2013年全国初中数学联合竞赛试题及答案.pdf
2013 年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案第一试一、选择题此题总分值42 分，每题7 分1.计算4 32 24124 2BA21B1 C2D 2 2.满足等式2221mmm的所有实数m的和为 AA3 B4 C5 D6 3.已知 AB是圆 O 的直径，C为圆 O 上一点，15CAB，ABC的平分线交圆O 于点 D，假设3CD，则 AB=AA2 B6C2 2D 3 4.不定方程23725170 xxyxy的全部正整数角x,y的组数为 BA1 B2 C3 D4 5 矩形 ABCD的边长 AD=3，AB=2，E为 AB 的中点，F 在线段 BC上，且 BF：FC=1：2，AF分别与 DE，DB 交于点 M，N，则 MN=CA3 57B5 514C9 528D11 5286.设 n 为正整数，假设不超过n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称n 为“好数”，那么，所有“好数”之和为BA33 B34 C2013 D2014 二、填空题此题总分值28 分，每题7 分1.已知实数,x y z满足4,129,xyzxyy则23xyz4 2.将一个正方体的外表都染成红色，再切割成3(2)nn个相同的小正方体，假设只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n=8 3.在ABC中，60,75,10ACAB，D，E，F分别在 AB，BC，CA 上，则DEF的周长最小值为5 64.如果实数,x y z满足2228xyzxyyzzx，用 A 表示,xyyzzx的最大值，则A 的最大值为4 63第二试 A一、此题总分值20 分已知实数,a b c d满足2222223236,acbdadbc求2222abcd的值。解：设2222,mabncd，则222223223312.mnabcd因为2223232424mnmnmnmn，即21224mn，所以6mn1又因为222222222222mnabcda cb da db c2由1，2 可得6.mn即22226abcd注：符合条件的实数,a b c d存在且不唯一，62 32,1,33abcd就是一组。二、此题总分值25 分已知点C在以 AB 为直径的圆O 上，过点B、C作圆 O 的切线，交于点 P，连 AC，假设92OPAC，求PBAC的值。解：连 OC，因为 PC，PB为圆 O 的切线，所以POC=POB。又因为 OA=OC，所以 OCA=OAC。又因为 COB=OCA+OAC，所以 2POB=2 OAC，所以 POB=OAC，所以 OP AC。又 POB=OAC，所以BACPOB，所以ACABOBOP。又92OPAC，AB=2r，OB=rr 为圆 O 的半径，代入可求得OP=3r,AC=23r.在Rt POB中，由勾股定理可求得222 2PBOPOBr。所以2 23 223PBrACr。三、此题总分值25 分已知t是一元二次方程210 xx的一个根，假设正整数,a b m使得等式31atmbtmm成立，求ab的值。解：因为t是一元二次方程210 xx的一个根，显然t是无理数，且21tt。等式31atmbtmm即2231abtm ab tmm，文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 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OM=IN=r即为ABC的内切圆半径，则11112222221122.22AOCAOBAOICOIAICAIBAOIBOIAOIBOICOIAICAIBAOIAOIAOISSSSSSSSSSSSSSOIrOIrAC rAB rSrOIbcS三、此题总分值25分假设正数,a b c满足2222222222223222bcacababcbccaab，求代数式222222222222bcacababcbccaab的值。解：由于,a b c具有轮换对称性，不妨设0.abc1假设cab，则0,0cabcba，从而得：2222211,22cbabcabcbc2222211,22cabcabcaca文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 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