三角函数复习教案-整理.docx

三角函数复习教案【知识网络】任意角的概念弧长公式角度制及弧度制同角三角函数的基本关系式诱导公式计算及化简证明恒等式任意角的三角函数三角函数的图像和性质已知三角函数值求角图像和性质和角公式倍角公式差角公式应用应用应用应用应用应用应用学法：1注重化归思想的运用如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等 2注意数形结合思想的运用如讨论函数性质等问题时，要结合函数图象思考，便易找出解题思路和问题答案第1课 三角函数的概念考试注意：理解任意角的概念、弧度的意义 能正确地进行弧度及角度的换算 掌握终边相同角的表示方法 掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义了解余切、正割、余割的定义 掌握三角函数的符号法则 知识典例： 1角的终边在第一、三象限的角平分线上，角的集合可写成 2已知角的余弦线是单位长度的有向线段，那么角的终边 ( ) A在x轴上 B在y轴上 C在直线上 D在直线x上 3已知角的终边过点p(5，12)，则 ，= 4 的符号为 5若0，则是 ( )A第一象限角 B第二象限角 C第一、二象限角 D第二、三象限角【讲练平台】例1 已知角的终边上一点P（ ，m），且= m，求及的值 分析 已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P的坐标可知，需求出m的值，从而应寻求m的方程 解 由题意知 ，则= = 又= m， = m 0，± 当0时，= 1 ， =0 ；当 时，= ， = ；当 时，= ，= 点评 已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法(三角函数的定义)解决 例2 已知集合，02，求集合EF 分析 对于三角不等式，可运用三角函数线解之 解 ， F = ，或2， E 例3 设是第二象限角，且满足 ，是哪个象限的角? 解 是第二象限角， 2k+ 2k+ ，kZk+ k+ ，kZ 是第一象限或第三象限角 又 ， 0. 是第三、第四象限的角 由、知， 是第三象限角 点评 已知所在的象限，求 或2等所在的象限，要运用终边相同的角的表示法来表示，否则易出错 【知能集成】 注意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等；已知角的终边上一点的坐标，求三角函数值往往运用定义法；注意运用三角函数线解决有关三角不等式【训练反馈】 1 已知是钝角，那么 是 （ ） A第一象限角 B第二象限角 C第一及第二象限角 D不小于直角的正角 2 角的终边过点P（4k，3k）(k0，则的值是 （ ） A B C D 3已知点P(，)在第一象限，则在0，2内，的取值范围是 ( ) A( ， )(， ) B( ， )(， ) C( ， )(，) D( ， )( ，) 4若 ， = ，则角2x的终边位置在 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限5若46，且及 终边相同，则= 6 角终边在第三象限，则角2终边在 象限7已知=，则角x的集合为 8如果是第三象限角，则()·()的符号为什么？ 9已知扇形的周长是6，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积 第2课 同角三角函数的关系及诱导公式【考点指津】 掌握同角三角函数的基本关系式： 22=1， ，=1， 掌握正弦、余弦的诱导公式能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题 【知识在线】 12150°2135°+2210°2225°的值是 ( ) A B C D 2已知(+)=，则 ( ) A= B= C= D()= 3已=3， 的值为 4化简= 5已知是第三象限角，且44= ，那么2等于 ( ) A B C D 【讲练平台】 例1 化简 分析 式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化 解 原式= = = =1 点评 将不同角化同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法 例2 若= ，( ，)，求的值 分析 已知式为、的二次式，欲求式为、的一次式，为了运用条件，须将进行平方 解 ()2222=1 = ( ，)， = 变式1 条件同例， 求的值 变式2 已知= ， 求，的值 点评 ，三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二 例3 已知=3求2的值 分析 因为2是关于、的二次齐次式，所以可转化成的式子 解 原式2= = = 点评 1关于、的齐次式可转化成的式子 2注意1的作用:1 22等 【知能集成】 1在三角式的化简，求值等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数 2注意1的作用：如1 22 3要注意观察式子特征，关于、的齐次式可转化成关于的式子 4运用诱导公式，可将任意角的问题转化成锐角的问题 【训练反馈】 1600°的值是 （ ） A B C D 2 (+)（）的化简结果为 （ ） A2 B2 C2 D 2 3已知，x0，则的值是 （ ）A B C± D或4已知=，则 = 5 的值为 6证明 = 7已知=5，求32+42的值 8已知锐角、满足，求的值 第3课 两角和及两角差的三角函数（一） 【考点指津】 掌握两角和及两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题【知识在线】 1105°的值为 （ ） A B C D 2对于任何、（0，），(+)及的大小关系是 （ ） A(+) B(+) C(+) D要以、的具体值而定3已知，2，则等于 （ ） A B C D±4已知=，=，则(+2)= 5已知，则2 【讲练平台】 例1 已知= ，=，求()的值 分析 由于()的右边是关于、的二次式，而已知条件是关于、的一次式，所以将已知式两边平方 解 =， = ， 2 2 ，得22()= ()= 点评 审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异 例2 求 的值 分析 式中含有两个角，故需先化简注意到10°=30°20°，由于30°的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角 解 10°=30°20°， 原式= = = = 点评 化异角为同角，是三角变换中常用的方法 例3 已知：(+)=2求证：=3(+) 分析 已知式中含有角2+和，而欲求式中含有角和+，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角 解 2+=(+)+，=(+)， (+)+=2(+) (+)(+)=2(+)+2(+) 若(+)0 ，0，则3(+) 点评 审题中要仔细分析角及角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将+看成一个整体 【知能集成】 审题中，要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想 【训练反馈】 1已知0，=，(+)=，则等于 （ ） A0 B0或 C D0或2 的值等于 （ ） A2+ B C2 D 3 中，346，431，则C的大小为 （ ） A B C 或 D 或4若是锐角，且()= ，则的值是 5 = 6已知=，=，且、都是锐角求证：+=45° 7已知()=，(+)= ，且（）（，），+（，2），求2、2的值 8 已知(+)= ，且(+)= ，求 第4课 两角和及两角差的三角函数（二） 【考点指津】 掌握两角和及两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能灵活运用和角、差角、倍角公式解题【知识在线】 求下列各式的值 1200°80°110°10°= 2（15°+15°）= 3化简1+222= 4(20°)(25°x)(70°x)(25°x)= 5 = 【讲练平台】 例1 求下列各式的值 （1）10°50°+ 10°50°； (2) (1)解 原式(10°+50°)（110°50°）+10°50°= （2）分析 式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦 解 原式= = 点评 （1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式()（1），()的运用；（2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法 例2 求证= 分析 三角恒等式的证明可从一边开始，证得它等于另一边；也可以分别从两边开始，证得都等于同一个式子；还可以先证得另一等式，从而推出需要证明的等式 由欲证的等式可知，可先证等式=，此式的右边等于2，而此式的左边出现了“14”和“14”，分别运用升幂公式可出现角2，4用倍角公式可出现角2，从而等式可望得证 证略 点评 注意倍角公式2=221，2=122的变形公式：升幂公式12=2 2，12=22，降幂公式2= ，2= 的运用；三角恒等式证明的方法：从一边推得另一边；左右归一，先证其等价等于等式；分析法等 例3 已知()= ，x ，求的值 解 原式= 2x× 2（）= 2()()= 22( )1（） x ， 2 () = ，（ ）= 原式 = 点评 （1）注意两角和公式的逆用；（2）注意特殊角及其三角函数值的关系，如1 等；（3）注意化同角，将所求式中的角x转化成已知条件中的角 【知能集成】 在三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意如下公式： ()1； ()及升幂、降幂公式的运用 【训练反馈】 175°15°的值等于 （ ） A B C D 2（17°17°），2213°1， ，则 （ ） Acab B bca C abc D bac 3化简= 4化简(2+)2(+)= 5在中，已知A、B、C成等差数列，则+的值为 6化简222() 7 化简50°(1+10°) 8 已知(+)=1，求证：(2+)(2+3)=0 第5课 三角函数的图象及性质（一） 【考点指津】 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质 【知识在线】 1若+20，则x的范围是 2下列各区间，使函数()的单调递增的区间是 （ ） A， B 0， C ，0 D ，3下列函数中，周期为的偶函数是 （ ） A4x B 22x22x C 2x D 2x4判断下列函数的奇偶性 （1）22x是 函数； （2）2x是 函数； （3）(+3x)是 函数 5函数f(x)(3)是奇函数，则的值为 【讲练平台】 例1 （1）函数的定义域为 (2)若、为锐角，则、满足 （C） A B C+ D + 分析 （1）函数的定义域为 (*) 的解集，由于的最小正周期为，的最小正周期为2， 所以原函数的周期为2，应结合三角函数和的图象先求出(， )上满足（*）的x的范围，再据周期性易得所求定义域为x2kx2k+ ，或2k+ x2k+ ，kZ 分析（2）、不同名，故将不同名函数转化成同名函数， 转化成( )，运用在0，的单调性，便知答案为C 点评 （1）讨论周期函数的问题，可先讨论一个周期内的情况，然后将其推广；（2）解三角不等式，要注意三角函数图象的运用；（3）注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小 例2 判断下列函数的奇偶性：(1) ； (2) 分析 讨论函数的奇偶性，需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后考f(x)是否等于f(x)或f(x) 解 （1）定义域关于原点对称，分子上为奇函数的差，又因为122 ，所以分母为偶函数，所以原函数是奇函数 （2）定义域不关于原点对称（如，但x），故不是奇函数，也不是偶函数 点评 将函数式化简变形，有利于判断函数的奇偶性 例3 求下列函数的最小正周期： （1）(2x)(2 ) ；(2) 分析 对形如()、()和()的函数，易求出其周期，所以需将原函数式进行化简 解 （1）(2x)(2 )= (4x)， 所以最小正周期为 = （2）是小正周期为 点评 求复杂函数的周期，往往需先化简，其化简的目标是转化成()k或() k或() k的形式（其中A、k 为常数，0） 例4 已知函数f(x)=552 (xR) (1)求f(x)的单调增区间； （2）求f(x)图象的对称轴、对称中心 分析 函数表达式较复杂，需先化简 解 f(x)= 2x5× =5(2x) （1）由2k2x2k+，得k ，k+（kZ）为f(x)的单调增区间 （2）令2x +，得 + （kZ），则 + （kZ）为函数(x)图象的对称轴所在直线的方程，令2x ，得+ （kZ）， (x)图象的对称中心为点（+，0）（kZ） 点评 研究三角函数的性质，往往需先化简，以化成一个三角函数为目标；讨论()(0)的单调区间，应将看成一个整体，设为t，从而归结为讨论的单调性 【知能集成】 讨论较复杂的三角函数的性质，往往需要将原函数式进行化简，其目标为转化成同一个角的同名三角函数问题讨论三角函数的单调性，解三角不等式，要注意数形结合思想的运用注意函数性质在解题中的运用：若一个函数为周期函数，则讨论其有关问题，可先研究在一个周期内的情形，然后再进行推广；若要比较两个角的三角函数值的大小，可考虑运用三角函数的单调性加以解决【训练反馈】 1函数(21)的定义域为 （ ） Axx BxxCx2kx2k+，kZ Dx2kx2k+，kZ 2如果、（，），且，那么必有 （ ） A B C + D + 3若f(x)是周期为的奇函数，则f(x)可以是 （ ） A B C 2x D 2x 4下列命题中正确的是 （ ） A若、是第一象限角，且，且B函数的单调递增区间是（2k，2k+），kZC函数 的最小正周期是2D函数22的图象关于y轴对称，则=，kZ5函数在（2，2）内的递增区间是 666x的周期为 7比较下列函数值的大小： （1）2，3，4； (2)2，2，2（） 8设f(x)() (k0) (1)写出f(x)的最大值M，最小值m，以及最小正周期T；（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个M及m第6课 三角函数的图象及性质（二）【考点指津】 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数()的图象，理解参数A、的物理意义掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换会根据图象提供的信息，求出函数解析式【知识在线】1将的图象作关于x轴的对称变换，再将所得的图象向下平移1个单位，所得图象对应的函数是 （ ） A1 B1 C1 D12函数f(x)3x图象的对称中心的坐标一定是 （ ）A (k，0)， kZ B（k，0）， kZC（k，0）， kZ D（k，0），kZ3函数(2)的图象的一个对称轴方程为 （ ）A B C D4为了得到函数4(3)，xR的图象，只需把函数3()的图象上所有点（ ）A横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 5要得到(2x )的图象，只需将2x的图象 （ ）A向左平移个单位 B 向右平移个单位C向左平移个单位 D 向右平移个单位【讲练平台】 例1 函数（)(A0，0，)的最小值为2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差3，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式 分析 求函数的解析式，即求A、的值A及最大、最小值有关，易知2，及周期有关，由图象可知，相邻最高点及最低点横坐标差3，即=3得 6，所以=所以2(+），又图象过点（0，1），所以可得关于的等式，从而可将求出，易得解析式为2( ） 解略 点评 ()中的A可由图象的最高点、最低点的纵坐标的确定，由周期的大小确定，的确定一般采用待定系数法，即找图像上特殊点坐标代入方程求解，也可由的几何意义（图象的左右平移的情况）等确定（请看下例） xy33O 例2 右图为某三角函数图像的一段 （1）试用（)型函数表示其解析式； （2）求这个函数关于直线2对称的函数解析式 解：（1） =4 = = 又3，由图象可知 所给曲线是由3 沿x轴向右平移 而得到的 解析式为 3 (x) (2)设（x，y)为3( x ）关于直线2对称的图像上的任意一点，则该点关于直线2的对称点应为（4x，y)，故及3( x）关于直线2对称的函数解析式是3（4x) =3( x） 点评 ()(0)的图象由x的图象向左平移（0）或向右平移（0）个单位特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用 例3 已知函数2 1 (xR) (1)当y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数图象可由(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解 (1) · + · 2x +1= (2)+ 当2 =2k+ ，即+，kZ时， (2）由图象左移个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），其次将图象上各点纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），最后把图象向上平移 个单位即可 思考 还有其他变换途径吗？若有，请叙述 点评 （1）回答图像的变换时，不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语（2）周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化 【知能集成】 已知三角函数(）的图象，欲求其解析式，必须搞清A、和图象的哪些因素有关；x和()两图象间平移变换的方向和平移的单位数量极易搞错，解题时要倍加小心 【训练反馈】1函数 (2)的图象关于y轴对称的充要条件是 （ ）A=2k+ B+ C=2k+ D+(kZ)2先将函数2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象作关于y轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 （ ）A(2 ) B(2x)yx111C(2 ) D (2x)3右图是周期为2的三角函数(x)的图象，那么f(x)可以写成 （ ）A(1) B (1x) C(x1) D (1x)4(x)在一个周期内的图象是 （ ）OxxxxyyyyDCABOOO5已知函数2(0x2)的图象及直线2围成一个封闭的平面图形，则该封闭图形面积是 6将(3x )的图象向（左、右） 平移 个单位可得(3）的图像7已知函数()，在同一个周期内，当时取得最大值，当时取得最小值 ，若A0，0，求该函数的解析表达式 8已知函数，xR (1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合； （2）该函数的图象可由(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？61014102030时间y温度/ 9如图：某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数()（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式 第7课 三角函数的最值【考点指津】 掌握基本三角函数和的最值，及取得最值的条件；掌握给定区间上三角函数的最值的求法；能运用三角恒等变形，将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的一个三角函数的最值问题【知识在线】1已知（1）21.5 ；(2)25 ；(3) =2 ；(4)3 上述四个等式成立的是 （ ）A（1）（2） B（2）（4） C（3）（4） D（1）（3）2当xR时，函数2(2)的最大值为 ，最小值为 ，当x， 时函数y的最大值为 ，最小值为 . 3函数的最大值为 ，最小值为 4函数21的值域为 【讲练平台】 例1 求函数f(x) 2232x的最大值，并求出此时x的值 分析 由于f（x）的表达式较复杂，需进行化简 解 22212222= (2)+2 当2=2k+， 即+ (kZ)时， +2 点评 要熟练掌握类型的三角函数最值的求法， （） 例2 若, ，求函数(+）2的最小值 分析 在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化 解 (+)2(+)(+)22(+)1 =22(+)(+)+1 =22(+)(+)+1 =2(+)2+ , ， ， (+)， y最小值 = 点评 （1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f()或g()，是常见的转化目标；（2）形如()或()的最值，常运用，的有界性，通过换元转化成2在某区间上的最值问题；（3）对于 ()或()的最值的求法，应先求出的值域，然后再由和的单调性求出最值 例3 试求函数22的最大值和最小值 分析 由于及可以相互表示，所以令，则原三角函数的最值问题转化成2在某区间上的最值问题 解 令，则2+1=()2+，且t， ，3+ 点评 注意及的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成2在某个区间上的最值问题 【知能集成】 较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如()或()型或 ()型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值用换元法解题，特别要注意及的关系，令，则 【训练反馈】1函数 的最大值是 （ ）A 1 B 1 C 1 D 1 2若2+=，则6的最大值和最小值分别为 （ ）A7，5 B 7， C 5， D 7，53当0x时，函数f(x)= 的 （ ）A最大值为2，最小值为 B最大值为2，最小值为0 C最大值为2，最小值不存在 D最大值不存在，最小值为0 4已知关于x的方程2x0，若0x时方程有解，则a的取值范围是（ ）A1，1 B（1，1） C1，0 D（，）5要使= 有意义，则m的取值范围是 6若f(x)=2x(01），在区间0，上的最大值为，则= 三、解答题7，求x0， 时函数y的最大值8已知函数f(x)=2x1的最大值为0，最小值为4，若实数a0，求a，b的值 9已知函数f(x)=222，若x0，且f(x)2，求a的取值范围 第8课 解斜三角形【考点指津】 掌握正弦定理、余弦定理，能根据条件，灵活选用正弦定理、余弦定理解斜三角形能根据确定三角形的条件，三角形中边、角间的大小关系，确定解的个数能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题【知识在线】1中，若，则的形状为 2在中，已知10，45°，30°，则 3在