数学物理方程与特殊函数-模拟试题及参考答案(1).docx

数学物理方程模拟试题一、填空题（3分10=30分）1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）.2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） .4.边界条件 是第（ ）类边界条件，其中为边界.5.设函数的傅立叶变换式为，则方程的傅立叶变换为 （ ） .6.由贝塞尔函数的递推公式有 （ ） .7.根据勒让德多项式的表达式有= （ ）.8.计算积分 （ ） .9.勒让德多项式的微分表达式为（ ） .10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） .二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：1. 2.3. 三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）：五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）：六、在半径为1的球内求调和函数，使它在球面上满足，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:(本题的只及有关，及无关)数学物理方程模拟试题参考答案一、 填空题：1.初始条件，边值条件，定解条件.2. 3.4. 三.5.6.7.8.9.10.二、试用分离变量法求以下定解问题1.解 令，代入原方程中得到两个常微分方程：，由边界条件得到，对的情况讨论，只有当时才有非零解，令，得到为特征值，特征函数，再解，得到，于是再由初始条件得到，所以原定解问题的解为2. 解 令，代入原方程中得到两个常微分方程：，由边界条件得到，对的情况讨论，只有当时才有非零解，令，得到为特征值，特征函数，再解，得到，于是再由初始条件得到，所以原定解问题的解为3.解 由于边界条件和自由项均及t无关，令，代入原方程中，将方程及边界条件同时齐次化。因此，再由边界条件有，于是，.再求定解问题 用分离变量法求以上定解问题的解为故三.解：令，代入原方程中，将方程齐次化，因此，再求定解问题 由达朗贝尔公式得到以上问题的解为故四.解 ：对y取拉普拉斯变换，对方程和边界条件同时对y取拉普拉斯变换得到，解这个微分方程得到，再取拉普拉斯逆变换有所以原问题的解为.五.证明： 由公式有，令有，所以，又，所以.六解：由分离变量法，令，得到，由边界条件有，令，故第 4 页