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初中数学竞赛辅导资料（4）零的特性甲内容提要一，零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数，是整数，是偶数。1， 零是表示具有相反意义的量的基准数。例如：海拔0米的地方表示它及基准的海平面一样高收支衡可记作结存0元。2， 零是判定正、负数的界限。若a 0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则 a0记作a0 a是正数读作a0等价于a是正数b<0 b 是负数c0 c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）d0 d是非正数 (即d不是正数，而是负数或0)e0 e不是0（即e不是0，而是负数或正数）3， 在一切非负数中有一个最小值是0。例如绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。记作：|a|0，当a=0时，a的值最小，是0，a20，a2有最小值0（当a=0时）。4， 在一切非正数中有一个最大值是0。例如|X|0，当X0时，|X|值最大，是0，（X0时都是负数），（X2）20，当X2时，（X2）2的值最大，是0。二，零具有独特的运算性质1， 乘方：零的正整数次幂都是零。2，除法：零除以任何不等于零的数都得零；零不能作除数。从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。3， 乘法：零乘以任何数都得零。即a×00，反过来如果ab=0,那么a、b中至少有一个是0。要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。4， 加法互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。 即a、b互为相反数a+b=05， 减法两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定，若a-b=0,则a=b; 若a-b0,则ab; 若a-b0,则ab。反过来也成立，当a=b时，a-b=0；当a>b时,a-b>0；当a<b时,a-b<0.三，在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。例如近似数1.6米及1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米； 后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。可用不等式表示其值范围如下：1.55近似数1.6<1.651.595近似数1.60<1605乙例题例1两个数相除，什么情况下商是1？是1？答：两个数相等且不是0时，相除商是1；两数互为相反数且不是0时，相除商是1。例2绝对值小于3的数有几个？它们的和是多少？为什么？答：绝对值小于3的数有无数多个，它们的和是0。因为绝对值小于3的数包括大于3并且小于3的所有数，它们都以互为相反数成对出现，而互为相反数的两个数相加得零。例3要使下列等式成立X、Y应取什么值？为什么？X（Y1）0，X3（Y2）20答：根据任何数乘以0都得0，可知当X0时，Y可取任何数；当Y1时，X取任何数等式X（Y1）0都是能成立。互为相反数相加得零，而X30，（Y2）20，它们都必须是0，即X30且Y20，故当X3且Y2时，等式X（Y2）20成立。丙练习41， 有理数a和b的大小如数轴所示: b 0 a比较下列左边各数及0的大小（用、号連接）2a 0, 3b 0, 0, 0，a2 0, b3 0,a+b 0, ab 0, ab 0, (2b)3 0, 0, 02, a表示有理数，下列四个式子，正确个数是几个？答：个。a|>a, a2> a2, a>a, a+1>a3, x表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？答：句。（x2）2有最小值0，x+3|有最大值0， 2x2有最大值2，3x1有最小3。4，绝对值小于5的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？5， 要使下列等式成立，字母X、Y应取什么值？0，X（X3）0，X1（Y3）206， 下列说法正确吗？为什么？a的倒数是方程（a1）X3的解是X n表示一切自然数，2n1表示所有的正奇数 如果a>b, 那么m2a>m2b (a 、b 、m都是有理数 )7， X取什么值时，下列代数式的值是正数？X（X1）X（X1）（X2）第 2 页