数值分析题库~及内容答案.doc
|模 拟 试 卷(一)一、填空题(每小题 3 分,共 30 分)1有 3 个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2设 , ,则 = ., = _.52104A4xA1x3已知 y=f(x)的均差(差商) , ,012, 3f 1235, f, , 那么均差 = .23491,5238,x4x4已知 n=4 时 NewtonCotes 求积公式的系数分别是: 则,152,46,907)()(1)( CC .)(3C5解初始值问题 的改进的 Euler 方法是 阶方法;0(,)yfx6求解线性代数方程组 的高斯塞德尔迭代公式为 , 12350.67.1xx若取 , 则 .(0)1)x(1)7求方程 根的牛顿迭代格式是 .(fx8 是以整数点 为节点的 Lagrange 插值基函数,则01(), ,)n 01, ,nx= .0nkj9解方程组 的简单迭代格式 收敛的充要条件是 .Axb(1)()kkxBg10设 ,则 的三次牛顿插值多项式为 (-1),(0),(),25fffffx,其误差估计式为 .二、综合题(每题 10 分,共 60 分)1求一次数不超过 4 次的多项式 满足: , ,()px(1)5()20p(1)3, .(2)57p()22构造代数精度最高的形式为 的求积公式,并求出1010()()(2xfdAff|其代数精度. 3用 Newton 法求方程 在区间 内的根, 要求 .2lnx)(810kx4用最小二乘法求形如 的经验公式拟合以下数据:yabix19 25 30 38iy19.0 32.3 49.0 73.35用矩阵的直接三角分解法解方程组.7135 01422x6 试用数值积分法建立求解初值问题 的如下数值求解公式0(,)yf,111(4)3nnnhff其中 .(,),iifxyi三、证明题(10 分)设对任意的 ,函数 的导数 都存在且 ,对于满足()fx()fx0()mfxM的任意 ,迭代格式 均收敛于 的根 .20M1)kkf0*x参考答案一、填空题15; 2. 8, 9 ; 3. ; 4. ; 5. 二; 15646. , (0.02,0.22,0.1543)()()()23112()()()320./7*/kkkkkkxx7. ; 8. ; 9. ; 1()kkkxfjx()1B10. 32(4),1)2/4(1,2)6f二、综合题1差商表:|1112215151557572020427215223078 133234()1520()5()7()()254pxxxxxx其他方法:设 233()(1)()(1)()ab令 , ,求出 a 和 b.257p2取 ,令公式准确成立,得:(),fx, , , .01A0123A016A时,公式左右 ; 时,公式左 , 公式右()fx43()fx1524 公式的代数精度 .3此方程在区间 内只有一个根 ,而且在区间(2,4)内。设) ,2(sln)(xf则 , ,Newton 法迭代公式为1' 2'1)(xf, )ln/l1 kkkxx ,210k取 ,得 。30146932.s4 , ,21,spanx221195308TA.19.0324.73Ty解方程组 ,其中 , TTACy3041682TA解得: .65043所以 , . .927a0.125b5解 设| 4322432413 01012 ulll由矩阵乘法可求出 和ijul 1021432413lll 2043u解下三角方程组 715012432y有 , , , .51y326再解上三角方程组 4635210x得原方程组的解为 , , , .1x326 解 初值问题等价于如下形式 ,1()(,)nxyfydx取 ,有 ,1nx11()(,(nxnyfd利用辛卜森求积公式可得 .1114)3nnnhyf三、证明题证明 将 写成 ,()0fx()xfx由于 ,所以()1f|()|1()|fx所以迭代格式 均收敛于 的根 .1kkxx 0fx*|模 拟 试 卷(二)一、填空题(每小题 3 分,共 30 分)1分别用 2.718281 和 2.718282 作数 的近似值,则其有效位数分别有 位和 位 e;2 设 , ,则 = _, = .02138A13x1A2x3对于方程组 , Jacobi 迭代法的迭代矩阵是 =_.405 21x JG4设 ,则差商 =_, =_.)(3xf 3 ,210f 0, 123,4f5已知 , 则条件数 _.01A()CondA6为使两点的数值求积公式 具有最高的代数精确度,则其求101()fxffx积基点应为 =_, =_0x17解初始值问题 近似解的梯形公式是 0(,)yf1ky8求方程 根的弦截法迭代公式是 ()fx9. 计算积分 ,取 4 位有效数字,用梯形公式计算求得的近似值是 , 用辛10.5d卜生公式计算的结果是 10任一非奇异矩阵 的条件数 ,其 一定大于等于 A()CondA()CondA二、综合题(每题 10 分,共 60 分)1 证明方程 在区间 有且只有一个根,若利用二分法求其误差不超过1sinx0,1|近似解,问要迭代多少次?41022 已知常微分方程的初值问题: ,1.2,()dyx试用改进的 Euler 方法计算 的近似值,取步长 .1.2y0h3 用矩阵的 分解法解方程组 .TLD12359670x4 用最小二乘法求一个形如 的经验公式,使它与下列数据拟合.1yabxx 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6y 0.931 0.473 0.297 0.224 0.1685 设方程组 ,试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯赛德尔迭0.4.182.3xyz代法的收敛性。6 按幂法求矩阵 的按模最大特征值的近似值,取初始向量4123A,迭代两步求得近似值 即可.(0)1,)Tx(2)三、证明题(10 分)已知求 )0(a的迭代公式为:2,10)(210 kxaxkk证明:对一切 , 且序列 是单调递减的,从而迭代过程收敛., 参考答案一、填空题|16, 7; 2. 9, ; 3 . ; 4. 1, 0; 5. 9; 6. , ; 1052. 137. ;1(,)(,)2kkkhyfxyfy8. ; 9. 0.4268, 0.4309; 10. , 11 11()k kkxff 1A二、综合题1 解 令 ,则 , ,且()sinfxx(0)1f()sin0f()1cos0fx故 在区间 内仅有一个根 .in,*x利用二分法求它的误差不超过 的近似解,则 412*411|02kkx解此不等式可得 4l03.87nk所以迭代 14 次即可.2、解:102101(,).5,(,).57429,kfxykfxyhk12.01hy3 解 设 311222133597 ldl 利用矩阵乘法可求得, , , , ,1d23d21l315l32l解方程组 得 ,230651y1234,6,yy再解方程组 得 .1122133 064dx 123,2xx|4 解 令 ,则 容易得出正规方程组1Yyabx,解得 .596.97117.835022.053,0265ab故所求经验公式为 .yx5 解 (1) 由于 30.4()80.96.25.Jf,()0982560Jf(2)1.0Jf 所以 在 内有根 且 ,故利用雅可比迭代法不收敛.(,1)i|i(2) 由于 2.4()0.08(.30.128).Gf 所以 ,故利用高斯赛德尔迭代法收敛.()8326 解 因为 ,故 ,(0)1,Tx(0)1x且 , .(1)()4yA(1)()ma4y从而得, ,(1)()(1)/,4Txy(2)(1)9,4TAx.(2)(2)9ma三、证明题 证明: 由于 1(),0,122kkaxkx故对一切 , ,又k12()()kkax所以 ,即序列 是单调递减有下界,从而迭代过程收敛.1kxx|模 拟 试 卷(三)一、填空题(每小题 3 分,共 30 分)1设 是真值 的近似值,则 有 位有效位数,相对误差限为 2.4015a2.4019xa;2 若用二分法求方程 在区间1,2内的根,要求精确到第 3 位小数,则需要对()f分 次。3有 n 个节点的高斯求积公式的代数精度为 次.4设 ,要使迭代格式 局部收敛到 ,则 的取值2()(5)xa1()kkx*5xa范围是 5设线性方程组 有唯一解,在不考虑系数矩阵扰动的情况下,若方程组右端项的A=b扰动相对误差 ,就一定能保证解的相对误差 ; x6给定线性方程组 ,则解此线性方程组的 Jacobi 迭代公式是 129854x,Gauss-Seidel 迭代公式是 7插值型求积公式 的求积系数之和是 0()()nbkaAfxfdx8数值求解初值问题的龙格-库塔公式的局部截断误差是 9. 已知函数 ,用此函数表作牛顿插值多(.4)1, (.5)078 ,(.6)097fff项式,那么插值多项式 的系数是 2x10 设 ,为使 可分解为 ,其中 是对角线元素为正的下三角201aAA=TL|矩阵,则 的取值范围是 。a二、综合题(每题 10 分,共 60 分)1用 Newton 法求方程 在区间 内的根, 要求 .ln2x)(810kx2设有方程组 ,其中 , ,已知它有解 ,b102A123b230如果右端有小扰动 ,试估计由此引起的解的相对误差。6103试用 Simpson 公式计算积分 的近似值, 并估计截断误差.dxe2/4设函数 在区间0,3上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法求一个次数不高于()fx3 的多项式 ,使其满足 ,并写出误差估计3P3333(0),(1),(),(2)1PP式。5 ,给出用古典 Jacobi 方法求 的特征值的第一次迭代运算。 210AA6用梯形方法解初值问题 , 证明其近似解为 ,并证明当'0()1y2nnhy时,它收敛于原初值问题的准确解 。 0hxye三、证明题(10 分)若 有 个不同的实根,证明 .1()niifxa10,21()knji nkxfa参考答案一、填空题1. 3, ; 2. 10; 3. ; 4. ; -30.512-1n50a5. ; ()condA6. , 12()2()18/9, 0145kkx 12()()218/9, 0,45kkx7. ; 8. ; 9. 2.4; 10 . ba()Oh3a