2021-2022学年高二物理竞赛课件：周期性边界条件.pptx

周期性周期性边界条件界条件周期性边界条件周期性边界条件 在前面的讨论中没有考虑边界问题，认为一维晶体是无限的。但实际晶体总是有限的，总存在边界，边界原子所处的情况与体内原子原子不同，相应的振动状态也与体内原子不同。设想一个有限晶体的长度为Na，对于一维有限的简单格子，第一个原胞的原子核第N+1个原胞原子的振动情况相同，即 其中：因此：要想上式成立，必须有qNa=2l（l为整数），也即q=2l/(Na)，l为整数 即描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立的值。可将q限于简约区，即 ，所以l限于 ，由此可知，l只能取N个不同的值，q也只能取N个不同的值，这里N原胞的数目。只要晶体大小是有限的，则波矢的取值就不是连续的。波矢取值只能与宏观参量L=Na（L是晶体的长度）有关。晶格振动波矢的数目=晶体原胞数经典力学中，一维谐振子的势能为：动能为：总能量为：力学量连续取值 在量子力学中，力学量用算符表示，能量算符即哈密顿算符。解薛定谔方程可得到能量的本征值：（n=0,1,2.）即能量只能取一些分立值。对于一维简单格子的情况，只考虑最紧邻粒子间的相互作用，则晶体的势能为：动能为：势能函数包含有依赖于两原子坐标的交叉项，在处理多自由度的振动问题时，往往引入新的坐标-正则坐标：它与原坐标的关系：哈密顿量可以消去交叉项：该坐标体系下的总能量：以上以上结果果说明明：N个原子的集体振个原子的集体振动可可转化化为N 个独立的谐振子，谐振子的振动频率就是晶格的振动频率。可以用独立简谐贞子的振动来表述格波的独立模式，这就是声子的概念由来。声子是晶格振动中的简谐振子的能量量子，声子具有能量、动量。声子只是反应晶体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固体而单独存在，不是一种粒子，是一种准粒子。引入声子概念，可使分析固体中的一系列微引入声子概念，可使分析固体中的一系列微观过程更程更加形象化。加形象化。例如：格波在晶体中格波在晶体中传播受到散射的播受到散射的过程可以理解程可以理解为声子声子同晶体中的原子的碰撞同晶体中的原子的碰撞。导电过程中程中电子遭受格波的散射，可以看作子遭受格波的散射，可以看作电子与声子与声子之子之间的碰撞的碰撞。光在晶体中的散射，很大程度上也可以看作是由于光子与声子的相互作用乃至强烈的耦合。光电热 设相邻两个不设相邻两个不同原子构成一个同原子构成一个分子，分子内两分子，分子内两 原子平衡位置的间距为原子平衡位置的间距为b，恢复力常数为，恢复力常数为1；两分两分子间两原子对应的恢复力常数为子间两原子对应的恢复力常数为2。质量为。质量为 m 的的原子位于原子位于.2n-1，2n+1，2n+3.各点，质量为各点，质量为 M 的原子位于的原子位于.2n-2，2n，2n+1.各点。各点。考虑由质量分别为考虑由质量分别为M和和m的两种不同原子所构成的两种不同原子所构成的一维复式格子，如图所示。的一维复式格子，如图所示。ABba 若只考虑相邻原子的相互作用，则第若只考虑相邻原子的相互作用，则第 2n+1 个原个原子所受的恢复力为子所受的恢复力为 第第2n个原子所受恢复力为个原子所受恢复力为 ABba2n-1 2n 2n+1 2n+2相应的动力学方程为相应的动力学方程为 其解为其解为 相应的动力学方程为相应的动力学方程为 其解为其解为 上式代表角频率为上式代表角频率为 的简谐振动。的简谐振动。其它各点的位其它各点的位移按下列原则得出：移按下列原则得出：*同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同。同，其振幅不同。*相隔一个晶格常数相隔一个晶格常数a 的同种原子，位相差为的同种原子，位相差为qn。把上式代入动力学方程，把上式代入动力学方程，整理后整理后得得 若若A、B 有非零解，则其系数行列式必零，即有非零解，则其系数行列式必零，即 由此可以解得由此可以解得 上式表明上式表明，对一维复式格子，可以存在两种独立对一维复式格子，可以存在两种独立的格波，这两种不同的格波各有自己的色散关系，的格波，这两种不同的格波各有自己的色散关系，即即：和和