极限不存在的极限不存在.证证 当当 时时 的左极限的左极限而右极限而右极限因为左极限和右极限存在但不相等因为左极限和右极限存在但不相等,所以所以 不存在不存在.yOx-11小结小结注：分段函数分点处的极限，要分别求左极限和右极限注：分段函数分点处的极限，要分别求左极限和右极限.证明函数极限不存在的方法是证明函数极限不存在的方法是:(1)(1)证明左极限与右极限至少有一个不存在证明左极限与右极限至少有一个不存在(2)或证明左极限和右极限均存在或证明左极限和右极限均存在,但不相等但不相等