错位相减法求和附答案解析00839.docx
错位相减法求和专项错位相减法求和适用于anbn 型数列，其中an,bn分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：项的对应需正确；相减后应用等比数列求和局部的项数为n-1项；假设等比数列局部的公比为常数，要讨论是否为11. 二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上求数列的通项公式；设，是数列的前项和，求解析考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般答案 由于二次函数的图象经过坐标原点，那么设，又点均在函数的图象上，当时，又，适合上式，7分由知，上面两式相减得：整理得14分2.数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且 1求数列的通项公式； 2的值.答案查看解析解析 1当n = 1时，解出a1 = 3,又4Sn = an2 + 2an3 当时 4sn1 = + 2an-13 , 即，是以3为首项，2为公差的等差数列， 6分 2又 12分3.2021年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分设函数，数列前项和，数列，满足.求数列的通项公式；设数列的前项和为，数列的前项和为，证明： .答案 () 由，得是以为公比的等比数列，故.由，得记+，用错位相减法可求得：. 注：此题用到了不等式：进展放大. 4.等差数列中，；是及的等比中项求数列的通项公式：假设求数列的前项和解析因为数列是等差数列，是及的等比中项所以，又因为，设公差为，那么，所以，解得或，当时, ，；当时，.所以或. 6分)因为，所以，所以，所以，所以两式相减得，所以. 13分5.数列的前项和，等差数列中，且公差.求数列、的通项公式；是否存在正整数，使得 假设存在，求出的最小值，假设不存在，说明理由.解析时，相减得：，又，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.又，. 6分令得：，即，当，当。的最小正整数为4. 12分6. 数列满足，等比数列满足.求数列，的通项公式；设，求数列的前项和.解析 由，所以数列是等差数列，又，所以，由，所以，所以，即，所以. 6分) 因为，所以，那么，所以，两式相减的，所以. (12分7. 数列满足，其中为数列的前项和() 求的通项公式；() 假设数列满足： () ，求的前项和公式.解析) ，得，又时，. 5分两式相减得，. 13分8.设d为非零实数, an=d+2d2+(n-1) dn-1+ndn(nN*) . () 写出a1, a2, a3并判断an是否为等比数列. 假设是, 给出证明;假设不是, 说明理由;() 设bn=ndan(nN*) , 求数列bn的前n项和Sn. 答案 () 由可得a1=d, a2=d(1+d) , a3=d(1+d) 2. 当n2, k1时, =, 因此an=. 由此可见, 当d-1时, an是以d为首项, d+1为公比的等比数列;当d=-1时, a1=-1, an=0(n2) , 此时an不是等比数列. (7分) () 由() 可知, an=d(d+1) n-1, 从而bn=nd2(d+1) n-1, Sn=d21+2(d+1) +3(d+1) 2+(n-1) (d+1) n-2+n(d+1) n-1. 当d=-1时, Sn=d2=1. 当d-1时, 式两边同乘d+1得(d+1) Sn=d2(d+1) +2(d+1) 2+(n-1) (d+1) n-1+n(d+1) n. , 式相减可得-dSn=d21+(d+1) +(d+1) 2+(d+1) n-1-n(d+1) n=d2. 化简即得Sn=(d+1) n(nd-1) +1. 综上, Sn=(d+1) n(nd-1) +1. (12分) 9. 数列an满足a1=0, a2=2, 且对任意m, nN*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n) 2. () 求a3, a5;() 设bn=a2n+1-a2n-1(nN*) , 证明:bn是等差数列;() 设cn=(an+1-an) qn-1(q0, nN*) , 求数列cn的前n项和Sn. 答案 () 由题意, 令m=2, n=1可得a3=2a2-a1+2=6. 再令m=3, n=1可得a5=2a3-a1+8=20. (2分) () 证明:当nN*时, 由(以n+2代替m) 可得a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8. 于是a2(n+1) +1-a2(n+1) -1-(a2n+1-a2n-1) =8, 即bn+1-bn=8. 所以, 数列bn是公差为8的等差数列. (5分) () 由() 、() 的解答可知bn是首项b1=a3-a1=6, 公差为8的等差数列. 那么bn=8n-2, 即a2n+1-a2n-1=8n-2. 另由(令m=1) 可得, an=-(n-1) 2. 那么, an+1-an=-2n+1=-2n+1=2n. 于是, cn=2nqn-1. 当q=1时, Sn=2+4+6+2n=n(n+1) . 当q1时, Sn=2·q0+4·q1+6·q2+2n·qn-1. 两边同乘q可得qSn=2·q1+4·q2+6·q3+2(n-1) ·qn-1+2n·qn. 上述两式相减即得(1-q) Sn=2(1+q1+q2+qn-1) -2nqn=2·-2nqn=2·, 所以Sn=2·. 综上所述, Sn=(12分) 10.数列an是公差不为零的等差数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列an·的前n项和.答案 (1)设数列an的公差为d(d0),由条件可知:(2+3d)2=(2+d)·(2+7d),解得d=2.(4分)故数列an的通项公式为an=2n(nN*).(6分)(2)由(1)知an·=2n×32n,设数列an·的前n项和为Sn,那么Sn=2×32+4×34+6×36+2n×32n,32Sn=2×34+4×36+(2n-2) ×32n+2n×32n+2,故-8Sn=2(32+34+36+32n)-2n×32n+2,(8分)所以数列an·的前n项和Sn=.(12分)11.等差数列满足又数列中,且.(1)求数列,的通项公式; (2)假设数列,的前项和分别是,且求数列的前项和;(3)假设对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.答案( 1)设等差数列的公差为,那么有解得数列是以为首项,公比为的等比数列. 4分(2)由(1)可得得， 10分(3)，当时, 取最小值,，即，当时，恒成立；当时，由，解得,即实数的取值范围是. 14分12.设为数列的前项和，对任意的，都有为常数，且1求证：数列是等比数列；2设数列的公比，数列满足，求数列的通项公式；3在满足2的条件下，求数列的前项和答案 188.1当时，解得当时，即又为常数，且，数列是首项为1，公比为的等比数列4分2由1得，是首项为，公差为1的等差数列9分3由2知，那么得， 14分13.设等差数列an的前n项和为Sn, 且S4=4S2, a2n=2an+1.() 求数列an的通项公式;() 设数列bn的前n项和为Tn, 且Tn+=(为常数), 令cn=b2n(nN*), 求数列cn的前n项和Rn.答案 () 设等差数列an的首项为a1, 公差为d.由S4=4S2, a2n=2an+1得解得a1=1, d=2.因此an=2n-1, nN*.() 由题意知: Tn=-,所以n2时, bn=Tn-Tn-1=-+=.故cn=b2n=(n-1) , nN*.所以Rn=0×+1×+2×+3×+(n-1) ×,那么Rn=0×+1×+2×+(n-2) ×+(n-1) ×,两式相减得Rn=+-(n-1) ×=-(n-1) ×整理得Rn=.所以数列cn的前n项和Rn=.第 12 页
