2016届高三数学一轮复习知识点归纳与总结等比数列及其前n项和.docx

eq avs4al(第三节等比数列及其前n项与) 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解等比数列的概念2.掌握等比数列的通项公式及前n项及公式3.能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题4.了解等比数列及指数函数的关系.1.以客观题的形式考查等比数列的性质及其基本量的计算，如2012年新课标全国T5，浙江T13等2.以解答题的形式考查等比数列的定义、通项公式、前n项及公式及性质的综合应用，如2012年湖北T18等.归纳·知识整合1等比数列的相关概念相关名词等比数列an的有关概念及公式定义q(q是常数且q0，nN*)或q(q是常数且q0，nN*且n2)通项公式ana1qn1am·qnm前n项及公式Sn等比中项设a，b为任意两个同号的实数，则a，b的等比中项G±探究1.b2ac是a，b，c成等比数列的什么条件？提示：b2ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，因为当b0时，a，c至少有一个为零时，b2ac成立，但a，b，c不成等比数列；若a，b，c成等比数列，则必有b2ac.2如何理解等比数列an及指数函数的关系？提示：等比数列an的通项公式ana1qn1可改写为an·qn.当q>0，且q1时，yqx是一个指数函数，而y·qx是一个不为0的常数及指数函数的积，因此等比数列an的图象是函数y·qx的图象上的一群孤立的点2等比数列的性质(1)对任意的正整数m，n，p，q，若mnpq则am·anap·aq.特别地，若mn2p，则am·ana.(2)若等比数列前n项及为Sn则Sm，S2mSm，S3mS2m仍成等比数列，即(S2mSm)2Sm(S3mS2m)(mN*，公比q1)(3)数列an是等比数列，则数列pan(p0，p是常数)也是等比数列(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.自测·牛刀小试1在等比数列an中，如果公比q<1，那么等比数列an是()A递增数列B递减数列C常数列 D无法确定数列的增减性解析：选D当a1>0,0<q<1，数列an为递减数列，当q<0，数列an为摆动数列2(教材习题改编)等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()A12 B10C8 D2log35解析：选B数列an为等比数列，a5a6a4a79，log3a1log3a2log3a10log3(a1·a2··a10)log3(a5a6)55log3a5a65log3910.3(教材习题改编)在等比数列an中，若a5a115，a4a26，则a3_.解析：q210，.2q25q20，解得q或q2.当q2时，a11，a3a1q24.当q时，a116，a3a1q24.答案：4或44在等比数列an中，an>0，a2a42a3a5a4a625，则a3a5的值为_解析：由等比数列性质，已知转化为a2a3a5a25，即(a3a5)225，又an>0，故a3a55.答案：55在1及4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别是_解析：设等比数列的公比为q，则4q4.即q±.当q时，插入的三个数是，2,2.当q时，插入的三个数是，2，2.答案：，2,2或，2，2等比数列的基本运算例1(1)(2012·新课标全国卷)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10()A7B5C5D7(2)(2012·辽宁高考)已知等比数列an为递增数列，且aa10,2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_.(3)(2012·浙江高考)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项及为Sn.若S23a22，S43a42，则q_.自主解答(1)设数列an的公比为q，由得或所以或所以或所以a1a107.(2)2(anan2)5an1，2an2an·q25an·q，即2q25q20，解得q2或q(舍去)又aa10a5·q5，a5q52532.32a1·q4，解得a12.an2×2n12n，故an2n.(3)由S23a22，S43a42作差可得a3a43a43a2，即2a4a33a20，所以2q2q30，解得q或q1(舍去)答案(1)D(2)2n(3)等比数列运算的通法及等差数列一样，求等比数列的基本量也常运用方程的思想及方法从方程的观点看等比数列的通项公式ana1·qn1(a1q0)及前n项及公式Sn中共有五个变量，已知其中的三个变量，可以通过构造方程或方程组求另外两个变量，在求公比q时，要注意应用q0验证求得的结果1(1)(2013·海淀模拟)在等数列an中，a18，a4a3a5，则a7()A. B.C. D.(2)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项及已知a2a41，S37，则S5()A. B.C. D.解析：(1)选B在等比数列an中，aa3a5，又a4a3a5，所以a41，故q，所以a7.(2)选B显然公比q1，由题意得解得或(舍去)故S5.等比数列的判定及证明例2设数列an的前n项及为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明数列bn是等比数列；(2)在(1)的条件下证明是等差数列，并求an.自主解答(1)证明：由a11，及Sn14an2，有a1a24a12，a23a125，b1a22a13.由Sn14an2，知当n2时，有Sn4an12，得an14an4an1，an12an2(an2an1)又bnan12an，bn2bn1.bn是首项b13，公比q2的等比数列(2)由(1)可得bnan12an3×2n1，.数列是首项为，公差为的等差数列(n1)n.an(3n1)×2n2.等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列(2)等比中项公式法：若数列an中，an0且aan·an2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成anc·qn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列(4)前n项及公式法：若数列an的前n项及Snk·qnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.2成等差数列的三个正数的及等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前n项及为Sn，求证：数列是等比数列解：(1)设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad.依题意，得adaad15，解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次为7d,10,18d.依题意，有(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)故bn的第3项为5，公比为2.由b3b1·22，即5b1×22，解得b1.所以bn是以为首项，以2为公比的等比数列，其通项公式为bn×2n15×2n3.(2)证明：由(1)得数列bn的前n项及Sn5×2n2，即Sn5×2n2.所以S1，2.因此是以为首项，以2为公比的等比数列.等比数列的性质及应用例3(1)在等比数列an中，若a1·a2·a3·a41，a13·a14·a15·a168，则a41·a42·a43·a44_.(2)已知数列an为等比数列，Sn为其前n项及，nN*，若a1a2a33，a4a5a66，则S12_.自主解答(1)法一：a1·a2·a3·a4a1·a1q·a1q2·a1q3a·q61，a13·a14·a15·a16a1q12·a1q13·a1q14·a1q15a·q548，由÷，得q488q162，又a41·a42·a43·a44a1q40·a1q41·a1q42·a1q43a·q166a·q6·q160(a·q6)·(q16)101·2101 024.法二：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为q，T1a1·a2·a3·a41，T4a13·a14·a168，T4T1·q31·q38，即q2.T11a41·a42·a43·a44T1·q102101 024.(2)法一：设等比数列an的公比为q，则q3，即q32.故S12(a1a2a3)(a4a5a6)(a7a8a9)(a10a11a12)(a1a2a3)(a1·q3a2·q3a3·q3)(a1·q6a2·q6a3·q6)(a1·q9a2·q9a3·q9)(a1a2a3)(a1a2a3)q3(a1a2a3)q6(a1a2a3)q9(a1a2a3)(1q3q6q9)3×(122223)45.法二：设等比数列an的公比为q，则q3，即q32.因为S6a1a2a3a4a5a69，S12S6a7a8a9a10a11a12，所以q64.所以S125S645.答案(1)1 024(2)45等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：通项公式的变形，等比中项的变形，前n项及公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口3已知等比数列前n项的及为2，其后2n项的及为12，求再后面3n项的及解：Sn2，其后2n项为S3nSnS3n212，S3n14.由等比数列的性质知Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，即(S2n2)22·(14S2n)解得S2n4，或S2n6.当S2n4时，Sn，S2nSn，S3nS2n，是首项为2，公比为3的等比数列，则S6nSn(S2nSn)(S6nS5n)364，再后3n项的及为S6nS3n36414378.当S2n6时，同理可得再后3n项的及为S6nS3n12614112.故所求的及为378或112.3个防范应用等比数列的公比应注意的问题(1)注意q1时，Snna，这一特殊情况(2)由an1qan(q0)，并不能断言an为等比数列，还要验证a10.(3)在应用等比数列的前n项及公式时，必须注意对q1及q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情况而导致错误4个思想求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n项及的公式中联系着五个量：a1，q，n，an，Sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1及q，在解题中根据已知条件建立关于a1及q的方程或者方程组，是解题的关键(2)整体思想：当公比q1时，Sn·(1qn)，令t，则Snt(1qn)把及qn当成一个整体求解，也可简化运算(3)分类讨论思想：在应用等比数列前n项及公式时，必须分类求及，当q1时，Snna1；当q1时，Sn；在判断等比数列单调性时，也必须对a1及q分类讨论(4)函数思想：在等比数列an中，an·qn，它的各项是函数y·qx图象上的一群孤立的点，可以根据指数函数的一些性质研究等比数列问题(如单调性)，注意函数思想在等比数列问题中的应用. 创新交汇以等比数列为背景的新定义问题1在新情境下先定义一个新数列，然后根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来新兴起的一类问题，同时，数列也常及函数、不等式等形成交汇命题2对于此类新定义问题，我们要弄清其本质，然后根据所学的数列的性质即可快速解决典例(2012·湖北高考)定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”，现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()ABC D解析法一：设an的公比为q.f(an)a，2q2，f(an)是等比数列排除B、D.f(an)，f(an)是等比数列法二：不妨令an2n.因为f(x)x2，所以f(an)4n.显然f(2n)是首项为4，公比为4的等比数列因为f(x)2x，所以f(a1)f(2)22，f(a2)f(4)24，f(a3)f(8)28，所以416，所以f(an)不是等比数列因为f(x)，所以f(an)()n.显然f(an)是首项为，公比为的等比数列因为f(x)ln|x|，所以f(an)ln 2nnln 2.显然f(an)是首项为ln 2，公差为ln 2的等差数列答案C1本题具有以下创新点(1)命题背景新颖：本题是以“保等比数列函数”为新定义背景，考查等比数列的有关性质(2)考查内容创新：本题没有直接指明判断等比数列的有关性质，而是通过新定义将指数函数、对数函数及幂函数、二次函数及数列有机结合，对学生灵活处理问题的能力有较高要求2解决本题的关键有以下两点(1)迅速脱掉“新定义”的外衣，认清本题的实质是：已知数列an为正项等比数列，判断数列a，2an，及ln|an|是否为等比数列问题(2)灵活运用排除法或特殊值法也是正确解决本题的关键1已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根组成以为首项的等比数列，则()A. B.或C. D以上都不对解析：选B设a，b，c，d是方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根，不妨设a<c<d<b，则a·bc·d2，a，故b4，根据等比数列的性质，得到c1，d2，则mab，ncd3，或mcd3，nab，则或.2设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，yR，都有f(x)·f(y)f(xy)，若a1，anf(n)(nN*)，则数列an的前n项及Sn的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D由已知可得a1f(1)，a2f(2)f(1)22，a3f(3)f(2)·f(1)f(1)33，anf(n)f(1)nn，Sn23n1n.nN*，Sn<1.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1已知等比数列an的前三项依次为a1，a1，a4，则an()A4×nB4×nC4×n1 D4×n1解析：选C(a1)2(a1)(a4)a5，a14，q，故an4·n1.2(2012·安徽高考)公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则log2a10()A4 B5C6 D7解析：选B由题意可知a3a11a16，因为an为正项等比数列，所以a74.所以log2a10log2(a7×23)log2255.3各项都为正数的等比数列an中，首项a13，前三项及为21，则a3a4a5()A33 B72C84 D189解析：选Ca1a2a321，a1a1·qa1·q221,33×q3×q221，1qq27，解得q2或q3.an>0，q2，a3a4a521×q221×484.4(2013·西安模拟)已知a，b，m，n，x，y均为正数，且ab，若a，m，b，x成等差数列，a，n，b，y成等比数列，则有()Am>n，x>y Bm>n，x<yCm<n，x<y Dm<n，x>y解析：选Bm，n(ab)，m>n.又2bmx，由b2ny，得b，即2mx2，即nymx，>1.y>x.5已知等比数列an中，a12，a518，则a2a3a4等于()A36 B216C±36 D±216解析：选B由等比数列的性质得aa1·a52×1836，又a3a1q22q2>0，故a36.所以a2a3a4a216.6已知数列an的前n项及为Sn，a11，Sn2an1，则()A2n1 B.n1C.n1 D.解析：选B利用等比数列知识求解Sn2an1，当n2时，Sn12an.anSnSn12an12an.3an2an1.又S12a2，a2.an从第二项起是以为公比的等比数列Sna1a2a3an1n1再利用Sn2an1，.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7等比数列an的前n项及为Sn，若S33S20，则公比q_.解析：S33S20，即a1a2a33(a1a2)0，a1(44qq2)0.a10，q2.答案：28若数列an(anR)对任意的正整数m，n满足amnaman，且a32，那么a12_.解析：令m1，则an1ana1a1q，a3a1q22q32，a12q1264.答案：649(2013·聊城模拟)已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，bR，满足f(a·b)af(b)bf(a)，f(2)2，an(nN*)，bn(nN*)，考察下列结论f(0)f(1)；f(x)为偶函数；数列an为等比数列；bn为等差数列其中正确的是_解析：令a0，b0，则f(0)0，令ab1，则f(1)2f(1)，故f(0)f(1)0；设a1，bx，因为f(1)f(1)×(1)2f(1)，则f(1)0，所以f(x)f(x)xf(1)f(x)，f(x)为奇函数；f(2n)2f(2n1)2n1f(2)2f(2n1)2n1，则bn为等差数列；b11，bn1(n1)×1n.n，an2n，则数列an为等比数列答案：三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10数列an中，Sn1kan(k0，k1)(1)证明：数列an为等比数列；(2)求通项an；(3)当k1时，求及aaa.解：(1)Sn1kan，Sn11kan1，得SnSn1kankan1(n2)，(k1)ankan1，为常数，n2.an是公比为的等比数列(2)S1a11ka1，a1.an·n1.(3)an中a1，q，a是首项为2，公比为2的等比数列当k1时，等比数列a的首项为，公比为，aaa.11设数列an是一等差数列，数列bn的前n项及为Sn(bn1)，若a2b1，a5b2.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列bn的前n项及Sn.解：(1)S1(b11)b1，b12.又S2(b21)b1b22b2，b24.a22，a54.an为等差数列，公差d2，即an2(n2)·22n6.(2)Sn1(bn11)，Sn(bn1)，得Sn1Sn(bn1bn)bn1，bn12bn.数列bn是等比数列，公比q2，首项b12，bn(2)n.Sn(2)n112已知等差数列an的首项a11，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列bn的第2项、第3项、第4项(1)求数列an及bn的通项公式；(2)设数列cn对nN*均有an1成立，求c1c2c3c2 013.解：(1)由已知得a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)，解得d2或d0(舍去)an1(n1)·22n1(nN*)又b2a23，b3a59，数列bn的公比为3.bn3·3n23n1(nN*)(2)由an1得当n2时，an.两式相减得，n2时，an1an2.cn2bn2·3n1(n2)又当n1时，a2，c13.cnc1c2c3c2 01333(332 013)32 013.1已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6()A5 B7C6 D4解析：选A法一：由等比中项的性质知a1a2a3(a1a3)·a2a5，a7a8a9(a7a9)·a8a10，所以a2a850，所以a4a5a6(a4a6)·a5a()3(50)35.法二：由等比数列的性质知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，所以(a1a2a3)(a7a8a9)(a4a5a6)2，即a4a5a6±±5，又数列各项均为正数，所以a4a5a65.2设等比数列an的前n项及为Sn，若S6S312，则S9S3等于()A12 B23C34 D13解析：选C由等比数列的性质：S3、S6S3、S9S6仍成等比数列，于是(S6S3)2S3·(S9S6)，将S6S3代入得.3设正项等比数列an的前n项及为Sn，已知a34，a4a5a6212.(1)求首项a1及公比q的值；(2)若Sn2101，求n的值解：(1)a4a5a6a212a516，q24q2，a1q2a3，解得a11.(2)由Sn2101，得Sn2n1，2n121012n210，即n10.4已知数列an满足a11，a22，an2，nN*.(1)令bnan1an，证明bn是等比数列；(2)求an的通项公式解：(1)b1a2a11，当n2时，bnan1anan(anan1)bn1，所以bn是以1为首项，以为公比的等比数列(2)由(1)知bnan1ann1，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11n211n1，又a11也符合上式，所以an的通项公式为ann1(nN*)第 13 页