高等数学竞赛题库~.不定积分与~定积分.doc
|高等数学竞赛 不定积分不定积分的概念与性质1、设 ，求)10(tan2cos)(sin22 xxf )(xf2、设 ，求x1l)f3、已知 ，试求函数()(f )(xf利用基本积分法求不定积分一、利用凑微分法求不定积分1、 求下列不定分;(1) （2） （3） （4）dxcosindx512xd22cossinx5)i(s2、求下列不定积分（1） （2）dxexe)13()(22 dxx)1(ln)23（3） （4） （5）dx21arctndxe)cos(inxx)l(l2二、利用第二换元积分法求不定积分1、三角代换求下列积分（1） （2） （3） （4）21)(xd23)1(xddx2921xd2、倒代换（即令 ）求下列积分t（1） （2）)0(2axd)2(7xd3、指数代换（令 则 ）,ttadln1（1） （2）xd42632xxed4、利用分部积分法求不定积分（1） （2）dex2)( dcos)5(3（3） （4）arcos x2ln|（5） xdecos5、建立下列不定积分的递推公式（1） （2）axInn)(12 xdInnta有理函数的积分1、求下列不定积分（1） （2） （3）dxx3422)1(xd)1(22xd2、求下列不定积分（1） （2） （3） （4）)(10xdxn12dx103)(d38简单无理函数积分1、 2、dx3 dx1)(三角有理式积分1、 2、 3、sinx3sin1dxsin14、 5、 6、dxco xdcos2465co含有反三角函数的不定积分1、 2、xartn2x32)1(ar抽象函数的不定积分1、 2、dxfxf32)()( dxf)(ln分段函数的不定积分例如：设 求 .1,2;0,)(xxf dxf)(|高等数学竞赛 定积分比较定积分大小1、 比较定积分 和 的大小21lnxd21)(ldx2、 比较定积分 和 的大小0(0arctn利用积分估值定理解题一、估值问题1、试估计定积分 的值452)sin1(dx2、试估计定积分 的值3arctx二、不等式证明1、证明不等式： edx1022、证明不等式： 1438三、求极限1、 2、210limdxnn dxenn10lim关于积分上限函数及牛顿-莱布尼兹公式问题1、求下列导数：（1） ；3241)(xtdF（2）由方程 确定的隐函数 的导数yxt te0022 1sin)(xfydy2、设 在 上连续且满足 ，求)(xf),)(02xdtf2f3、设 为关于 的连续函数，且满足方程 ，求f 11860 9)()(xx Cxdtfttf及常数 .)(xfC4、求下列极限：|（1） （2）xtxed602sinlim 250)cos1(limxdtxx5、设 是连续函数，且 ，求 .)(f 10)()(dtfxf )(f6、已知 且 ，求 及8)(80dfx2x定积分的计算一、分段函数的定积分1、设 求;,2,)(lxlclkxf xdtf0)()(2、求定积分 ),ma(d二、被积函数带有绝对值符号的积分1、求下列定积分：（1） （2）edxln10dtx2、求定积分 的值23cosdx三、对称区间上的积分1、设 在 上连续，计算)(xf,a132)cosin(dxx2、设 在 上连续，且对任何 有 ，计算f),y, )(yff1()(dxx3、计算积分 421sineIx4、设 在区间 上连续， 为偶函数，且 满足条件)(,gxf )0(,a)(xg)(xf（ 为常数）.A)(（1）证明： aadxdxf0)()(2) 利用（1）的结论计算定积分 2rctansiex|四、换元积分法1、求下列定积分：（1） （2） （3）24)(arcsindx2ln021dxedx20101cosin4s五、分部积分1、设 有一个原函数为 ，求)(xfxsi2)(xf2、 301arcsind3、 102)(lx积分等式的证明一、换元法（适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件）1、若函数 连续，证明：)(xf（1） 20023)(1aa dxfd（2） bbxfba ()（3） xx dd12122、设 连续，求证 ，并计算)(f dxfxf00 )(sin)(sin023cos1indx3、设 连续，且关于 对称， ，z 证明：xfTbababTadxfdxfxf 2)()(2)(（提示： 关于 对称，即 ）二、分部积分法（适用于被积函数中含有 或变上限积分的命题）)(xf例：设 连续， ，证明：)(xfxdtatfF02)()()2(02afa三、构造辅助函数法（适用于证明在积分限中至少存在一点 或 使等式成立的命题）0x解题思路：（1）将 或 改成 ，移项使等式一端为零，则另一端即为所作的辅助函数0x|或 。)(xF（2）验证 满足介值定理或微分中值定理的条件。)(（3）由介值定理或微分中值定理，即可证得命题。1、设 在 上连续，证明：至少存在一点 ，使得：)(,xgf,ba ),(baadxfgdxf )()(2、设 在 上连续，在 内可导， .求证：)(xf, )(21)(, 2adxfba在 内至少存在一点 使,ba 1)(ff四、积分不等式的证明常用的证明积分不等式的定理有：定积分的比较定理，估值定理，函数的单调性，积分与微分中值定理。1、设 在 上连续，且严格递增，证明：)(xf,baabadxfdxf)(2)(2、设 在 上连续且单调减少， ，求证：)(xf),0b0badxfdxfa00)(3、设 在 上可导，且 .证明：)(xf, )(,afMbabf2)(广义积分1、求下列广义积分（1） （2） 02dxe 942xd（3） （4）12)(ln0)1(2、证明：无穷积分 当 时收敛，当 时发散.)0(1pxdp3、当 时， 是以 为瑕点的瑕积分，证明它在 时收敛，在0p10时发散.1|高等数学竞赛 导数与微分练习利用导数定义解题1、 设函数 又 在 处可导，求复合函数.2,0;,1sin)2()xxg )(tf0在 处的导数。)(fy2、 已知 在 处可导，求x0 )(lim00xfxfx3、 设 求 在点 处的导数,1,32)(xf )(f1)1(f4、 设函数 在 处可导，且 试求)(fa,0)(af nnaf)(lim5、 设 求极限,)1(,0)(ff xefxxcosli1)(21li 2026、 设 在 上有定义，且 又 ，求xfR,)(f xyefff )()()(f导数在几何上的应用1、 设函数 由方程 确定，求曲线 在 处的法)(fy1)cos(2exyeyx )(f1,0线方程2、 已知 是周期为 5 的连续函数，它在 的某个领域内有关系式)(xf 0),(8)sin1(3sin1xxf其中 是当 时比 高阶的无穷小，且 在 处可导，求曲线 在)(x0f1)(xfy点 处的切线方程.6,f利用导数公式及求导法则求导1、已知 ，求xy)(y2、若 ，求txttf21lim)(tf|3、若 dxyxffy求,ln)(,12(314、设函数 由方程 确定。求sin)l320xdy5、设函数 由 所确定，求)(xy5arct2ey6、设函数 ，其中 具有二阶导数，且其一阶导数不等于 1，求)(ff 2dxy求高阶导数常用方法：（1）将函数变形。利用已知函数的 阶导数公式；n（2）利用莱布尼兹公式求某些积的 阶导数。1、设函数 ，求)1()(xxf)0(nf2、设函数 ，求23ln2y)5(y3、设函数 求,arct)(xf0)(nf4、设函数 ，求ey2)2(y5、设函数 xsin可导、连续与极限存在的关系1、 设 其中 具有二阶连续导数，且.0;,)(xegxfx)(xg,1)0(g求 并讨论 在 内的连续性。.)0(),(f),(f),2、设 其中 讨论在什么条件下 在 处连续。.0;,1sin)(xxf,)(xf0
