2021-2022学年高二物理竞赛课件：流体力学的旋涡运动（15张PPT）.pptx

流体流体力学力学的旋涡运动的旋涡运动第五节第五节 流体流体力学力学的旋涡运动的旋涡运动 本节主要讲述理想流体有旋运动的理论基础，重点是速度环量及其表征环量和旋涡强度间关系的斯托克斯定理。一、涡线、涡管、涡束和旋涡强度 涡量用来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为：(7-23)涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为：(7-24)在流场的全部或部分存在角速度的场，称为涡量场。如同在速度场中引入了流线、流管、流束和流量一样。在涡量场中同样也引入涡线、涡管、涡束和旋涡强度的概念。欧拉积分 当理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动时，式（7-19）右端为零。若在流场中任取一有向微元线段 ，其在三个坐标轴的投影分别为dx、dy、dz，将它们分别依次乘式（7-19）并相加，得:积分（7-21）上式为欧拉积分的结果，表明理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动时，单位质量流体的总机械能在流场中保持不变。伯努利积分 当理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动时，式（7-19）右端第一项等于零。由流线的特性知，此时流线与迹线重合，在流场中沿流线取一有向微元线段 ，其在三个坐标轴上的投影分别为 ，将它们的左、右端分别依次乘式（7-19）的左、右端，相加有 积分有（7-22）该积分为伯努里积分。表明理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动时，单位质量流体的总机械能沿流线保持不变。通常沿不同流线积分常数值有所不同。1涡线:涡线是在给定瞬时和涡量矢量相切的曲线。如图7-7所示。图7-7 涡线 图7-8 涡管根据涡通量矢量与涡线相切的条件，涡线的微分方程为:(7-25)2涡管、涡束：在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，在同一时刻过该曲线每一点的涡线形成的管状曲面称作涡管。如图7-8所示。截面无限小的涡管称为微元涡管。涡管中充满着的作旋转运动的流体称为涡束，微元涡管中的涡束称为微元涡束或涡丝。3旋涡强度（涡通量）在涡量场中取一微元面积dA，见图7-9（a），其上流体微团的涡通量为 ，为dA的外法线方向，定义（7-26）为任意微元面积dA上的旋涡强度，也称涡通量。任意面积A上的旋涡强度为：（7-27）如果面积A是涡束的某一横截面积，就称为涡束旋涡强度，它也是旋转角速度矢量的通量。旋涡强度不仅取决于，而且取决于面积A。速度环量、斯托克斯定理1速度环量:在流场的某封闭周线上，如图7-9（b），流体速度矢量沿周线的线积分，定义为速度环量，用符号 表示，即:(7-28)速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线积分的绕行方向有关。对非定常流动，速度环量是一个瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算，积分时为参变量。图7-9微元面积、微元有向线段 2斯托克斯（Stokes）定理:在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围曲面面积的旋涡强度，即:（7-29）这一定理将旋涡强度与速度环量联系起来，给出了通过速度环量计算旋涡强度的方法。【例7-3】已知二维流场的速度分布为 ，试求绕圆 的速度环量。【解】此题用极坐标求解比较方便，坐标变换为:速度变换为,【例】一二维元涡量场，在一圆心在坐标原点、半 径 的圆区域内，流体的涡通量 。若流体微团在半径 处的速度分量 为常数，它的值是多少？【解】由斯托克斯定理得：汤姆孙定理、亥姆霍兹定理1汤姆孙（Thomson）定理 v理想正压性流体在有势的质量力作用下，沿任何封闭流体周线的速度环量不随时间变化，即：v证明：在流场中任取一由流体质点组成的封闭周线K，它随流体的运动而移动变形，但组成该线的流体质点不变。沿该线的速度环量可表示为式（7-28），它随时间的变化率为：（7-30）（7-30a）由于质点线K始终由同样的流体质点组成，将其代入式（7-30a）等号右端第一项积分式：由理想流体的欧拉运动微分方程，式（7-30a）等号右端第二项积分式可表示为:将上面的结果代入式（7-30a），并考虑到 都是单值连续函数，得:（7-30b）或 斯托克斯定理和汤姆孙定理表明，理想正压性流体在有势的质量力作用下，涡旋不会自行产生，也不会自行消失。2亥姆霍兹（Helmholtz）定理 亥姆霍兹关于旋涡的三个定理，解释了涡旋的基本性质，是研究理想流体有旋流动的基本定理。（1）亥姆霍兹第一定理：在理想正压性流体的有旋流场中，同一涡管各截面上的旋涡强度相同。如图710所示，在同一涡管上任取两截面A1、A2，在A1、A2之间的涡管表面上取两条无限靠近的线段a1a2和b1b2。由于图710 同一涡管上的两截面 图711 涡管上的封闭轴线 封闭周线a1a2b1b2a1所围成的涡管表面无涡线通过，旋涡强度为零。根据斯托克斯定理，沿封闭周线的速度环量等于零，即：由于 而 ，故得该定理说明，在理想正压性流体中，涡管既不能开始，也不能终止。但可以自成封闭的环形涡管，或开始于边界、终止于边界。（2）亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）理想正压性流体在有势的质量力作用下，流场中的涡管始终由相同的流体质点组成。如图711所示，K为涡管表面上的封闭周线，其包围的面积内涡通量等于零。由斯托克斯定理知，周线K上的速度环量应等于零；又由汤姆孙定理，K上的速度环量将永远为零，即周线K上的流体质点将永远在涡管表面上。换言之，涡管上流体质点将永远在涡管上，即涡管是由相同的流体质点组成的，但其形状可能随时变化。