微积分下学期末试卷与复习资料.docx
微积分下期末试题（一）一、填空题(每小题3分,共15分)1、 已知,则.2、 已知, 则.3、函数在 点取得极值.4、已知,则1.5、以(为任意常数)为通解的微分方程是二、选择题(每小题3分,共15分6 知及均收敛,则常数的取值范围是( C ).(A) (B) (C) (D) 7 数在原点间断,是因为该函数( B ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若,则下列关系式成立的是( A). (A) (B) (C) (D) 9、方程具有特解(D ). (A) (B) (C) (D) 10、设收敛，则(D ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定11、求由,所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.解：的函数为。且时，。于是 12、求二重极限 . 解：原式 (3分) (6分)13、由确定，求.解：设，则 ， (3分) (6分)14、用拉格朗日乘数法求在条件下的极值.解： 令,得,为极小值点. (3分)故在下的极小值点为,极小值为 (6分)15、计算.解： (6分)16、计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域.解： (6分)17、解微分方程.解：令,方程化为,于是 (3分) (6分)18、判别级数的敛散性.解： (3分) 因为 19、将函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间.解：由于,已知 , (3分)那么 ,. (6分20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入(万元)及电台广告费用(万元)的及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下的经验公式:求最优广告策略 解：公司利润为令即得驻点,而 (3分)所以最优广告策略为：电台广告费用(万元),报纸广告费用(万元). (6分)四、证明题(每小题5分,共10分)21、设，证明：.证：22、若及都收敛,则收敛.证：由于, (3分)并由题设知及都收敛,则收敛,从而收敛。 (6分)微积分下期末试题（二）一、填空题(每小题3分,共15分)1、设，且当时，则 。答案（）2、计算广义积分= 。答案（）3、设，则 。答案（）4、微分方程具有 形式的特解. 答案（）5、设，则。答案（1）二、选择题(每小题3分,共15分)1、的值为 （ A ）A.3 B.0 C.2 D.不存在2、和存在是函数在点可微的 （ A ）。 A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件； C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。3、由曲面和及柱面所围的体积是 （D）。A. ； B. ；C、； D. 4、设二阶常系数非齐次线性方程有三个特解，则其通解为 （C ）。 A.； B.； C.； D.5、无穷级数(为任意实数) （D）A、收敛 B、绝对收敛 C、发散 D、无法判断 三、计算题(每小题6分,共60分)1、求下列极限：。解： （3分） （6分）2、求由及直线、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。解： （4分） （6分）3、求由所确定的隐函数的偏导数。解：方程两边对求导得:,有 （3分）方程两边对求导得:,有 （6分）4、求函数的极值。解：，则求驻点，解方程组得和. （2分）对有，于是，所以是函数的极大值点，且 （4分）对有，于是， 不是函数的极值点。 6、计算积分,其中是由直线及所围成的闭区域；解：. （4分） （6分）7、已知连续函数满足，且，求。解：关系式两端关于求导得：即 （2分）这是关于的一阶线性微分方程，其通解为： = （5分）又，即，故，所以 （6分）8、求解微分方程=0 。解：令，则，于是原方程可化为： （3分） 即，其通解为 （5分） 即故原方程通解为： （6分）9、求级数的收敛区间。解：令,幂级数变形为,. （3分）当时,级数为收敛；当时,级数为发散. 故的收敛区间是, （5分）那么的收敛区间为. （6分）10、 判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。解：因为 （2分）由比值判别法知收敛()， （4分）从而由比较判别法知收敛，所以级数绝对收敛. （6分）四、证明题(每小题5分,共10分)1、设正项级数收敛,证明级数也收敛。证：， （3分）而由已知收敛，故由比较原则，也收敛。 （5分）2、设,其中为可导函数, 证明.证明：因为, （2分） （4分）所以. （5分）微积分下期末试题（三）一、填空题(每小题3分,共15分)1、设，且当时，则 。答案（）2、计算广义积分= 。答案（）3、设，则 。答案（）4、微分方程具有 形式的特解.（）5、级数的和为 。答案（）二、选择题(每小题3分,共15分)1、的值为 （ B ）A、0 B、3 C、2 D、不存在2、和在存在且连续是函数在点可微的 （ B ） A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件； C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。3、由曲面和及柱面所围的体积是 （ B）A. ； B. ；C、； D. 4、设二阶常系数非齐次微分方程有三个特解，则其通解为 （D） A、； B、； C、 ； D、5、无穷级数(为任意实数) （A）A、无法判断 B、绝对收敛 C、收敛 D、发散三、计算题(每小题6分,共60分)1、求下列极限：。解： （3分） （6分） 2、求由在区间上,曲线及直线、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。 解： （4分） （6分）3、求由所确定的隐函数的偏导数。解：（一）令则 ， ， 利用公式，得 （3分） （6分）（二）在方程两边同时对x求导，得解出 ， （3分）同理解出 （6分）4、求函数的极值。解：，则求驻点，解方程组得和. （2分）对有，于是，所以点不是函数的极值点. （4分）对有，于是，且，所以函数在点取得极小值, （6分） （5分）6、计算二重积分,其中是由及所围成的闭区域；解： （4分） （6分）7、已知连续函数满足，求。解：关系式两端关于求导得：即 （2分）这是关于的一阶线性微分方程，其通解为： （5分）又，即，故，所以 （6分）8、求微分方程的通解。解 这是一个不明显含有未知函数的方程作变换 令 ，则，于是原方程降阶为 （3分）， 分离变量，积分得 即 ，从而 （5分）再积分一次得原方程的通解 y （6分）9、求级数的收敛区间。解：令,幂级数变形为,. （3分）当时,级数为收敛；当时,级数为发散. 故的收敛区间是, （5分）那么的收敛区间为. （6分）10、 判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：解：因为 （2分）由比值判别法知收敛()， （4分）从而由比较判别法知收敛，所以级数绝对收敛. （6分）四、证明题(每小题5分,共10分)1、设级数收敛，证明也收敛。证：由于， （3分）而,都收敛，故收敛，由比较原则知 收敛.。（5分）2、设,证明:。证明： 因为 , （2分）, , （4分）所以 （5分）微积分下期末试题及答案（四）一、选择题(每题2分)1、设定义域为（1,2），则的定义域为（）A、（02）B、（0，2 C、（10,100） D、（1,2）2、1是函数=的（）A、跳跃间断点 B、可去间断点 C、无穷间断点D、不是间断点3、试求等于（）A、 B、0 C、1 D、4、若，求等于（）A、 B、 C、 D、5、曲线的渐近线条数为（）A、0 B、1 C、2 D、36、下列函数中，那个不是映射（）A、 B、C、 D、 二、填空题（每题2分）1、2、3、4、5、三、判断题（每题2分）1、 ( )2、 ( )3、 ( )4、 ( )5、 ( )四、计算题（每题6分）1、2、3、4、5、6、五、应用题1、设某企业在生产一种商品件时的总收益为，总成本函数为，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分）2、描绘函数的图形（12分）六、证明题（每题6分）1、用极限的定义证明：设2、证明方程试题（四）答案一、 选择题1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B二、填空题1、 2、 3、18 4、3 5、三、判断题1、 2、× 3、 4、× 5、×四、计算题1、2、3、解： 4、解：5、解：6、解：五、应用题1、解：设每件商品征收的货物税为，利润为2、解：000拐点无定义极值点渐进线：图象六、证明题1、证明：2、证明：第 17 页
