2021-2022学年高二物理竞赛课件：一维单原子链模型.pptx

一维单原子链模型一维单原子链模型n一一维单原子原子链模型模型n格波及其色散关系格波及其色散关系n简约布里渊区布里渊区n长波极限下的格波波极限下的格波n声子声子一维单原子链模型一一维单原子原子链是最是最简单的晶格模型，是学的晶格模型，是学习格波的典型格波的典型例子，它例子，它较全面地表全面地表现了格波的基本特点。了格波的基本特点。绝热近似：用一个均匀分布的近似：用一个均匀分布的负电荷荷产生的常量生的常量势场来来描述描述电子子对离子运离子运动的影响的影响离子离子实比比电子重子重103105倍，离子倍，离子实振振动速度比速度比电子慢很多子慢很多将将电子的运子的运动和离子和离子实的运的运动分开分开电子子对离子振离子振动的影响，可用一个的影响，可用一个稳定的定的势场来替代来替代简谐近似：保留近似：保留2次次项，忽略高，忽略高阶项VOar平衡时势能取极小值两个重要近似：两个重要近似：平衡位置平衡位置非平衡位置非平衡位置晶格具有周期性，晶格的振晶格具有周期性，晶格的振动模具有波的形式模具有波的形式 格波格波格波的研究方法：格波的研究方法：计算原子之算原子之间的的相互作用力相互作用力根据牛根据牛顿定律写出原子定律写出原子运运动方程方程，并求解方程，并求解方程 原子原子n和原子和原子n+1间的距离的距离一一维单原子原子链模型：模型：l平衡平衡时相相邻原子原子间距距为a（即原胞（即原胞“体体积”为a），原子），原子质量量为ml原子限制在沿原子限制在沿链方向（一方向（一维）运）运动原子原子n离开平衡位置位移离开平衡位置位移n原子原子n和原子和原子n+1间相相对位移位移一维单原子链模型忽略高忽略高阶项，简谐近似近似考考虑原子原子振振动，相，相邻原子原子间相互作用相互作用势能能相相邻原子原子间作用力作用力只考只考虑相相邻原子的作用，原子的作用，第第n个个原原子受到的作用力子受到的作用力第第n个个原子的运原子的运动方程方程平衡位置平衡位置非平衡位置非平衡位置VOar牛顿第二定律F=ma一维单原子链模型上述上述(1)式的解（原子振式的解（原子振动位移）具有位移）具有平面波平面波的形式的形式naq是第是第n个原子的振个原子的振动位相因子位相因子A是原子振是原子振动振幅，振幅，为常数常数是格波的角是格波的角频率，率，为常数常数；q是格波的是格波的波数波数和和q满足以下的足以下的色散关系色散关系连续介介质中的波（如声波）可表示中的波（如声波）可表示为，则可看出可看出格波格波和和连续介介质波波具有完全具有完全类似的形式似的形式一个格波表示的是所有原子一个格波表示的是所有原子同同时做做频率率为的振的振动格波与连续介质波的主要区别在于格波与连续介质波的主要区别在于(2)式中，式中，aq取取值任意加减任意加减2的整数倍的整数倍对所有原子的振所有原子的振动没有影响没有影响，所以可将波数，所以可将波数q取取值限制限制为该式将(2)式带入(1)式可得(3)格波解格波解一维单原子链模型aq取值任意加减取值任意加减2的整数倍对的整数倍对所有原子的振动所有原子的振动没有影响没有影响红线红线：q=/2a绿线绿线：q=5/2a将波数将波数q取值限制为取值限制为即波数即波数q取值在取值在简约布里渊区简约布里渊区（第一布里渊区）中（第一布里渊区）中第一章内容：第一章内容：简约布里渊区内的全部波矢代布里渊区内的全部波矢代表了晶体中所有的状表了晶体中所有的状态，区外，区外的波矢都可通的波矢都可通过平移倒格矢在平移倒格矢在该区内找到等价状区内找到等价状态点；点；讨论固体性固体性质时，可以只考，可以只考虑第一第一布里渊区。布里渊区。简约布里渊区简约布里渊区一维单原子链模型一一维单原子晶格看作原子晶格看作无限无限长，所有原子是，所有原子是等价等价的，每个原的，每个原子的振子的振动形式都一形式都一样实际的晶体的晶体为有限，形成的有限，形成的链不是无不是无穷长，链两两头的原子的原子不能不能用中用中间原子的运原子的运动方程来描述方程来描述但如果用与其它原子不同的运但如果用与其它原子不同的运动方程描述两端的少数原子，方程描述两端的少数原子，则会会导致相互致相互联立立的方程求解更加复的方程求解更加复杂采用采用玻恩卡曼周期性玻恩卡曼周期性边界条件界条件避免避免这种情况种情况含含义：原子：原子链首尾的振首尾的振动情况必情况必须复原复原玻恩卡曼周期性玻恩卡曼周期性边界条件限制波数界条件限制波数在在简约布里渊区内布里渊区内取取均匀分布均匀分布的的N个个分立分立值边界条件边界条件一维单原子链模型取正值，则有取正值，则有频率是波数的率是波数的偶函数偶函数色散关系曲色散关系曲线具有具有周期性周期性，仅取取简约布里渊区的布里渊区的结果即可果即可由正弦函数的性由正弦函数的性质可知，只有可知，只有满足的格波足的格波才能在一才能在一维单原子原子链晶体中晶体中传播，其它播，其它频率的格波将被率的格波将被强烈衰减烈衰减0q(q)格波的色散关系格波的色散关系一维单原子链模型长波极限情况波极限情况一一维单原子格波相当于波速原子格波相当于波速为的的连续介质波连续介质波相邻两个原子之间的位相差相邻两个原子之间的位相差趋于趋于0，晶体内所有原子振动，晶体内所有原子振动情况相同情况相同短波极限情况短波极限情况色散关系为非线性色散关系为非线性表明波矢位于第一布里渊区表明波矢位于第一布里渊区边界上的格波界上的格波不能在晶体中不能在晶体中传播，播，实际上它是一种上它是一种驻波波格波取值的长波极限格波取值的长波极限一维单原子链模型声子声子一维单原子链模型能量本征能量本征值本征本征态函数函数 一个一个简正坐正坐标对应一个一个谐振子方程，波函数是振子方程，波函数是以以简正坐正坐标为宗量的宗量的谐振子波函数振子波函数 振振动能量的本征能量的本征值为其中其中nq为声子数声子数3-2 一维单原子链模型声子声子13晶格振晶格振动的的问题转化化为声子系声子系统问题的研究的研究解解释金属金属电阻随温度升高而增大，解阻随温度升高而增大，解释超超导现象。象。热传导可以看成是声子的可以看成是声子的扩散；散；热阻是由于声子被散射等等阻是由于声子被散射等等声子概念引入后声子概念引入后给我我们处理具有理具有强相互作用的原子集体相互作用的原子集体晶体晶体带来了极大方便，而且生来了极大方便，而且生动地反映了晶格振地反映了晶格振动能量量子化能量量子化的特点。的特点。类似的描述方式和概念是固体物理的一大特征，即多似的描述方式和概念是固体物理的一大特征，即多体系体系统集体运集体运动的激的激发单元，称作元，称作元激元激发Elementary excitation。声子是固体中最重要的元激。声子是固体中最重要的元激发之一。之一。一维单原子链模型声子声子20赫兹-20000赫兹，高于20000赫兹的叫超声波声子能量(eV)1100100000.010.1