2017.04.27平面向量的数量积练习题(含答案).docx

平面向量的数量积练习题一、选择题1已知3，a在b方向上的投影是，则a·b为 ()C3D2解析：由数量积的几何意义知所以a·b×32.答案：D2设向量a，b满足，则a·b()A1B2C3D5解析：因为2(ab)2a2b22a·b10，2(ab)2a2b22a·b6，两式相减得：4a·b4，所以a·b1.答案：A3已知向量a，b满足2，1，a·b1，则向量a及ab的夹角为()解析： ，设向量a及ab的夹角为，则 ，又0，所以.答案：A4(2015·陕西卷)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A· BC(ab)22 D(ab)·(ab)a2b2解析：根据a·b ，又 1，知·，A恒成立当向量a和b方向不相同时，>，B不恒成立根据2a22a·bb2(ab)2，C恒成立根据向量的运算性质得(ab)·(ab)a2b2，D恒成立答案：B5若向量a及b的夹角为60°，4，且(a2b)·(a3b)72，则a的模为()A2B4C6D12解析：因为(a2b)·(a3b)a2a·b6b22· 60°62229672，所以22240，所以6.答案：C6已知向量a(1，2)，b(x，4)，且ab，则()A5 B3 C2 D2解析：因为ab，所以42x0，所以x2，ab(1，2)(2，4)(3，6)，所以3.答案：B7(2015·杭州模拟)如图，在圆O中，若弦3，弦5，则·的值是()A8 B1 C1 D8答案D解析取的中点D，连接、，则有，()，·()····()·()(22)×(5232)8，选D8(2015·福建卷)设a(1，2)，b(1，1)，cak b若bc，则实数k的值等于()A B 解析：cak b(1k，2k)，又bc，所以1×(1k)1×(2k)0，解得k.答案：A9已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)、B(4，1)、C(0，1)，则的形状为()A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D以上均不正确解析：(1，3)，(3，1)因为·330，所以.又因为|，|，所以.所以为等腰直角三角形 答案：C10点O是所在平面上一点，且满足，则点O是的()A重心 B垂心 C内心 D外心解析：因为··，所以·()0，即·0, 则.同理，.所以O是的垂心答案：B11在所在的平面内有一点P，满足，则及的面积之比是() 解析：由，得0，即2，所以点P是边上的三等分点，如图所示 故.答案：C12O是平面内的一定点，P是平面内的一动点，若0，则O为的()A内心 B外心 C重心 D垂心解析：因为()·()0，则()·()0，所以220，所以|.同理可得|，即|.所以O为的外心答案：B二、填空题13如图所示，中C90°且4，点M满足，则解析：···()·4.答案：414.如图所示，已知点A(1，1)，单位圆上半部分上的点B满足0，则向量的坐标为解析：设B(x，y)，y>0，所以.答案：15在中， a， b，c，且满足：1，2，则a·bb·cc·a的值为解析：在中，因为1，2，所以为直角三角形，且，以，为x，y轴建立坐标系，则B(0，0)，A(，0)，C(0，1)，所以a(0，1)，b(，1)，c(，0)所以a·bb·ca·c1304.答案：416在中，已知4，且 8，则这个三角形的形状是解析：因为·4×4· A8，所以 A，所以A，所以是正三角形答案：正三角形三、解答题17已知向量a(2，0)，b(1，4)(1)求的值；(2)若向量k ab及a2b平行，求k的值；(3)若向量k ab及a2b的夹角为锐角，求k的取值范围解：(1)因为a(2，0)，b(1，4)，所以ab(3，4)，则5.(2)因为a(2，0)，b(1，4)，所以k ab(2k1，4)，a2b(4，8)；因为向量k ab及a2b平行，所以8(2k1)16，则k.(3)因为a(2，0)，b(1，4)，所以k ab(2k1，4)，a2b(4，8)；因为向量k ab及a2b的夹角为锐角，所以解得k>或k.18.如图所示，是正方形，M是的中点，将正方形折起使点A及M重合，设折痕为，若正方形面积为64，求的面积解：如图所示，建立直角坐标系，显然是的中垂线，设及交于点N，则N是的中点，又正方形边长为8，所以M(8，4)，N(4，2)设点E(e，0)，则(8，4)，(4，2)，(e，0)，(4e，2)，由得·0，即(8，4)·(4e，2)0，解得e5，即|5.所以S|×5×410.19设向量a，b满足1，|3a.(1)求3的值；(2)求3ab及a3b夹角的正弦值解：(1)由|3a，得(3ab)25，所以9a26a·bb25.因为a221，b22|1，所以96a·b15.所以a·b.所以(a3b)2a26a·b9b216×9×115.所以3.(2)设3ab及a3b的夹角为.因为(3ab)·(a3b)3a28a·b3b23×18×3×1.所以 .因为0° 180°，所以 .所以3ab及a3b夹角的正弦值为.20在四边形中，已知9，6，2.(1)若四边形是矩形，求·的值；(2)若四边形是平行四边形，且·6，求及夹角的余弦值解：(1)因为四边形是矩形，所以·0.由2，得，.所以·()·()·2·36×8118.(2)由题意，所以···236·1818·.又·6，所以18·6，所以·36.又·|· 9×6× 54 ，所以54 36，即 .所以及夹角的余弦值为.21 (2015·济宁模拟)已知向量a(，)，0，向量b(，1)(1)若ab，求的值；(2)若|2a<m恒成立，求实数m的取值范围解析(1)ab，0，得，又0，.(2)2ab(2，21)，|2a2(2)2(21)288()88()，又0，()，1，|2a2的最大值为16.|2a的最大值为4.又|2a<m恒成立m>4.22(本题满分12分)(2015·厦门模拟)已知向量a(，)，b(，)，c(2，2)，其中0<<x<.(1)若，求函数f(x)b·c的最小值及相应的x的值；(2)若a及b的夹角为，且ac，求2的值解析b(，)，c(2，2)，.f(x)b·c222()令t(<x<)，则t(1，)，且2t21.yt2t1(t)2，t(1，)当t时，此时.即(x)，(x)，<x<，<x<.x，即x.所以函数f(x)的最小值为，相应的x的值为.(2)a及b的夹角为，(x)，0<<x<，0<x<.x，ac，(2)(2)0，化简得(x)220.代入x得(2)22220，2.第 5 页