2021-2022学年高二物理竞赛课件：一维无限深方势阱.pptx

一维无限深方势阱一维无限深方势阱 设设质质量量为为m的的粒粒子子,只只能能在在0 xa的的区区域域内内自自由由运运动动,粒子在这种外力场中的势能函数为粒子在这种外力场中的势能函数为 0 oaxU(x)图17-3在阱外在阱外,粒子出现的概率为零粒子出现的概率为零,故故(x)=o若势能若势能U不显含时间不显含时间t,则则并注意到并注意到得得将上式两端除以将上式两端除以=E其解其解上式称为上式称为定态薛定谔方程定态薛定谔方程。概率密度：概率密度：概率密度不随时间而改变概率密度不随时间而改变,是一种稳定状态是一种稳定状态,即为即为定态定态。波函数：波函数：另一方程另一方程:(17-32)在阱内在阱内,定态薛定谔方程为定态薛定谔方程为 0 oaxU(x)图17-3令令有有 它的通解是：它的通解是：(x)=Acoskx+Bsinkx式中式中A，B是由边界条件决定的常数。是由边界条件决定的常数。oaxU(x)图17-3(x)=Acoskx+Bsinkx 由由于于(x)在在x=0处处必必须须连连续续,所所以有以有 (0)=A=0故波函数：故波函数：(x)=Bsinkx 又又由由于于(x)在在x=a处处也也必必须须连连续续,所以又有所以又有 (a)=Bsinka=0故故 ka=n 于是于是(n=1,2,)(n=0,(x)=0;而而n为负数与正数表达同样的概率为负数与正数表达同样的概率,所以所以n=1,2,.)1.能量是量子化的。能量是量子化的。(n=1,2,)于是于是(n=1,2,)(17-42)可见，粒子的能量只能取不连续的值，这叫做可见，粒子的能量只能取不连续的值，这叫做能能量量子化量量子化。整数。整数n叫做量子数。叫做量子数。当当n=1是粒子的基态能级。注意是粒子的基态能级。注意,这与经典理论所得结果是这与经典理论所得结果是不同的。因为根据经典理论不同的。因为根据经典理论,粒子的最低能量应该为粒子的最低能量应该为零。零。E1又称为零点能。又称为零点能。2.粒子在势阱内的概率分布粒子在势阱内的概率分布波函数：波函数：(x)=Bsinkx，由归一化条件由归一化条件得得于是归一化于是归一化波函数为波函数为(17-41)根根据据经经典典的的概概念念,在在势势阱阱内内各各处处,粒粒子子出出现现的的概概率率是是相同的。相同的。量子力学给出粒子出现在势阱内各点的概率量子力学给出粒子出现在势阱内各点的概率密度为密度为(n=1,2,)E1E2E3ox图17-4a 这一概率密度是随这一概率密度是随x改改变的变的,粒子在有的地方出现概粒子在有的地方出现概率大率大,在有的地方出现的概率在有的地方出现的概率小小,而且概率分布还和量子数而且概率分布还和量子数n有关。有关。例题例题 设质量设质量m的微观粒子在宽度为的微观粒子在宽度为a的一维无限深方的一维无限深方势阱中运动，其波函数为势阱中运动，其波函数为 求：求：(1)粒子的能量和动量；粒子的能量和动量；(2)概率密度最大的位概率密度最大的位置。置。解解 (1)量子数量子数n=3,粒子的能量粒子的能量:又又(2)概率密度最大的位置。概率密度最大的位置。粒子出现在势阱内各点的概率密度为粒子出现在势阱内各点的概率密度为有极大值的充要条件是有极大值的充要条件是解得解得E1E2E3ox图17-4a波函数波函数 应满足的条件：单值、连续、有限、应满足的条件：单值、连续、有限、归一化。归一化。由由于于U(r)呈呈球球对对称称,显显然然取取球球坐坐标标较较方方便便。取取原原子子核为坐标原点，其定态薛定谔方程为核为坐标原点，其定态薛定谔方程为 (r,)是球坐标中的波函数是球坐标中的波函数,可以分离变量：可以分离变量：(r,)=R(r)()()(17-47)在在E0(束缚态束缚态)的情况下求解上述方程，可得如下的情况下求解上述方程，可得如下结论：结论：1.能量量子化能量量子化 为使波函数满足标准条件，电子为使波函数满足标准条件，电子(或说是整个原子或说是整个原子)的能量只能是的能量只能是(主量子数主量子数:n=1,2,)(17-48)这和玻尔理论的结果一致。这和玻尔理论的结果一致。