2017年全国高中数学联合竞赛试题~与~解答(A卷).doc

|2017 年全国高中数学联赛 A 卷一试一、填空题1.设 是定义在 上的函数，对任意实数 有 .又当)(xfRx1)4()3(xff时， ，则 的值为 _.70)9(log)(2xf10(f2.若实数 满足 ，则 的取值范围是_.yx,csyycos3.在平面直角坐标系 中，椭圆 的方程为 ， 为 的上焦点， 为OC109:2xFCA的右顶点， 是 上位于第一象限内的动点，则四边形 的面积的最大值为CPOAP_.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过 1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥 中， ， ，过 的平面 将其体积平分，则棱 与AB12APBP平面 所成角的余弦值为_.6.在平面直角坐标系 中，点集 .在 中随机取出三个点，则xOy,0,)(yxKK这三点中存在两点之间距离为 的概率为_.57.在 中， 是边 的中点， 是线段 的中点 .若 ， 的面积为ABCMNBM3ABC，则 的最小值为_.3N8.设两个严格递增的正整数数列 满足： ，对任意正整数 ，有nba, 201710ban， ，则 的所有可能值为 _.nna12 nb211二、解答题9.设 为实数，不等式 对所有 成立.证明： .mk, 2mkxbax,2ab|10.设 是非负实数，满足 ，求 的321,x1321x )53)(53(21321 xx最小值和最大值.11.设复数 满足 ， ，且 （其中 表21,z0)Re(1z0)e(2z2)Re()(21z)Re(z示复数 的实部）.（1）求 的最小值；)(21（2）求 的最小值.21zz2017 年全国高中数学联赛 A 卷二试一.如图，在 中， ， 为 的内心，以 为圆心， 为半径作圆ABCIABCB，以 为圆心， 为半径作圆 ，过点 的圆 与 , 分别交于点 （不同1II2I,312QP,于点 ）.设 与 交于点 .证明：PQRR二.设数列 定义为 ，na1|.求满足 的正整数 的个数.,21,1 naann 20173rar三.将 方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若3相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设 均是大于 1 的整数， ， 是 个不超过 的互不相同的正整数，nm, nmna,21 m且 互素.证明：对任意实数 ，均存在一个 ，使得a21 x)1(i，这里 表示实数 到与它最近的整数的距离 .xxi)(y2017 年全国高中数学联赛 A 卷一试答案1.2.3.|4.5.6.|7.8.|9.10.|11.2017 年全国高中数学联赛 A 卷二试答案|一.二.|三.|