2021-2022学年高二物理竞赛课件：运动学的两类问题习题.pptx

运动学的两类问题运动学的两类问题 运动学的两类问题运动学的两类问题(以直线运动为例以直线运动为例)一、已知质点运动方程，求质点在任一时刻一、已知质点运动方程，求质点在任一时刻位矢、速度、加速度位矢、速度、加速度 已知：已知：x=x(t)则则 v=dx/dt a=dv/dt =d2 x/dt2 已知质点加速度与时间关系，以及初始条件，已知质点加速度与时间关系，以及初始条件，求质点在任一时刻速度和位置。求质点在任一时刻速度和位置。已知：已知：a=a(t),初始条件：初始条件：t=0,x=xo,v=vo 。dv=adt vov dv=ot adt v-vo=ot adt v=vo+ot adt dx=vdt xox dx=ot vdt x-xo=ot vdt x=xo +ot vdt匀加速直线运动，匀加速直线运动，a 是常数是常数 v=vo+at，x=xo+vot+a t2/2 例例 已知：已知：a=kv （k 为常数），求任意为常数），求任意时刻速度和位置。时刻速度和位置。(第二类问题）第二类问题）解：解：(v=vo+ot adt=vo+ot-kv dt v?)a=dv/dt=kv dv/v=kdt vov dv/v=o t kdt ln(v/vo)=kt v=vo e-k t x=xo+ot voe-k t dt =xo+vo(1e-k t )/k 例例 已知：已知：a=k x （k 为常数），求任意位为常数），求任意位置与速度的关系。置与速度的关系。(第二类问题）第二类问题）解：解：(v=vo+ot adt=vo+ot kx dt v?)a=dv/dt a=dv/dt =(dv/dx)(dx/dt)=(dv/dx)(dx/dt)=vdv/dx =vdv/dx =kx =kx vdv=kxdx vov vdv=xo x kxdx (v2vo2)/2=k(x2xo2 )/2 例例 已知质点在已知质点在Oxy平面内的运动方程为平面内的运动方程为 r(t)=2t i +(2t2)j (SI)，求求:(1)质点的轨质点的轨迹方程；迹方程；(2)质点的速度和速率；质点的速度和速率；(3)质点在质点在直角坐标系和自然坐标系中的加速度；直角坐标系和自然坐标系中的加速度；(4)轨迹的曲率半径轨迹的曲率半径。(第一类问题）第一类问题）解解:(1)运动方程分量式运动方程分量式:x=2t,y=2t2 2 消去消去 t 得轨迹方程：得轨迹方程：y=2x 2/4 (轨迹为抛物线轨迹为抛物线 )(2)vx x=dx/dt=2 (m/s)vy =dy/dt=2t (m/s)v =(vx2+v+vy y2 2)1/2=2(1+t2 2)1/2 (m/s)(2)vx x=dx/dt=2 (m/s)vy =dy/dt=2t (m/s)v =(vx2+v+vy y2 2)1/2=2(1+t2 2)1/2 (m/s)v 为速度的大小为速度的大小,也也是速率的值。是速率的值。速度的速度的方向为方向为：tg=vx x/vy=-tvxvyv(3)在直角坐标中在自然坐标系中在直角坐标中在自然坐标系中:ax x=dvx/dt=0 (m/s2 2)ay y=dvy/d t=2 (m/s2 2)at t=dv/dt=d 2(1+t2 2)1/2/dt =2t/(1+t2 2)1/2 (m/s2 2)an n=(a2at t2 2)1/2=(ax x2 2+ay y2 2-at t2 2)1/2 =2/(1+t2 2)1/2 (m/s2 2)(4)=v 2/an n =2(1+t2)1/22.(1+t2 )1/2/2 =2(1+t2 )3/2 3/2 (m)例设河面宽例设河面宽 l=1 km，河水由北向南流动，流速，河水由北向南流动，流速 v=2 m/s，一人相对河以，一人相对河以 u=1.5 m/s 的速率将船从西的速率将船从西岸划向东岸，问：岸划向东岸，问：(1)若要使船到达对岸的时间最若要使船到达对岸的时间最短，船头与河岸应成多少角度短，船头与河岸应成多少角度?最短时间等于多最短时间等于多少少?到达对岸时，船在下游何处到达对岸时，船在下游何处?(2)若要使船相对若要使船相对于岸走过的路程最短，船头应与岸成多大角度于岸走过的路程最短，船头应与岸成多大角度?到到达对岸时，船在下游何处达对岸时，船在下游何处?要化多少时间要化多少时间?解：设河岸为解：设河岸为 S 系，河水为系，河水为 S系，系，u表示船相对河水速度，表示船相对河水速度，v 表示河水相对河岸的速度。船表示河水相对河岸的速度。船相对于河岸的速度为相对于河岸的速度为:u=u+vuvudl船船(1)(1)如图可知，当船头与河岸的夹角如图可知，当船头与河岸的夹角 =/2=/2 时，时间最短，故船到达对岸所时，时间最短，故船到达对岸所需的最短时间为需的最短时间为 t tminmin=l/u=l/u =1000 =1000 1.51.5 =667 s =667 s下游位置下游位置:d=vt d=vtminmin =2 =2 667667 =1334 m =1334 muvudl船船(2)船相对于河岸的速度船相对于河岸的速度 u 与河岸与河岸 之间的夹之间的夹角角越接近于越接近于/2，船相对于岸走过的路程就，船相对于岸走过的路程就越短。以矢量越短。以矢量 v 的终点为圆心，以矢量的终点为圆心，以矢量 u 的的大小大小 u 为半径作圆。显然当为半径作圆。显然当 u 沿该圆的切线沿该圆的切线时时,角度角度最大最大,(现在现在/2,越大越好越大越好)，而船走过而船走过的路程最短。从图可看出：的路程最短。从图可看出：sin=u/v =1.5/2=0.75 即即 =4830因而船头与河岸的夹角：因而船头与河岸的夹角：=90-4830=4130uvuld船船 到达对岸所化的时间：到达对岸所化的时间：t=l/usin =1000(1.5 0.6626)=1006 秒秒 =16 分分 46 秒秒下游距离：下游距离：d=(v-ucos)t =(2-1.5 0.7490)1006 =882 米米uvuld船船