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解三角形专题复习解三角形基本知识一.正弦定理：1.正弦定理：（其中R是三角形外接圆的半径）2.变形： 角化边 边化角 如：ABC中，则ABC是等腰三角形或直角三角形ACDB ，则ABC是等腰三角形。3.三角形内角平分线定理：如图ABC中，AD是的角平分线，则Ab4.ABC中，已知锐角A，边b，则时，无解；或时，有一个解；时，有两个解。如：已知,求(有一个解)已知,求(有两个解)注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。二.三角形面积1.2. ,其中是三角形内切圆半径.注:由面积公式求角时注意解的个数三.余弦定理1.余弦定理：注：后面的变形常及韦达定理结合使用。2.变形：ACDB注意整体代入，如：3.三角形中线：ABC中， D是BC的中点，则4.三角形的形状若时,角是锐角若时,角是直角若时,角是钝角如:锐角三角形的三边为,求x的取值范围; 钝角三角形的三边为,求x的取值范围;5.应用用余弦定理求角时只有一个解已知,求边四.应用题1.步骤：由已知条件作出图形，在图上标出已知量和要求的量；将实际问题转化为数学问题； 答2.注意方位角；俯角；仰角；张角；张角等如：方位角是指北方向顺时针转到目标方向线的角。仰角俯角方位角北张角（3）在ABC中，熟记并会证明：1）A，B，C成等差数列的充分必要条件是B=60°；2）ABC是正三角形的充分必要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列。二、典例解析题型1：正、余弦定理（2009岳阳一中第四次月考）.已知中，则（ ） A. B C D 或答案 C1、在ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）Ab=20，A=45°，C=80°Ba=30，c=28，B=60°Ca=14，b=16，A=45°Da=12，c=15，A=1202、3、已知求的边长以及外接圆的面积。1、在中，若其面积，则=_。2、边长为5，7，8的三角形的最大角及最小角的和是（ ） A B C D 3、在中，例2（1）在ABC中，已知，求b及A；题型2：三角形面积例3在中，求的值和的面积。例4（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 . 答案  2 例5（2009浙江理）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值例6（2009全国卷理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、，已知，且 求b 题型3：三角形中求值问题例7的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。最大值为。例8（2009浙江文）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值的面积为：所以题型4：三角形中的三角恒等变换问题例9在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值。A=60°，=sin60°=。例10在ABC中，已知A、B、C成等差数列，求的值。题型5：正、余弦定理判断三角形形状例11在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C1、在ABC中，若，请判断三角形的形状。2、在ABC中，面积且判定三角形形状。3、在ABC中，判断三角形形状。综合应用例12（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。 北2010ABC题型6：正余弦定理的实际应用例13（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个及水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离及另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449） （2）（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤21.（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 第 - 5 - 页