2012年考研数学三真题及答案.docx
2021年考研数学三真题一、选择题18小题，每题4分，共32分。以下每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。(1) 曲线y=x2+xx2-1渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C。【解析】由limx+y=limx+x2+xx2-1=1=limx-y=limx-x2+xx2-1,得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；由limx1y=limx1x2+xx2-1=得x=1是曲线的一条垂直渐近线；由limx-1y=limx-1x2+xx2-1=12得x=-1不是曲线的渐近线；综上所述，此题正确答案是C【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸、拐点及渐近线(2) 设函数fx=(ex-1)(e2x-2)(enx-n),其中n为正整数，那么f'0=(A)-1n-1n-1! (B) -1nn-1!(C)-1n-1n! (D) -1nn!【答案】A【解析】【方法1】令gx=(e2x-2)(enx-n),那么fx=(ex-1)gxf'(x)=exgx+(ex-1)g'x f'0=g0=-1-2(-(n-1) =-1n-1n-1! 故应选A. 【方法2】 由于f0=0,由导数定义知 f'0=limx0f(x)x=limx0(ex-1)(e2x-2)(enx-n)x =limx0(ex-1)xlimx0(e2x-2)(enx-n) =-1-2-n-1=-1n-1n-1!. 【方法3】 排除法，令n=2,那么 fx=(ex-1)(e2x-2)f'x=exe2x-2+2e2x(ex-1) f'0=1-2=-1 那么(B)(C)(D)均不正确 综上所述，此题正确答案是(A) 【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念(3) 设函数f(t)连续，那么二次积分02d2cos2f(r2)rdr=(A)02dx2x-x24-x2x2+y2f(x2+y2)dy(B) 02dx2x-x24-x2f(x2+y2)dy(C) 02dy1+1-y24-y2x2+y2f(x2+y2)dx(D) 02dy1+1-y24-y2f(x2+y2)dx【答案】B。【解析】令x=rcos ,y=rsin ,那么r=2所对应的直角坐标方程为x2+y2=4,r=2cos 所对应的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1。由02d2cos2f(r2)rdr的积分区域2cos<r<2,0<<2得在直角坐标下的表示为2x-x2<y<4-x2, 0<x<2所以02d2cos2f(r2)rdr=02dx2x-x24-x2f(x2+y2)dy综上所述，此题正确答案是(B)。【考点】高等数学多元函数微积分学二重积分的概念、根本性质和计算(4) 级数n=1(-1)nnsin1n绝对收敛，级数n=1(-1)nn2-条件收敛，那么(A)0<12 (B) 12<1(C)1<32 (D) 32<<2【答案】D。【解析】由级数n=1(-1)nnsin1n绝对收敛，且当n时(-1)nnsin1n1n-12，故-12>1,即>32由级数n=1(-1)nn2-条件收敛，知<2综上所述，此题正确答案是(D)【考点】高等数学无穷级数数项级数敛散性的判定(5) 设1=00c1,2=01c2,3=1-1c3,4=-11c4,其中c1,c2,c3,c4为任意常数，那么以下向量组线性相关的为(A) 1,2,3 (B) 1,2,4(C) 1,3,4 (D) 2,3,4【答案】C。【解析】n个n维向量相关1,2,n=0显然 1,3,4=01-10-11c1c3c4=0所以1,3,4必线性相关综上所述，此题正确答案是(C)。【考点】线性代数向量向量组的线性相关和线性无关(6) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP=100010002.假设P=1,2,3,Q=(1+2,2,3),那么Q-1AQ=(A) 100020001 (B)100010002(C) 200010002 (D)200020001【答案】B。【解析】由于P经列变换(把第2列加至第1列)为Q，有Q=P100110001=PE21(1)那么Q-1AQ=PE21(1)-1APE21(1)=E21(1)-1P-1APE21(1)综上所述，此题正确答案是(B)。【考点】线性代数矩阵矩阵运算、初等变换(7) 设随机变量X,Y相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，那么PX+Y21=(A) 14 (B) 12(C) 8 (D) 4【答案】D。【解析】PX2+Y21=x2+y21 f(x,y)dxdy而fx,y=fXxfYy=1,0<x<1,0<y<1,0, 其他即fx,y是在正方形0<x<1,0<y<1上等于常数1，其余地方均为0，x2+y21 f(x,y)dxdy实际上就是单位圆x2+y21在第一象限的面积。综上所述，此题正确答案是D。【考点】概率论及数理统计多维随机变量的分布二维随机变量分布(8) 设X1,X2,X3,X4为来自总体N1,2(>0)的简单随机样本，那么统计量X1-X2X3+X4-2的分布为(A)N0,1 (B)t(1)(C)2(1) (D)F(1,1)【答案】B。【解析】1， X1-X2N0,22，故X1-X22N0,1；2， X3+X4-2N0,22，故X3+X4-22N0,1，(X3+X4-22)22(1), (X3+X4-22)2/1=X3+X4-223， X1-X2及X3+X4-2相互独立。X1-X22及(X3+X4-22)2也相互独立， 所以X1-X22X3+X4-22=X1-X2X3+X4-2t(1)综上所述，此题正确答案是B。【考点】概率论及数理统计数理统计的概念二、填空题914小题，每题4分，共24分。(9) limx4(tanx)1cosx-sinx= 。【答案】e-2。【解析】这是一个1型极限，由于(tanx)1cosx-sinx=1+(tanx-1)1cosx-sinxlimx4tanx-1cosx-sinx=limx4tanx-1cosx(1-tanx)=limx4-1cosx=-2所以limx4(tanx)1cosx-sinx=e-2【考点】高等数学函数、极限、连续两个重要极限(10) 设函数fx=lnx, &x12x-1, &x<1,y=ffx,那么dydxx=e= 。【答案】1e【解析】y=ffx可看做y=fu,及u= fx的复合，当x=e时u= fe=lne=12lne=12由复合函数求导法那么知dydxx=e=f'12f'e=212xx=e=1e【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念(11) 设连续函数z=f(x,y)满足limx0y1fx,y-2x+y-2x2+(y-1)2=0,那么dz(0,1)= 【答案】2dx-dy 【解析】 由limx0y1fx,y-2x+y-2x2+(y-1)2=0，且z=f(x,y)连续，可得f0,1=1,且 fx,y-f0,1=2x-y-1+o(x2+(y-1)2), (x0y1) 由可微的定义得 f'x0,1=2,f'y0,1=-1,即 dz(0,1)=f'x0,1dx+f'y0,1dy=2dx-dy 【考点】高等数学多元函数的微分学多元函数偏导数的概念及计算(12) 由曲线y=4x和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面图形的面积为 。【答案】4ln2【解析】y y=4x y=x y=4xO 1 2 x曲线y=4x和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面域如以下图，那么所围面积为S=014x-xdx+12(4x-x)dx=4ln2【考点】高等数学一元函数积分学定积分的应用(13) 设A为3阶矩阵，A=3，A*为A的伴随矩阵。假设交换A的第1行及第2行得到矩阵B，那么BA*= 。【答案】-27【解析】【方法1】两行互换两列互换A变成B，所以A=-B,再由行列式乘法公式及A*=An-1，那么BA*=B|A*=-AA2=-27 【方法2】根据题意 010100001A=B，即B=E12A 那么BA*=E12AA*=AE12=3E12 从而BA*=3E12=33E12=-27 【考点】线性代数行列式行列式的概念和根本性质 线性代数矩阵伴随矩阵，矩阵的初等变换(14) 设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，PAB=12,PC=13,那么PABC= 。【答案】34【解析】A,C互不相容，自然有CA,当然更有CAB，所以PABC=P(ABC)P(C)=P(AB)1-P(C)=1223=34【考点】概率论及数理统计随机事件和概率事件的关系及运算，概率的根本公式，事件的独立性三、解答题：1523小题，共94分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15) 求极限limx0ex2-e2-2cosxx4【解析】【方法1】limx0ex2-e2-2cosxx4=limx0e2-2cosxlimx0ex2-2+2cosx-1x4 =limx0x2-2+2cosxx4 (等价无穷小代换) =limx02x-2sinx4x3 (洛必达法那么) =12limx01-cosx3x2=16limx012x2x2=112【方法2】limx0ex2-e2-2cosxx4=limx0e2-2cosxlimx0ex2-2+2cosx-1x4 =limx0x2-2+2cosxx4 (等价无穷小代换) =limx0x2-2+2(1-x22!+x44!+o(x4)x4 (泰勒公式) =limx0112x4+o(x4)x4=112【方法3】limx0ex2-e2-2cosxx4=limx0e(x2-2+2cosx)x4 (拉格朗日中值定理) =limx0x2-2+2cosxx4 =limx02x-2sinx4x3 (洛必达法那么) =12limx016x3x3 (x-sinx16x3) =112 【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比拟，极限的四那么运算 高等数学一元函数微分学微分中值定理，洛必达(L'Hospital)法那么(16) 计算二重积分D exxydxdy,其中D是以曲线y=x,y=1x及y轴为边界的无界区域。【解析】D exxydxdy=01dxx1xexxydy=1201ex(1-x2)dx =12ex(1-x2)01+01xexdx =-12+xex01-01exdx =12 【考点】高等数学一元函数积分学不定积分和定积分的换元积分法及分部积分法 高等数学多元函数微积分学二重积分的概念、根本性质和计算(17) 某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定本钱为10000万元。设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别是x(件)和y件，且这两种产品的边际本钱分别为20+x2(万元/件)及6+y(万元/件).(I) 求生产甲、乙两种产品的总本钱函数C(x,y)(万元)；(II) 当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总本钱最小？求最小本钱；(III) 求总产量为50件且总本钱最小时甲产品的边际本钱，并解释经济意义。【解析】(I) 总本钱函数 Cx,y=10000+20x+x24+6y+y22 万元(II) 由题意知，求Cx,y在x+y=50时的最小值，构造拉格朗日函数Fx,y,=Cx,y+x+y-50=10000+20x+x24+6y+y22+x+y-50解方程组F'x=20+x2+=0,F'y=6+y+=0,x+y-50=0. 得x=24,y=26.因可能极值点唯一，且实际问题存在最小值，故总产量为50件时，甲乙两种产品的产量分别是24,26时可使总本钱最小，且此时投入总费用Cminx,y=10000+20×24+2424+6×26+2622=11118(万元)(III) 甲产品的边际本钱函数：C'x,y=20+x2,于是，当总产量为50件且总本钱最小时甲产品的边际本钱C'x,y=20+242=32其经济意义为：当甲乙两种产品的产量分别是24,26时，假设甲的产量每增加一件，那么总本钱增加32万元。(18) 证明：xln1+x1-x+cosx1+x22,(-1<x<1)【解析】【方法1】记fx= xln1+x1-x+cosx-1-x22,那么f'x=ln1+x1-x+2x1-x2-sinx-x,f''(x)=41-x2+4x21-x22-1-cosx当-1<x<1时，由于41-x24,1+cosx2,所以f''(x)2>0,从而f'(x)单调增加。又因为f'0=0，所以，当-1<x<0时，f'x<0; 当0<x<1时，f'x>0，于是f0=0是函数fx在(-1,1)内的最小值。从而当-1<x<1时，fxf0=0即xln1+x1-x+cosx1+x22,(-1<x<1)【方法2】记fx= xln1+x1-x+cosx-1-x22, (-1<x<1)显然，fx是偶函数，因此只要证明fx0 x0,1)由于f'x=ln1+x1-x+2x1-x2-sinx-x, x0,1)ln1+x1-x>0 2x1-x2>2x=x+x>x+sinx从而有f'x>0，x(-1,1)有f0=0那么当-1<x<1时，fxf0=0即xln1+x1-x+cosx1+x22,(-1<x<1)【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念，导数和微分的四那么运算，函数单调性的判别，函数的极值(19) 函数fx满足方程f''x+f'x-2fx=0及f''x+fx=2ex (I) 求fx的表达式；(II) 求曲线y=f(x2)0xf(-t2)dt的拐点。【解析】(I) 联立f''x+f'x-2fx=0,f''x+fx=2ex,得f'x-3fx=-2ex,因此fx=e3dx-2exe-3dx+C=ex+Ce3x 代入f''x+fx=2ex，得C=0,所以fx=ex(II) y=fx20xf-t2dt=ex20xe-t2dty'=2xex20xe-t2dt+1y''=2x+2(1+2x2)ex20xe-t2dt当x<0时，y''<0; 当x>0时，y''>0,又y0=0,所以曲线的拐点为(0,0)【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念，导数和微分的四那么运算，函数单调性的判别，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(20) 设A=1a0001a0001aa001,=1-100.(I) 计算行列式|A|；(II) 当实数a为何值时，方程组Ax= 有无穷多解，并求其通解。【解析】(I) 按第一列展开A=11a001a001+a-14+1a001a001a=1-a4,(II) 当A=0时，方程组Ax= 有无穷多解，由上可知a=1或-1如果a=1rA=3,rA=4,方程组无解，舍去当a=-1时，1-10001-10001-1-10011-1001-10001-10001-10-1011-1011-10001-10001-100-111-1001-10001-10001-100001-100rA=3=rA，方程组有无穷多解，取x4为自由变量，得方程组通解为(0,-1,0,0)T+k(1,1,1,1)T, k为任意常数【考点】线性代数线性方程组线性方程组有解和无解的判定，非齐次线性方程组的通解(21) A=101011-10a0a-1,二次型fx1,x2,x3=xT(ATA)x的秩为2(I) 求实数a的值；(II) 求正交变换x=Qy将f化为标准形。【解析】(I) 因为rATA=r(A),对A做初等行变换A=101011-10a0a-110101100a+10a0, 所以，当a=-1时，rA=2(II) 由于a=-1，所以ATA=202022224，矩阵ATA的特征多项式为E-ATA=-20-20-2-2-2-2-4=(-2)(-6)，于是ATA的特征值为1=2，2=6，3=0当1=2时，由方程组2E-ATAx=0,可得到属于1=2的一个单位特征向量12(1,-1,0)T；当2=6时，由方程组6E-ATAx=0,可得到属于2=6的一个单位特征向量16(1,1,2)T；当3=0时，由方程组0E-ATAx=0,可得到属于3=0的一个单位特征向量13(1,1,-1)T。令Q=121613-121613026-13,那么f在正交变换x=Qy下的标准形为y=2y12+6y23【考点】线性代数矩阵矩阵的特征值和特征向量的概念、性质线性代数二次型二次型的标准形和标准形，用正交变换和配方法化二次型为标准形(22) 设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为X Y0120140141013021120112(I) 求PX=2Y；(II) 求Cov(X-Y,Y).【解析】(I) PX=2Y=PX=0,Y=0+PX=2,Y=1=14+0=14(II) 由(X,Y)的概率分布可得PX=0=14+14=12 ； PX=1=0+13+0=13；PX=2=112+112=16；PY=0=14+112=13 ； PY=1=0+13+0=13；PY=2=14+112=13；PXY=0=712；PXY=1=13；PXY=4=112所以EX=012+113+216=23EY=130+1+2=1DY=13(0-1)2+13(1-1)2+13(2-1)2=23EXY=13+13=23所以CovX-Y,Y= EXY-EXEY-DY=23-23-23=-23【考点】概率论及数理统计随机变量的数字特征随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质(23) 设随机变量X,Y相互独立，且都服从参数为1的指数分布，记U=maxX,Y,V=minX,Y.(I) 求V的概率密度fV(v)；(II) 求E(U+V).【解析】FVv=PVv=PminX,Yv=1-PminX,Yv =1-PXv,Yv=1-PXvPYv =1-e-ve-v=1-e-2v,v>0当v0时，FVv=0，fVv=2e-2v，v>00，v0EU+V=EX+Y=EX+EY=1+1=2【考点】概率论及数理统计随机变量及其分布常见随机变量的分布，连续型随机变量的概率密度，随机变量函数的分布概率论及数理统计随机变量的数字特征随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质第 13 页
