正弦定理余弦定理综合应用-解三角形经典例题(学生)(共5页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上一、知识梳理1内角和定理：在中，；面积公式: 在三角形中大边对大角，反之亦然.2正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一： (解三角形的重要工具)形式二： (边角转化的重要工具)形式三： 形式四：3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一： (解三角形的重要工具)形式二： 二、方法归纳 (1)已知两角A、B与一边,由A+B+C=及，可求出角C，再求、. (2)已知两边、与其夹角A，由2=2+2-2cosA，求出，再由余弦定理，求出角B、C. (3)已知三边、，由余弦定理可求出角A、B、C. (4)已知两边、及其中一边的对角A，由正弦定理，求出另一边的对角B，由C=-(A+B)，求出，再由求出C，而通过求B时，可能出一解，两解或无解的情况=sinA有一解 >>sinA有两解 有一解 >有一解三、课堂精讲例题问题一：利用正弦定理解三角形【例1】在中，若，,，则 . 【例2】在ABC中，已知=,=,B=45°,求A、C和.【思考】从所得到式子看，为什么会有两解：sinA =,在上显然有两个解。在上的值域为（0,1】，在只有一解。【适时导练】1.（1）ABC中，=8,B=60°,C=75°,求; （2）ABC中，B=30°, =4,c=8,求C、A、a.问题二：利用余弦定理解三角形【例3】设的内角所对的边分别为.已知，.（）求的周长；（）求的值.【解题思路】本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理，同时考查基本运算能力【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：【例4】（2010重庆文数） 设的内角A、B、C的对边长分别为、,且3+3-3=4 .() 求sinA的值；()求的值.【适时导练】2 在ABC中，、分别是角A，B，C的对边，且=-.（1）求角B的大小；（2）若=，+=4，求ABC的面积.问题三：正弦定理余弦定理综合应用【例5】（2011山东文数）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为，c已知 （I）求的值； （II）若cosB=，ABC 的周长为5，求的长。【解题思路】通过正弦定理将边化成正弦，在通过和角公式进行化简。【思考】到底“具体什么情况下边化角，什么情况下角化边”【例6】（2009全国卷理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、，已知，且 求b 【解题思路】对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,可以考虑余弦定理；而对已知条件(2) 化角化边都可以。【思考】面对解三角形，可以考虑正弦定理，也可以考虑余弦定理，两种方法只是计算量上的差别。【适时导练】3在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且8 sin22 cos 2A7（1）求角A的大小；（2）若a，bc3，求b和c的值问题四：三角恒等变形【例7】（08重庆） 设的内角A，B，C的对边分别为,b,c，且A=，c=3b.求：（）的值；（）cotB +cot C的值. 【解题思路】求的值需要消去角和三角求值问题一般先考虑寻找角之间的关系【思考】在解三角形的背景下一般见“切割化弦”， 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： （2）商数关系： 【适时导练】4.（2009江西卷理）中，所对的边分别为，,.（1）求；（2）若,求. 问题五：判断三角形形状【例8】在ABC中，在中，分别是角A、B、C所对的边，bcosAcosB，试判断三角形的形状.【解题思路】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理【解析】.【思考】判断三角形形状时一般从角入手，利用三角形内角和定理，实施关于三角形内角的一些变形公式.【例9】. 在ABC中，在中，分别是角A、B、C所对的边，若，试判断三角形的形状.【解析】：【适时导练】5.在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形【解析】2sinAcosBsin（AB）sin（AB）又2sinAcosBsinC，sin（AB）0，AB 6.在ABC中，、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（2+b2）sin（A-B）=（2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.问题六：与其他知识综合【例10】已知向量，其中A，B，C是ABC的内角，,c分别是角A，B，C的对边.（1）求角C的大小；（2）求的取值范围.【解题思路】向量的数量积运算法则。向量垂直的判定。【思考】坐标运算：设，则： 向量的加减法运算：，。 实数与向量的积：。 平面向量数量积：=【适时导练】7（2009浙江文）在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值问题7：三角实际应用专心-专注-专业
