定积分习题及复习资料.docx

第五章 定积分(A层次)1； 2； 3；4； 5； 6；7； 8； 9；10； 11； 12；13； 14； 15；16； 17； 18；19； 20； 21；22； 23； 24；25。(B层次)1求由所决定的隐函数对的导数。2当为何值时，函数有极值？3。4设，求。5。6设，求。7设，求。8。9求。10设是连续函数，且，求。11假设，求。12证明：。13，求常数。14设，求。15设有一个原函数为，求。16设，在上，求出常数，使最小。17，求。18设，求。19。20设时，的导数及是等价无穷小，试求。(C层次)1设是任意的二次多项式，是某个二次多项式，求。2设函数在闭区间上具有连续的二阶导数，那么在内存在，使得。3在上二次可微，且，。试证。4设函数在上连续，在上存在且可积，试证()。5设在上连续，求证存在一点，使。6设可微，求。7设在上连续可微，假设，那么。8设在上连续，求证 。9设为奇函数，在内连续且单调增加，证明：(1)为奇函数；(2)在上单调减少。10设可微且积分的结果及无关，试求。11假设在连续，证明：12求曲线在点(0,0)处的切线方程。13设为连续函数，对任意实数有，求证。14设方程，求。15设在上连续，求证：16当时，连续，且满足，求。17设在连续且递减，证明，其中。18设连续，试证：。19设是上的连续函数，试证在内方程至少有一个根。20设在连续，且，又，证明：(1) (2)在内有且仅有一个根。21设在上连续，那么。22设是以为周期的连续函数，证明：23设在上正值，连续，那么在内至少存在一点，使24证明。25设在上连续且严格单调增加，那么。26设在上可导，且，那么。27设处处二阶可导，且，又为任一连续函数，那么，。28设在上二阶可导，且，那么。29设在上连续，且，证明在上必有。30在上连续，且对任何区间有不等式(，为正常数)，试证在上。第五章 定积分(A)1解：原式2解：令，那么 当时，当时 原式3解：令，那么 当，时分别为， 原式4解：令，那么， 当，1时， 原式5解：令， 当时，；当时， 原式6解：令，那么， 当时 原式7解：原式8解：原式9解：原式10解：为奇函数11解：原式12解：为奇函数13解：原式14解：原式15解：原式16解：原式 故17解：原式18解：原式 故19解：原式20解：原式21解：令，那么原式22解：原式23解：原式24解：原式 故25解：令，那么原式故(B)1求由所决定的隐函数对的导数。解：将两边对求导得2当为何值时，函数有极值？解：，令得 当时， 当时， 当时，函数有极小值。3。解：原式4设，求。解：5。解：6设，求。解：当时， 当时， 当时， 故。7设，求。解：8。解：原式9求。解：原式10设是连续函数，且，求。解：令，那么，从而即，11假设，求。解：令，那么， 当时， 当时，从而12证明：。证：考虑上的函数，那么 ，令得 当时， 当时， 在处取最大值，且在处取最小值 故 即。13，求常数。解：左端 右端 解之或。14设，求。解：令，那么15设有一个原函数为，求。解：令，且16设，在上，求出常数，使最小。解：当最小，即最小，由知，在的上方，其间所夹面积最小，那么是的切线，而，设切点为，那么切线，故，。于是令得从而，又，此时最小。17，求。解：18设，求。解：设，那么解得：，于是19。解：原式20设时，的导数及是等价无穷小，试求。解： 故(C)1设是任意的二次多项式，是某个二次多项式，求。解：设，那么 令 于是， 由得2设函数在闭区间上具有连续的二阶导数，那么在内存在，使得。证：由泰勒公式 其中，位于及之间。 两边积分得： 令，那么3在上二次可微，且，。试证。证明：当时，由，知是严格增及严格凹的，从而及故4设函数在上连续，在上存在且可积，试证 ()。证明：因为在上可积，故有 而， 于是5设在上连续，求证存在一点，使。证：假设， 由，得 故 从而因为在连续，那么或。从而或，这及矛盾。故。6设可微，求。解：令，那么，显然 于是。7设在上连续可微，假设，那么。证：因在上连续可微，那么在和上均满足拉格朗日定理条件，设，那么有故。8设在上连续，求证 。证： 令，那么 于是 故9设为奇函数，在内连续且单调增加，证明：(1)为奇函数；(2)在上单调减少。证：(1) 为奇函数。 (2) 由于是奇函数且单调增加，当时， ，故，即在上单调减少。10设可微且积分的结果及无关，试求。解：记，那么 由可微，于是 解之为任意常数11假设在连续，证明：解：因 所以。12求曲线在点(0,0)处的切线方程。解：，那么，故切线方程为：， 即。13设为连续函数，对任意实数有，求证。证：两边对求导 即 令，即得。14设方程，求。解：方程两边对求导，得 从而15设在上连续，求证：证：设为的原函数，那么 左边 右边。16当时，连续，且满足，求。解：等式两边对求导，得 令得 将代入得： 故。17设在连续且递减，证明，其中。证： 那么 由于递减， 故 即。18设连续，试证：。证： 在第一个积分中，令，那么 而 故19设是上的连续函数，试证在内方程至少有一个根。证：由积分中值定理，存在使 即 故是方程的一个根。20设在连续，且，又，证明：(1) (2)在内有且仅有一个根。证：(1) (2)， 又在连续，由介值定理知在内至少有一根。 又，那么单增，从而在内至多有一根。 故在内有且仅有一个根。21设在上连续，那么。证： 令，那么 故22设是以为周期的连续函数，证明：证： 令，那么 (以为周期) 故23设在上正值，连续，那么在内至少存在一点，使证：令 由于时，故 故由零点定理知，存在一点，使得 即 又 故。24证明。证：设，那么 令，那么 故25设在上连续且严格单调增加，那么。证：令 那么 ，在严格单增那么，从而即故26设在上可导，且，那么。证：由假设对，可知在上满足微分中值定理，那么有 又因， 故于是。27设处处二阶可导，且，又为任一连续函数，那么，。证：由泰勒公式，有 其中在及之间 又因，故 即 令， 那么 即。28设在上二阶可导，且，那么。证：对，将在处展开，得其中在及之间。 由题设，那么。 从而 积分即29设在上连续，且，证明在上必有。证：由得，再由题设，知又由于，对得，即，从而30在上连续，且对任何区间有不等式(，为正常数)，试证在上。证：令，那么 又 令，那么上式左端，右端。由此得，由的任意性知。第 21 页