2021-2022学年高二物理竞赛课件：薛定谔方程(共14张PPT).pptx

薛定谔方程薛定谔方程 第第2727章章 薛定谔薛定谔 Erwin Schrodinger奥地利人奥地利人 1887-1961 创立量子力学创立量子力学获获1933年诺贝尔物理学奖年诺贝尔物理学奖目目 录录 1 1 薛定谔方程薛定谔方程 2 2 无限深方势阱中的粒子无限深方势阱中的粒子 4 4 一维谐振子一维谐振子 3 3 量子隧穿效应量子隧穿效应有了德布洛意提出的物质波，有了德布洛意提出的物质波，就应有一个就应有一个与之对应波动方程。薛定谔对此提出了一个与之对应波动方程。薛定谔对此提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛薛定谔方程定谔方程。1 薛定谔方程薛定谔方程 1926年年，在在一一次次学学术术讨讨论论会会上上，当当年年轻轻的的薛薛定定谔谔介介绍绍完完德德布布罗罗意意关关于于粒粒子子波波动动性性假假说说的的论论文文后后，物物理理学学家家德德拜拜（P.Debey）评评论论说说：认认真真地地讨讨论论波波动动，必必须须有波动方程。有波动方程。几几个个星星期期后后，薛薛定定谔谔又又作作了了一一次次报报告告。开开头头就就兴兴奋奋地地说说：“你你们们要要的的波波动动方方程程，我我找找到到了了！”这这个个方方程，就是著名的薛定谔方程。程，就是著名的薛定谔方程。薛薛定定谔谔方方程程是是量量子子力力学学的的基基本本动动力力学学方方程程，它它在在量量子子力力学学中中的的作作用用和和牛牛顿顿方方程程在在经经典典力力学学中中的的作作用用是是一样的。一样的。同同牛牛顿顿方方程程一一样样，薛薛定定谔谔方方程程也也不不能能由由其其它它的的基基本本原原理理推推导导得得到到，而而只只能能是是一一个个基基本本的的假假设设，其其正正确确性也只能靠实验来检验。性也只能靠实验来检验。由自由粒子波函数由自由粒子波函数微分，得微分，得由由非相对论非相对论粒子能量动量关系式，如自由粒子粒子能量动量关系式，如自由粒子这就是这就是一维自由粒子一维自由粒子(无势场无势场)的薛定谔方程的薛定谔方程。得得一、自由粒子的薛定谔方程一、自由粒子的薛定谔方程？推广到推广到粒子在势场粒子在势场U(x,t)中运动中运动二、在势场二、在势场中中运动运动粒子的薛定谔方程粒子的薛定谔方程 在在一维势场一维势场 U(x,t)中的粒子中的粒子替换原来的替换原来的 E E 后得到后得到 推广到推广到三维三维：一般的薛定谔方程：一般的薛定谔方程：由自由粒子波函数由自由粒子波函数微分，得微分，得由由非相对论非相对论粒子能量动量关系式，如自由粒子粒子能量动量关系式，如自由粒子这就是这就是一维自由粒子一维自由粒子(无势场无势场)的薛定谔方程的薛定谔方程。得得一、自由粒子的薛定谔方程一、自由粒子的薛定谔方程？推广到推广到粒子在势场粒子在势场U(x,t)中运动中运动用用分离变量法分离变量法：将波函数写成将波函数写成 即即 时，时，当当势能与时间无关，势能与时间无关，三、定态薛定谔方程三、定态薛定谔方程代入薛定谔方程可得：代入薛定谔方程可得：该方程该方程不含时间，不含时间，称为称为定态薛定谔方程。定态薛定谔方程。定态波函数定态波函数振动因子振动因子数学上：数学上：E 不论取何值，方程都有解。不论取何值，方程都有解。物物理理上上：E只只有有取取一一些些特特定定值值,才才能能使使方方程程的的解解满足波函数的物理条件（单值、有限、连续）。满足波函数的物理条件（单值、有限、连续）。这些这些特定的特定的E E值值称为称为能量本征值能量本征值各各E值对应的值对应的 叫叫能量本征函数能量本征函数 本征波函数本征波函数故该方程又称为：故该方程又称为：能量本征值方程能量本征值方程定态波函数定态波函数:波函数的物理条件波函数的物理条件用来描写实物粒子的波函数应满足的物理条件用来描写实物粒子的波函数应满足的物理条件1.1.标准条件：标准条件：单值、有限、连续单值、有限、连续因为，粒子的概率在任何地方只能有因为，粒子的概率在任何地方只能有一个值一个值；不不可能可能无限大无限大；不不可能在某处可能在某处发生突变发生突变。2.2.归一化条件归一化条件 粒子在空间各点的概率总和应为粒子在空间各点的概率总和应为l*在在量子力学量子力学中用中用 薛定谔方程式薛定谔方程式加上加上波函数的物理条件波函数的物理条件求解微观粒子在一定的势场中的运动问题求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求求波函数，状态能量，概率密度波函数，状态能量，概率密度 等等)1.由粒子运动的实际情况由粒子运动的实际情况 正确地写出势函数正确地写出势函数 U(x)2.代入定态薛定谔方程代入定态薛定谔方程3.解方程解方程4.解出能量本征值和相应的本征函数解出能量本征值和相应的本征函数5.求出概率密度分布及其他力学量求出概率密度分布及其他力学量量子力学解题的一般思路：量子力学解题的一般思路：方势阱方势阱是实际情况的极端化和简化是实际情况的极端化和简化例：金属内部自由电例：金属内部自由电子的运动。子的运动。0 xU(x)=0U=a势函数势函数U=一、一维无限深方形势阱一、一维无限深方形势阱 2 无限深方势阱中的粒子无限深方势阱中的粒子粒子在粒子在0 x a范围内自由运动，但不能到达范围内自由运动，但不能到达x 0或或x a范围。范围。1.定态薛定谔方程定态薛定谔方程 阱外阱外：阱内阱内：根据波函数根据波函数有限有限阱外阱外:2.求通解求通解二、薛定谔方程和波函数二、薛定谔方程和波函数令令阱内阱内:则：则：其通解为其通解为3.由波函数的标准化条件定特解由波函数的标准化条件定特解(1)解的形式成为解的形式成为通解为通解为处应处应已有已有A=0，要求要求，只能只能 sinka 等于零等于零即即(2)又又单值单值、有限、有限条件已满足条件已满足；由；由连续连续条件定特解：条件定特解：1)粒子能量只能取特定的分立值粒子能量只能取特定的分立值(能级能级)能量量子化能量量子化 2)最低能量不为零最低能量不为零 波粒二象性波粒二象性的必然结果的必然结果讨论讨论零点能零点能3)当当n趋于无穷时趋于无穷时 能量趋于连续能量趋于连续