初中数学奥林匹克竞赛模拟试卷(八年级).docx
全国初中数学奥林匹克竞赛试卷（八年级）一、选择题（本大题共6小题，每个小题7分，满分42分），每小题均给出四个选项，其中有且仅有一个正确的选项，请将正确的选项的代号填在下表指定的位置题号123456得分正确选项1、已知三点A（2,3),B(5，4)，C（-4，1）依次连接这三点，则A、构成等边三角形 B、构成直角三角形C、构成锐角三角形 D、三点在同一直线上解：AB的解析式为y=x+当x= -4时，y=1，即点C在直线AB上，选D2、边长为整数，周长为20的三角形个数是（ ）A、4个 B、6个 C、8个 D、12解 设三进行三边为a、b、c且abc，a+b+c=20，a7，又b+ca，2a20a10，又7a9，可列出（a、b、c）有：（9，9，2）（9，8，3）（9，7，4）（9，6，5）（8，8，4）（8，7，5）（8，6，6）（7，7，6）共八组，选C3、N=31001+71002+131003，则N的个位数字是（ ）A、3 B、6 C、9 D、0解 31001的个位数字为3，71002的个位数字为9，131003的个位数字为7，N的各位数字为9，选C4、P为正方形ABCD内一点，若PA:PB:PC=1：2：3，则APB的度数为（ ）A、120° B、135° C、150° D、以上都不对解：过P作BPBP，且使BP=BP，连PA易得PABPBC,则PA=PC,设PA=k，则PB=2k，PC=PA=3k，连PP,则RtPBP中，PPB=45°且PP=2k，在PAP中有：PA2=PP2+PA2,PPA=90°，APB=135° 选B5、在函数y= -（a为常数）的图象上有三点：（-1，y1）（-，y2）（，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（ ）A、y1y2y3 B、y3y2y1 C、y3y1y2 D、y2y1y3-（a2+1）0，在每个象限，y随x的增大而增大，因此y1y2又（-1，y1）在第二象限，而（，y3）在第四象限，y3y1 选C6、已知a+b+c0，且=p，则直线y=px+p不经过（ ）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限解 因此，直线y=px+p不可能通过第四象限，选D二、填空题（本大题有4小题，每小题7分，满分28分）请将正确答案填在下表的指定位置题号78910得分正确答案7、如果a是方程x2-3x+1=0的根，那么分式的值是 ；解 根据题意a2-3a+1=0，原式= =-=-1，填-18、甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录仪表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1.01米，经过计算，这条跑道长度不标准，这这条跑道比100米多 ；解 设跑道实际长为x米，甲、乙两位机器人的速度分别为v甲，v乙，甲距离终点1米时说花的时间为t，v乙·t=x-2，于是= 又设甲到达终点时所花的时间为t则v甲·t=x，v乙·t=x-1.01于是=，因此可得方程=，解得x=101米，因此，这条跑道比100米多1米，填19、根据图中所标的数据，图中的阴影部分的面积是 ；解 有对称性可知5个三角形中的面积为S0=S0, S1=S1,且=即2S0=3S1,又2S0+S1=即3S1+ S1=, S1=S0=又S2+S1=2,S2=5-S1= 填10、有三个含有30°角的直角三角形，它们的大小互不相同，但彼此有一条边相等，这三个三角形按照从大到小的顺序，其斜边的比为 ；解 设三角形甲的勾=三角形乙的股=三角形丙的弦，则三者的弦分别为2，1即所求比为2：1，填2：1三、解答题（本大题共有3小题，第11小题20分，第12、13小题各25分，满分70分）11、已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：CMN是等边三角形证明：ACDBCEAD=BE,AM=BN 6分又AMCBNC CM=CN,ACM=BCN 12分又NCM=BCN-BCMACB=ACM-BCMNCM=ACB=60°CMN是等边三角形 20分12、已知n是大于1的整数求证：n3可以写出两个正整数的平方差证明：n3=（）2·4n 8分 =（）2(n+1)2-（n-1）2 15分 =(n+1)2-(n-1)2 20分n（n+1），n（n-1）不仅大于1，而且均能被2整除(n+1)，(n-1)均为正整数因此，命题得证 25分13、已知正整数x、y满足条件：+=a，（其中，a是正整数，且xy）求x和y解 x1，y2，+2+，即a2因此a=1或a=2当a=1是，+=1，若x=1，则=-1，及y是正整数矛盾，x1， 若x=2，则=0，及y是正整数矛盾，x2若x3，则+1，及+=1矛盾，x3综上所述，a1当a=2时有+=2，若x=1，则=0，及y是正整数矛盾，x1 若x3，则+，及+=2矛盾，x3因此1x3，x=2，y=1第 4 页
