1994考研数一真题及解释分析.doc

|1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 5个小题,每小题 3分,满分 15分.)(1) _.01limcot()sinxx(2) 曲面 在点(1,2,0)处的切平面方程为_.2zey(3) 设 ,则 在点 处的值为_.sixu2ux1(,)(4) 设区域 为 ,则 _.D22yR2()Dydxab(5) 已知 ,设 ,其中 是 的转置,则 _.1(1,3)()TATnA二、选择题(本题共 5个小题,每小题 3分,满分 15分.)(1) 设 , , ,42sinco1xMd 42(sinco)Nxd234(sinco)Pxxd则 ( )(A) (B) NPMN(C) (D) (2) 二元函数 在点 处两个偏导数 、 存在是(,)fxy0(,)0(,)xfy0(,)yfx在该点连续的 (,)fxy( )(A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (3) 设常数 ,且级数 收敛,则级数 ( )021na21|()na(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与 有关(4) ,其中 ,则必有 ( )20tan(cos)lim12)xxbcde20ac(A) (B) 4 4bd(C) (D) c(5) 已知向量组 线性无关,则向量组 ( )1234、 、 、|(A) 、 、 、 线性无关 12341(B) 、 、 、 线性无关 (C) 、 、 、 线性无关 12341(D) 、 、 、 线性无关 三、(本题共 3小题, 每小题 5分,满分 15分.)(1) 设 求 、 在 的值.21cos()cos,txtyudyx2dt(2) 将函数 展开成 的幂级数.()lnartn4xfx(3) 求 .si2id四、(本题满分 6分)计算曲面积分 ,其中 是由曲面 及两平面2SxdyzS22xyR,z所围成立体表面的外侧.(0)zR五、(本题满分 9分)设 具有二阶连续导数, ,且fx(0),()1ff为一全微分方程,求 及此全微分方程的2()(yydxyd()fx通解.六、(本题满分 8分)设 在点 的某一领域内具有二阶连续导数,且 ,证明级数fx00()limxf绝对收敛.1()nf七、(本题满分 6分)已知点 与 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段 绕 轴旋转一周所围成ABABz的旋转曲面为 .求由 及两平面 所围成的立体体积.S0,1z|八、(本题满分 8分)设四元线性齐次方程组 为 又已知某线性齐次方程组 的通解为()1240,x().12(0,)(1,kk(1) 求线性方程组 的基础解系；)(2) 问线性方程组 和 是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没(有,则说明理由.九、(本题满分 6分)设 为 阶非零方阵, 是 的伴随矩阵, 是 的转置矩阵,当 时,证明An*ATA*TA.|0十、填空题(本题共 2小题, 每小题 3分,满分 6分.)(1) 已知 、 两个事件满足条件 ,且 ,则 _.AB()()PAB()PAp()B(2) 设相互独立的两个随机变量 、 具有同一分布律,且 的分布律为XYX01P122则随机变量 的分布律为_.max,ZXY十一、(本题满分 6分)已知随机变量 服从二维正态分布,且 和 分别服从正态分布 和( XY2(1,3)N, 与 的相关系数 ,设 ,2(04)NXY12XY32Z(1) 求 的数学期望 和方差 ；Z()EZ()D(2) 求 与 的相关系数 ；X(3) 问 与 是否相互独立？为什么？X|1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共 5个小题,每小题 3分,满分 15分.)(1)【答案】 16【解析】原式变形后为“ ”型的极限未定式,又分子分母在点 处导数都存在,所以连00续应用两次洛必达法则,有原式 20cos(in)limxx300sinlimcoslix. (由重要极限 )1136x 0silm1x(2)【答案】 24y【解析】所求平面的法向量 为平行于所给曲面在点 处法线方向的方向向量 ,n(1,2)l取 ,又平面过已知点 .nl(1,20)M已知平面的法向量 和过已知点 可唯一确定这个平面：ABC0(,)xyz.00()xC因点 在曲面 上.曲面方程 .(1,20),Fyz(,)23zFxyexy曲面在该点的法向量,(1,20)(1,20), ,4,10znyxexyz故切平面方程为 , 即 .2()(3)【答案】 2e【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求 ,再求 .uyuxy,2cosxe2111 2(2,)(2,) 2cosxy xxuuexyx |.222(1)cos0xxee(可边代值边计算,这样可以简化运算量.)【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数 都在点 具(,)(,)uxyv(,)xy有对 及对 的偏导数,函数 在对应点 具有连续偏导数,则复合函数xy(,)zfuv在点 的两个偏导数存在,且有()()zfxy；12zzuvffuxvx.12ffyyy(4)【答案】 421()Rab【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算：原式 .22222 30 0 0cosincosinR Rdrrddrab 注意： ,2200i则 原式 .42 211Rabab(5)【答案】 132n【解析】由矩阵乘法有结合律,注意 是一个数,1,23T而 ,(是一个三阶矩阵)12312,312TA|于是, ()()()nTTTTTA .112332nTn二、选择题(本题共 5个小题,每小题 3分,满分 15分.)(1)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为 0,故 ,且0M由定积分的性质,如果在区间 上,被积函数 ,则 .ab()0fx()0 ()bafxdab所以 , .420cosNxd420cosPdN因而 ,应选(D).P(2)【答案】(D)【解析】 在点 连续不能保证 在点 存在偏导数(,)fxy0(,)(,)fxy0(,)0(,)xf.反之, 在点 存在这两个偏导数 也不能保y(,)fxy0(,)0(,)xfy0(,)fx证 在点 连续,因此应选(D).()fx0二元函数 在点 处两个偏导数存在和在点 处连续并没有相关性.()fy0()x0(,)xy(3)【答案】(C)【解析】考查取绝对值后的级数.因,222(1)|11nnnaa(第一个不等式是由 得到的.)20,()bb又 收敛, 收敛,(此为 级数： 当 时收敛；当 时发散.)21na21np1pn1p|所以 收敛,由比较判别法,得 收敛.21na21()|na故原级数绝对收敛,因此选(C).(4)【答案】(D)【解析】因为 ,221cos(),1()xxeo:故 ,tan() 0ba,2l2) ()xcdec因此,原式左边 原式右边, .0imx4ac当 时,极限为 0；ac当 时,极限为 ,均与题设矛盾,应选(D).【相关知识点】1.无穷小的比较：设在同一个极限过程中, 为无穷小且存在极限 (),x()lim.xl（1） 若 称 在该极限过程中为同阶无穷小；0,l,（2） 若 称 在该极限过程中为等价无穷小,记为 ；()x()x:（3） 若 称在该极限过程中 是 的高阶无穷小,记为,l ()x.()()xo若 不存在(不为 ),称 不可比较.lim),()x2. 无穷小量的性质：当 时, 为无穷小,则0.()()()xxox:(5)【答案】(C)【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式.(A)：由于 ,所以(A)线性相关.123410(B)：由于 ,所以(B)线性相关.对于(C),实验几组数据不能得到 0时,应立即计算由 的系数构成的行列式,即|,1020由行列式不为 0,知道(C)线性无关.故应选(C).当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由,12341()()()()0知(D)线性相关,于是用排除法可确定选(C).【相关知识点】 线性相关的充分必要条件是存在某 可以由12,s (,2)is线性表出.1,iis 线性无关的充分必要条件是任意一个 均不能由2s (1,)is线性表出.11,iis 三、(本题共 3小题, 每小题 5分,满分 15分.)(1)【解析】 dytdyxtx 2221cosincos(0),tttt同理 ,2()1sinxtt代入参数值 ,2t则 , .2xty 21xty【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果 在点 可导,而 在点()ugx()yfx可导,则复合函数 在点 可导,且其导数为()ugx()yfx或 .ddyux2.对积分上限的函数的求导公式：若 , , 均一阶可导,则()tFf()t.()tftt|(2)【解析】 .11()ln()l()arctn42fxxxx先求 的展开式.将 微分后,可得简单的展开式,再积分即得原函数的幂级数f展开.所以由 2(1)(1)()(1) ,!nxxx (1)x该级数在端点 处的收敛性,视 而定.特别地,当 时,有23(),nx ()1x 1x得 2221()41fxxx ,44011(|)nn积分,由牛顿-莱布尼茨公式得 .414001()() (|)nxxnxfxfdt(3)【解析】方法 1：利用三角函数的二倍角公式 ,并利用换元积分,si2icos结合拆项法求积分,得 sin2i2sin(co1)dxdx2 21 cs i()2()xudux( )2sn1o2 2)(1()48(udduu1ln|l1|8()C,2lcoslncos1sxx其中 为任意常数.C方法 2：换元 后,有cosxu原式 .2 2sinin(s1)(co1)2()1dxddu|用待定系数法将被积函数分解: 2 21()1()ABDuuu,22()()()AB.012,4ABDABD于是, 21 2()ln1l8(181duuCu原 式 .lncoslncossxxC 四、(本题满分 6分)【解析】求第二类曲面积分的基本方法:套公式将第二类曲面积分化为第一类曲面积分,再化为二重积分,或用高斯公式转化为求相应的三重积分或简单的曲面积分.这里曲面块的个数不多,积分项也不多,某些积分取零值,如若 垂直 平面,则yOz.化为二重积分时要选择投影平面,注意利用对称性与奇偶性.0Pdyz先把积分化简后利用高斯公式也很方便的.方法 1：注意 ,(因为 关于 平面对称,被积函数关于 轴对称)20SzdxySxyz所以 .22SIxyz由上下底圆及圆柱面组成.分别记为 . 与平面 垂直123,S12,SyOz.122 20ssxdyzxdyz在 上将 代入被积表达式 .3S22xyR32sIRz在 平面上投影区域为 ,在 上, , 关3z:,yzD3S2xRy3S