数列的综合应用知识点总结经典例题解析高考练习题带答案.docx
数列的综合应用【考纲说明】1会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的 及；2能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题；3 .理解数列作为函数的特性，能够抽象出数列的模型；【知识梳理】考点一：通项公式的求解技巧1. 归纳、猜想数列的通项.2. 迭代法求一阶递推式的通项公式.3. 用等差（等比）数列的通项公式求数列的通项公式.4. 已知数列前n项及，则.5. 已知1(n)(n³2),则可用叠加法求.6. 已知(n)(n³2),则可用叠乘法求.7. 已知数列前n项之积，一般可求1，则.8. 已知混合型递推式f()=0,可利用1(n³2)将关系式转化为只含有或的递推式,再求或先间接求出再求出.9. 已知数列的递推关系，研究它的特点后，可以通过一系列的恒等变形如:倒数、通分、约分、裂项、等式两边同时乘以或除以同一个式子、因式分解、平方、开方、配方、取对数、辅助数列、待定系数等等构造得出新数列f()为等差或等比数列.例如:形如1(n)或1,均可以两边同时除以1后进行求解,也可以通过待定系数法将其转化为等比数列求解;形如的递推数列可以两边同时倒数来求通项.考点二：数列求及的技巧一、公式法1、等差数列的前项及公式2、等比数列的前项及公式3、常用几个数列的求及公式（1）（2）（3）二、 错位相减法 用于求数列的前n项及，其中，分别是等差数列及等比数列。三、 裂项相消法适用于其中是各项不为0的等差数列。即:=(-),特别:;.四、 倒序相加法 推导等差数列的前项及公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它 及原数列相加，就可以得到个。五、 分组求及法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等 差、等比或常见的数列，然后分别求及，再将其合并即可。考点三：数列的综合应用一、 数列及函数的综合二、 等差及等比数列的综合三、 数列的实际应用 数列及银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合【经典例题】【例1】 (2011年高考天津卷理科4)已知为等差数列，其公差为-2，且是及的 等比中项，为的前n项及, ,则的值为 A-110 B-90 C90 D110【解析】D【例2】(2011年高考江西卷理科5)已知数列的前项及满足:,且 ,那么 ( ) A. 1 B. 9 C. 10 D. 55【解析】A【例3】（2008年江西省高考题）数列的通项公式是，若前n项及为10， 则项数为（ ） A、11 B、99 C、120 D、121【解析】C【例4】（2008安徽）设数列满足a1，11，nN*，其中a，c为实数，c01. 求数列的通项公式；2. 设，（1），nN*，求数列的前n项及。【解析】（1）1-1（1） 当a1时，1是首项为1，公比为c的等比数列 1=（1）1，即（1）1+1 当1时，仍满足上式。 数列的通项公式为（1）1+1（nN*）（2）由（1）得（1）1（）n， 12+2（）2+（）n （）2+2（）3+（1）（）（）1 -得（）2+（）（）1 1（）2+（）1（）21-（）n（）n 2-（2）（）n【例5】（2008浙江省） 已知数列的首项x1=3，通项2（nN*，p，q为常数）， 且x1，x4，x5成等差数列，求：（1） P，q的值；（2） 数列前n项及的公式。【解析】（1） 由x1=3，得23 又x4=244q，x5=255q，且x15=2x4，得3+255258q 解得1，1（2）（2+22+2n）+（1+2+）=21-2+【例6】 (2011年福建理16)已知等比数列的公比3，前3项及S3=。（I）求数列的通项公式；（）若函数在处取得最大值，且最大值 为a3，求函数f（x）的解析式。【解析】（I）由解得所以（）由（I）可知因为函数的最大值为3，所以3。因为当时取得最大值，所以又 所以函数的解析式为【例7】(2011年全国新课标卷)等比数列的各项均为正数，且(1)求数列的通项公式.(2)设 求数列的前项及.【解析】（）设数列的公比为q，由得所以。由条件可知a>0,故。由得，所以。故数列的通项式为。故所以数列的前n项及为【例8】(2011年高考浙江卷理科19)已知公差不为0的等差数列的首项 (),设数列的前n项及为，且，成等比数列（）求数列的通项公式及（）记，当时，试比较及的大小.【解析】 则 ，因为，所以当时， 即；所以当时，；当时， .【课堂练习】1. （2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项及为.若是的等比中 项, ,则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 2.（2010江西理数）等比数列中，=4，函数，则（ ） A B. C. D. (1) （2010湖北文数）7.已知等比数列中，各项都是正数，且，成等差数 列，则 A.B. C. D4.（2010福建理数）设等差数列的前n项及为,若,则当 取最小值时等于 A6 B7 C8 D95.（2013年福建（理）已知等比数列的公比为q,记则以下结论一定正确的是( )A.数列为等差数列,公差为 B.数列为等比数列,公比为C.数列为等比数列,公比为 D.数列为等比数列,公比为6（2013年重庆（理）已知是等差数列,公差,为其前项及,若成等比数列,则7（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（版）已知等比数列是递增数列,是的前项及,若是方程的两个根,则. 8、（2009年全国卷）设等差数列的前项及为，公比是正数的等比数列的前项及为，已知的通项公式。9、（2011浙江卷）已知公差不为0的等差数列的首项为，且，成等比数列（）求数列的通项公式；（）对，试比较及的大小10、（2010年山东卷）已知等差数列满足：，的前项及为（）求及；（）令（），求数列的前项及为。11.（2013年湖北卷（理）已知等比数列满足:,.(I)求数列的通项公式;()是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.12（2013年山东（理）设等差数列的前n项及为,且,.()求数列的通项公式;()设数列前n项及为,且 (为常数).令.求数列的前n项及.【课后作业】1.（2009重庆卷文）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项及=（ ）A B CD2.（2010安徽理数）设是任意等比数列，它的前项及，前项及及前项及分别 为，则下列等式中恒成立的是A、B、C、D、 3（2013辽宁）下面是关于公差的等差数列的四个命题:其中的真命题为(A) (B) (C) (D)4（2013年新课标卷）等差数列的前项及为,已知,则的最 小值为.5. 已知（2008年湖北省质检题）求及：1+3-5+7-+（-1）n（21） 6. 的通项，求的前n项及。7（2013年高考四川卷（理）在等差数列中,且为及的等比中项,求数列的首项、公差及前项及.8.（2009辽宁卷）等比数列的前n 项及为，已知,成等差数列 （1）求的公比q； （2）求3，求 9.（2010重庆文数）（16）（本小题满分13分，（）小问6分，（）小问7分. ）已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项及.（）求通项及；（）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项及.10.若函数对任意都有。（1），数列是等差数列吗？是证明你的结论；（2）求数列的的前项及。【参考答案】【课堂练习】1、C 2、C 3、C 4、A 5、C 6、64 7、638、解： 设的公差为，的公比为由得 由得 由及解得 故所求的通项公式为 9、解：设等差数列的公差为，由题意可知即，从而因为故通项公式 （）解：记所以从而，当时，；当10、解：（）设等差数列的首项为，公差为，由于，所以，解得，由于， ，所以，（）因为，所以因此故 所以数列的前项及11、解:(I)由已知条件得:,又, 所以数列的通项或 ()若,不存在这样的正整数; 若,不存在这样的正整数. 12、解:()设等差数列的首项为,公差为, 由,得 , 解得, 因此 ()由题意知: 所以时, 故, 所以, 则 两式相减得 整理得 所以数列数列的前n项及 【课后作业】1、 A 2、D 3、D 4、-49 5、当n为偶数时，；当n为奇数时，6、（1） （21）+（32）+（1）（1）1（1）7、解:设该数列公差为,前项及为.由已知,可得 . 所以, 解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3. 所以数列的前项及或 8、解：（）依题意有 由于 ，故 又，从而 （）由已知可得 故 9、10.解：（1）、（倒序相加）则，由条件：对任意都有。从而：数列是的等差数列。（2）、故：=第 10 页
