等腰三角形典型例题练习(含答案).docx

等腰三角形典型例题练习一选择题（共2小题）1如图，90°，平分交于D，若5，3，则点D到的距离为（）A5B3C2D不能确定2如图，已知C是线段上的任意一点（端点除外），分别以、为边并且在的同一侧作等边和等边，连接交于M，连接交于N给出以下三个结论：其中正确结论的个数是（）A0B1C2D3二填空题（共1小题）3如图，在正三角形中，D，E，F分别是，上的点，则的面积及的面积之比等于三解答题（共15小题）4在中，是的平分线，E、F分别为、上的点，且180°，求证5在中，、的平分线相交于点O，过点O作，分别交、于点D、E请说明6已知：如图，D是的边上的中点，垂足分别为E，F，且请判断是什么三角形？并说明理由7如图，是等边三角形，是边上的高，延长至E，使连接（1）E等于多少度？（2）是什么三角形？为什么？8如图，在中，90°，是边上的高，30°求证：49如图，中，点D、E分别在、的延长线上，且，及相交于点F求证：10已知等腰直角三角形，是斜边B的角平分线交于D，过C作及垂直且交延长线于E，求证：211（2012牡丹江）如图，中，P为底边上一点，垂足分别为E、F、H易证证明过程如下：如图，连接S，S，S又S，（1）如图，P为延长线上的点时，其它条件不变，、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若30°，的面积为49，点P在直线上，且P到直线的距离为，当3时，则边上的高点P到边的距离12数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，如图，试确定线段及的大小关系，并说明理由”小敏及同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为的中点时，如图1，确定线段及的大小关系，请你直接写出结论：（填“”，“”或“=”） （2）特例启发，解答题目解：题目中，及的大小关系是：（填“”，“”或“=”）理由如下：如图2，过点E作，交于点F（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且若的边长为1，2，求的长（请你直接写出结果）13已知：如图，平分，于点E，点D在上，点P在上，连接交于点M若2，请你判断F及的数量关系，并说明理由14如图，已知是等边三角形，点D、E分别在、边上，且，及相交于点F（1）线段及有什么关系？试证明你的结论（2）求的度数15如图，在中，90°，F为延长线上一点，点E在上，连接、和，求证：16已知：如图，在中，90°，在中，90°，连接、问线段及之间有什么关系？请说明理由17（2006郴州）如图，在中，D是上任意一点，过D分别向，引垂线，垂足分别为E，F，是边上的高（1），的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由18如图甲所示，在中，在底边上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即，若P点在的延长线上，那么请你猜想、和之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明等腰三角形典型例题练习参考答案及试题解析一选择题（共2小题）1如图，90°，平分交于D，若5，3，则点D到的距离为（）A5B3C2D不能确定考点：角平分线的性质1418944分析：由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D到的距离等于D到的距离即的长，问题可解解答：解：90°，平分交于DD到的距离即为长53=2故选C2如图，已知C是线段上的任意一点（端点除外），分别以、为边并且在的同一侧作等边和等边，连接交于M，连接交于N给出以下三个结论：其中正确结论的个数是（）A0B1C2D3考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定及性质；等边三角形的性质1418944分析：由和是等边三角形，根据易证得，即可得正确；由，可得，又由60°，利用，可证得，即可得正确；又可证得是等边三角形，即可证得正确解答：解：和是等边三角形，60°，即，（），故正确；，60°，60°，60°，（），故正确；又180°180°60°60°=60°，是等边三角形，60°，故正确故选D二填空题（共1小题）3如图，在正三角形中，D，E，F分别是，上的点，则的面积及的面积之比等于1：3考点：相似三角形的判定及性质；全等三角形的判定及性质；等边三角形的性质1418944分析：首先根据题意求得：60°，即可证得是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得：1：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果解答：解：是正三角形，60°，90°，30°，60°，是正三角形，：1：，：1：3，÷，=，：1：，的面积及的面积之比等于1：3故答案为：1：3三解答题（共15小题）4在中，是的平分线，E、F分别为、上的点，且180°，求证考点：全等三角形的判定及性质；角平分线的定义1418944分析：过D作，于M，于N，根据角平分线性质求出，根据四边形的内角和定理和平角定义求出，根据全等三角形的判定推出即可解答：证明：过D作，于M，于N，即90°，平分，（角平分线性质），90°，180°，360°180°=180°，180°，在和中，5在中，、的平分线相交于点O，过点O作，分别交、于点D、E请说明考点：等腰三角形的判定及性质；平行线的性质1418944分析：根据和分别平分和，和，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出，然后即可得出答案解答：解：在中，和分别平分和，6已知：如图，D是的边上的中点，垂足分别为E，F，且请判断是什么三角形？并说明理由考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定及性质1418944分析：用（）证明，从而得出，即可证明是等腰三角形解答：是等腰三角形证明：连接，90°，且，D是的边上的中点，（），是等腰三角形7如图，是等边三角形，是边上的高，延长至E，使连接（1）E等于多少度？（2）是什么三角形？为什么？考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定1418944分析：（1）由题意可推出60°，然后根据三角形外角的性质可知：，即可推出E的度数；（2）根据等边三角形的性质可知，不但为边上的高，也是的角平分线，即得：30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出是等腰三角形解答：解：（1）是等边三角形，60°，（2）是等边三角形，60°，30°，E，是等腰三角形8如图，在中，90°，是边上的高，30°求证：4考点：含30度角的直角三角形1418944分析：由中，90°，30°可以推出2，同理可得2，则结论即可证明解答：解：90°，30°，2，60°又，30°，2249如图，中，点D、E分别在、的延长线上，且，及相交于点F求证：考点：全等三角形的判定及性质；等腰三角形的性质1418944分析：过D点作交于G点，由平行线的性质得1=2，4=3，再根据等腰三角形的性质可得2，则1，于是有，根据全等三角形的判定易得，即可得到结论解答：证明：过D点作交于G点，如图，1=2，4=3，2，1，而，在和中，10已知等腰直角三角形，是斜边B的角平分线交于D，过C作及垂直且交延长线于E，求证：2考点：全等三角形的判定及性质1418944分析：延长，交于一点F，由已知条件可证得全，所以，即2，再通过证明可得，所以2解答：证明：如图，分别延长，交于一点F，90°，平分，又， （）2，90°，90°，90°又90°，90°，211（2012牡丹江）如图，中，P为底边上一点，垂足分别为E、F、H易证证明过程如下：如图，连接，S，S，S又S，（1）如图，P为延长线上的点时，其它条件不变，、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若30°，的面积为49，点P在直线上，且P到直线的距离为，当3时，则边上的高7点P到边的距离4或10考点：等腰三角形的性质；三角形的面积1418944分析：（1）连接先根据三角形的面积公式分别表示出S，S，S，再由S即可得出；（2）先根据直角三角形的性质得出2，再由的面积为49，求出7，由于，则可分两种情况进行讨论：P为底边上一点，运用结论；P为延长线上的点时，运用结论解答：解：（1）如图，证明如下：，S，S，S，S，又，；（2）在中，30°，2S，×249，7分两种情况：P为底边上一点，如图，73=4；P为延长线上的点时，如图，3+7=10故答案为7；4或1012数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，如图，试确定线段及的大小关系，并说明理由”小敏及同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为的中点时，如图1，确定线段及的大小关系，请你直接写出结论：=（填“”，“”或“=”） （2）特例启发，解答题目解：题目中，及的大小关系是：=（填“”，“”或“=”）理由如下：如图2，过点E作，交于点F（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且若的边长为1，2，求的长（请你直接写出结果）考点：等边三角形的判定及性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定及性质；等腰三角形的性质1418944分析：（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出30°，求出30°，求出即可；（2）过E作交于F，求出等边三角形，证和全等，求出即可；（3）当D在的延长线上，E在的延长线式时，由（2）求出3，当E在的延长线上，D在的延长线上时，求出1解答：解：（1）故答案为：=（2）过E作交于F，等边三角形，60°，60°，60°，即60°，是等边三角形，60°，120°，60°，在和中，即，故答案为：=（3）解：1或3，理由是：分为两种情况：如图1过A作于M，过E作于N，则，是等边三角形，1，2，=，=，1，23；如图2，作于M，过E作于N，则，是等边三角形，1，2，=，=，1，1=，2113已知：如图，平分，于点E，点D在上，点P在上，连接交于点M若2，请你判断F及的数量关系，并说明理由考点：全等三角形的判定及性质；等腰三角形的性质1418944分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出，推出，求出，在和中根据三角形的内角和定理求出即可解答：解：，理由是：平分，90°，在和中，（），是的垂直平分线，2，又2，（等角的补角相等），180°，180°，又，F14如图，已知是等边三角形，点D、E分别在、边上，且，及相交于点F（1）线段及有什么关系？试证明你的结论（2）求的度数考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质1418944分析：（1）根据等边三角形的性质可知60°，结合，可证明，从而证得结论；（2）根据，可知60°解答：（1）证明：为等边三角形，60°，在和中，（2）解：，又，60°15如图，在中，90°，F为延长线上一点，点E在上，连接、和，求证：考点：全等三角形的判定及性质1418944分析：根据已知利用即可判定，根据全等三角形的对应边相等即可得到解答：证明：90°，90°，又，（）16已知：如图，在中，90°，在中，90°，连接、问线段及之间有什么关系？请说明理由考点：全等三角形的判定及性质；等腰直角三角形1418944分析：可以把要证明相等的线段，放到，中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去的结果，当然相等了，由此可以证明；延长交于D，交于C，可证明90°，则解答：解：及相等且垂直，理由：在及中，及等腰直角三角形，90°，延长交于D，交于C，则，由（1）知，90°，17（2006郴州）如图，在中，D是上任意一点，过D分别向，引垂线，垂足分别为E，F，是边上的高（1），的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由考点：等腰三角形的性质1418944分析：（1）连接，根据三角形的面积=三角形的面积+三角形的面积，进行分析证明；（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系即三角形的面积=三角形的面积三角形的面积解答：解：（1）证明：连接，则S，即，（2）当点D在延长线上时，（1）中的结论不成立，但有理由：连接，则S，即，即同理当D点在的延长线上时，则有，说明方法同上18如图甲所示，在中，在底边上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即，若P点在的延长线上，那么请你猜想、和之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明考点：等腰三角形的性质；三角形的面积1418944分析：猜想：、之间的关系为根据S，S，S，S，即可求证解答：解：我的猜想是：、之间的关系为理由如下：连接，则S，S，S，S，又，S，即（），第 10 页