河北省定州中学2016届高三数学下学期周练试题(七)(共21页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上河北定州中学20152016学年度第二学期数学周练（七）评卷人得分一、选择题：共12题 每题5分 共60分1若是三角形的最小内角，则函数的最小值是（ ）A B C D2已知非零向量满足 ，若函数 在R 上存在极值，则和夹角的取值范围为（ ）A. B. C. D. 3设抛物线的焦点为F，经过点P（2，1）的直线与抛物线相交于 两点，点P恰为的中点，则|+|=（ ）A.8 B.10 C.14 D.164曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）A BC和 D和5如图，焦点在轴上的椭圆（）的左、右焦点分别为，是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D6已知函数是定义在上的奇函数，当时，给出下列命题：当时，；函数有2 个零点；的解集为；，都有其中正确命题的序号是（ ）A B C D7过双曲线的右焦点作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A B C D8定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于（1,0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ）A B C D9已知分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点,若，则双曲线的离心率为（ ）A B C D10已知函数，若函数有且只有两个零点，则k的取值范围为（ ）A B C D11已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为（ ）A B C D212椭圆与直线相交于两点，过中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为（ ）A B C1 D2评卷人得分二、填空题：共4题 每题5分 共20分13若函数，则函数在上的最小值为_14等腰直角三角形中，是斜边上一点，且，则 15如图，已知的边的垂直平分线交于点，交于点.若，则的值为 .16直线y=a与函数f（x）=x3-3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是 评卷人得分三、解答题：共8题 共70分17已知函数，其中.（1）若，求的单调区间；（2）若，且当时，总成立，求实数的取值范围；（3）若，若存在两个极值点，求证：.18已知函数其中（1）讨论的单调性；（2）设曲线与正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为求证：对于任意的正实数，都有；（3）若关于的方程（为实数）有两个正实根求证：.19已知函数是自然对数的底数）（）求函数的解析式（）求函数的单调区间；20如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： (ab0)的离心率为，点(2，1)在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2y22相切，与椭圆C相交于P，Q两点 若直线l过椭圆C的右焦点F，求OPQ的面积；求证： OPOQ 21已知椭圆C：的离心率为，其四个顶点组成的菱形的面积是，O为坐标原点，若点A在直线上，点B在椭圆C上，且.（1）求椭圆C的方程；（2）求线段AB长度的最小值；（3）试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.22某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小船沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇.（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.23已知向量，.（1）若，求的值.（2）记在中角的对边分别为且满足，求的取值范围.24某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是15元,销售价是20元,月平均销售件,通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价提高的百分率为,那么月平均销售量减少的百分率为.记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是(元).（1）写出与的函数关系式；（2）改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大。参考答案1A【解析】试题分析：利用三角函数的恒等变换对函数进行化简整理，又，所以有，是三角形的最小内角，所以有，由函数的单调性可知函数在取得最小值，故本题的正确选项为A.考点：三角恒等变换,函数的最值.2B【解析】试题分析：，设和夹角为，因为有极值，所以，即，即，所以考点：1、函数导数；2、二次函数零点问题3A【解析】试题分析：抛物线的准线为直线，设两点到准线的距离分别为，则有，到准线的距离为，所以考点：抛物线的定义4C【解析】试题分析：由题意得，设点，由，得，由曲线在点处的切线平行与直线，得到切线的斜率为，即，解得或，当时，；当时，即的坐标为或.考点：利用导数研究曲线在某点处的切线方程.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，以及导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率，属于基础题，体现了函数与方程思想的应用，本题的解答中设出点的坐标，根据曲线在点处的切线平行与直线建立等式，从而可求出切点的横坐标，代入即可求解点的坐标.5D.【解析】试题分析：如下图所示，设另外两个切点分别为，由题意得，设，根据对称性可知，离心率，故选D考点：椭圆的标准方程及其性质6D【解析】试题分析：由题意可知，可见命题是错误的；时，此时有个零点，当，此时有个零点，又为上的奇函数，必有，即总共有个零点，即命题不成立；，可求得解为，可求得解为，所以命题成立；时，令，通过函数的单调性可求得此时的值域为，则时的值域为，所以有.考点：奇函数的解析式与性质.【思路点睛】本题主要考查奇函数的性质，因为及函数关于原点对称，所以只要知道纵轴一侧的函数解析式，即可利用来求得函数在另一侧的解析式；对于奇函数的零点个数，要注意，当定义域包含时，函数零点个数肯定为奇数，相反则为偶数；而对于命题四，则需要先求得函数的值域，而的最值则为函数值域端点值的差.本题也可利用排除法，前面已经证明命题是错误的，根据选项可直接选择D.7C【解析】试题分析：双曲线右焦点为，过右焦点的直线为，与双曲线方程联立消去可得到，由题意可知，当时，此方程有两个不相等的异号实根，。所以，得，即；当时，此方程有两个不相等的同号实根，所以，得，；又，所以离心率的取值范围为故本题正确选项为C.考点：双曲线的离心率，一元二次方程根的情况.8D【解析】试题分析：设，则由，知，即，所以函数为减函数因为函数的图象关于成中心对称，所以为奇函数，所以，所以，即因为，而在条件下，易求得，所以，所以，所以，即，故选D考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式的性质【方法点睛】利用函数性质解决函数不等式的常用方法有：（1）根据奇函数、偶函数的图象特征和性质，通过图象将函数不等式转化为一般不等式，从而解决函数不等式问题；（2）根据函数奇偶性与周期性将函数不等式中的自变量转化到同一单调区间上，再根据单调性脱去符号“”求解 9A【解析】试题分析：因为，不妨设，因为，所以，又由双曲线的定义得：，所以，所以，所以，在直角中，因为，所以，所以，所以双曲线的离心率为，故选A考点：双曲线的定义及几何性质【方法点晴】本题主要考查了双曲线的定义和简单的几何性质的应用，着重考查了转化思想方法和运算能力的培养，其中求解的值是解答本题的关键，属于中档试题，本题的解答中，根据双曲线的定义，可求得，在利用勾股定理求解，从而求解的值，进而可求解双曲线的离心率的值10C【解析】试题分析：由时，即，渐近线为由时，由导数的几何意义可知当直线与图像在原点相切时有两个零点即函数的图像与的图像有2个交点结合函数图像可知当直线与图像有1个交点时；同时当时， 函数的图像与的图像也有一个交点，所以要使有两个零点，只需故C正确考点：1函数的零点；2数形结合思想，转化思想【思路点晴】本题主要考查的是函数的零点，难度稍大本题重点在于将零点问题转化为两图像的交点问题由数形结合即可得出答案11D【解析】试题分析：抛物线的焦点，因为抛物线的交点和双曲线的焦点相同，所以，因为，由抛物线的定义知：，所以点的坐标为，所以，解得，解得，所以双曲线的离心率为考点：圆锥曲线的几何性质12A【解析】试题分析：设，由AB 的中点为M可得，由M，N在椭圆上，可得两式相减可得，把代入可得，整理可得考点：直线与圆锥曲线的关系13【解析】试题分析：因为，令得：，所以时， 时，故在上递减，在上递增，所以当时，有最小值，所以答案应填：考点：函数的最值144【解析】试题分析：因为，而， .所以答案应填：4考点：平面向量数量积的运算【方法点睛】欲求的值的关键是选为一组基底，用表述出，代入数量积进行运算.另一种方法：以为原点，分别以为轴，建立直角坐标系，则,所以，由知，所以.本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题.15-16【解析】试题分析：考点：向量数量积16（-2，2）【解析】试题分析：，令得，所以两极值为，由直线y=a与函数f（x）=x3-3x的图象有相异的三个公共点，结合函数图像可知a的取值范围是（-2，2）考点：1函数导数与极值；2函数图像17（1）的增区间为，减区间为；（2）；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出的导函数，分别解或即得的单调递增区间和递减区间；（2）先根据在有意义，判断，在分，三种情况讨论是否满足题意；（3）求导可知的两个极值点就是方程的两个根，利用韦达定理可得，整理，根据基本不等式可得，放缩得，从而证得结论.试题解析：（1）的定义域为，增区间为，减区间为；（2）因为在有意义，所以若，则，所以若，则当时，当时，在上为减函数，在上为增函数，不成立，综上，；（3），因为有两个极值点，所以，因此令，因此极值点为方程的两个根，又注意到，所以注意到，因此又因此.考点：利用导数研究函数的单调性、给定区间上的最值及不等式的证明.【方法点睛】本题考查了导数在研究函数单调性及给定区间上的最值等的综合应用，考查了基本不等式、分类讨论、不等式证明的放缩等数学方法和思想，属于难题.本题解答的难点是第二、三问，第二问中先通过判断，然后分类讨论求出其最小值，即可求得参数的取值范围；第三问先通过是的两个极值点得到，然后整理，分别利用基本不等式和放缩法证得结论，这是证明不等式时常用的方法和技巧.18（1）当为奇数时，在和上单调递减，在上单调递增，当为偶数时，在在上单调递增, 上单调递减；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出，分为奇数和偶数两种情况分别列出导函数的符号变化情况，即可得其单调性；（2）设点的坐标，可求得，得曲线在点处的切线，即构造新函数，利用导数研究其单调性，可得在单调递增，在上单调递减，所以，从而证得结论；（3）设，方程的根为，可得.设曲线在原点处的切线方程为，可得.设方程的根为，可得可得.由于所以，可推得，所以有.试题解析：（1）由为奇数时，令，解得或.当变化时，的变化情况如下表故在和上单调递减，在上单调递增.当为偶数时，令，解得,当单调递增.当单调递减. 所以在在上单调递增, 上单调递减.（2）证明：设点的坐标，则，曲线在点处的切线，即令即，则.又由于在上单调递减, 故在上单调递减. 又因为所以当时，当时，.故在单调递增，在上单调递减，.即.（3）证明不妨设，由(2) 知，设方程的根为，可得.当时，在单减，又由(2) 知.类似的，设曲线在原点处的切线方程为，可得.当，即.设方程的根为，可得在上单增.且由此可得.因此所以所以.考点：导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和极值、最值.【方法点睛】本题主要考查了导数的运算，导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，求极值、最值等，并通过求其最值来证明不等式等基础知识和基本方法，同时考查了考生分类讨论、函数思想及转化与化归的思想方法，考查考生分析问题和利用所学知识解决问题提的能力，属于难题，本题解答的难点是（2）、（3）两问，（2）通过构造函数，研究其单调性求得其最大值，来证明结论；（3）通过比较与及与的大小得是解答的关键.19（）；（）的单调递减区间是，单调递增区间是【解析】试题分析：（）从已知条件看只要求出和，就能求得函数解析式，为此先求导函数(注意和是常数)，然后赋值，令和可得结论；（）求单调区间，一般是解不等式得增区间，解不等式得减区间，本题中，可考虑利用函数的单调性求解，在上单调递增且，因此(或)的解集易得试题解析：（）由已知得所以，即 又，所以，从而 （）显然在上单调递增且， 故当时，；当时，所以的单调递减区间是，单调递增区间是 考点：导数的运算，函数的单调性20（1）（2），详见解析【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，即列出两个独立条件，解方程组即可：由，解得a26，b23（2）直线过一定点，又与圆相切，因此可先利用直线与圆位置关系确定直线方程y± (x)再根据弦长公式求底长PQ，根据点到直线距离求高，最后根据面积公式求面积：研究直线与椭圆位置关系，一般联立方程组，利用韦达定理求解：因为x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2而直线PQ方程代入椭圆方程，得(12k2) x24kmx2m260.则有x1x2，x1x2因为直线与圆相切，所以，即m22k22代入化简得0试题解析：解：（1）由题意，得，解得a26，b23所以椭圆的方程为 （2）解法一 椭圆C的右焦点F(，0)设切线方程为yk(x)，即kxyk0，所以，解得k±，所以切线方程为y± (x) 由方程组解得或 所以PQ 因为O到直线PQ的距离为，所以OPQ的面积为 因为椭圆的对称性，当切线方程为y (x)时，OPQ的面积也为综上所述，OPQ的面积为解法二 消去y得5x28x60设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1x2 由椭圆定义可得，PQPFFQ2ae( x1x2)2×× (i)若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x或x当x时，P (，)，Q(，)因为0，所以OPOQ当x时，同理可得OPOQ (ii) 若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为ykxm，即kxym0因为直线与圆相切，所以，即m22k22将直线PQ方程代入椭圆方程，得(12k2) x24kmx2m260.设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1x2，x1x2 因为x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)×km×()m2将m22k22代入上式可得0，所以OPOQ综上所述，OPOQ 考点：椭圆标准方程，直线与圆相切，直线与椭圆位置关系21（1）（2）（3）直线AB与圆相切【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率公式及椭圆的性质，根据已知离心率与四个顶点组成菱形面积求出与的值，即可确定出椭圆C的方程；（2）设点A，B的坐标分别为（2，t），由两向量垂直，利用平面向量数量积运算法则列出关系式，表示出t，再将B坐标代入椭圆方程得到关系式，表示出，整理后利用基本不等式求出AB的最小值即可；（3）直线AB与圆相切，理由为：设点A，B的坐标分别为（2，t），由两向量垂直，利用平面向量数量积运算法则列出关系式，表示出t，进而表示出直线AB方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线AB的距离d，整理得到d=r，即可得证试题解析：（1）由题意，解得.故椭圆C的标准方程为. （2）设点A，B的坐标分别为，其中，因为，所以，即， 解得，又，所以=， 因为，当且仅当时等号成立，所以，故线段AB长度的最小值为. （3）直线AB与圆相切. 证明如下：设点A,B的坐标分别为，其中.因为，所以，即，解得. 直线AB的方程为，即， 圆心O到直线AB的距离, 由，故 所以 直线AB与圆相切. 考点：1.椭圆方程及性质；2.直线与圆的位置关系的判定22（1）；（2）航行方向为北偏东，航行速度为海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇.【解析】试题分析：（1）设相遇时小艇航行的距离为海里，把表示为关于的函数，配方求得小艇航行速度为多大时小艇的航行距离最小；（2）设小艇与轮船在处相遇，建立 之间的关系式，故，根据，建立关于的不等式，求出的最小值，并求出此时的航行方向.试题解析：（1）如图，设相遇时小艇航行的距离为海里，则故当时，此时.即小艇以海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.（2）设小艇与轮船在处相遇，则，故.，即，解得.又时，故时，取得最小值，且最小值为.此时，在中，有，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇.考点：1、数学建模；2、不等式.【方法点睛】（1）设相遇时小艇航行的距离为海里，把表示为关于的函数，建立数学模型，配方求得小艇航行速度为多大时小艇的航行距离最小.（2）设小艇与轮船在处相遇，建立 之间的关系式，把用来表示，根据的范围建立关于的不等式，解不等式，求出的最小值，并求出此时的航行方向.23（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）化简，得，由倍角公式得，再利用角的变换得；（2）利用正弦定理把中的边化角，求出，又，.试题解析：（1）.（2），又.考点：1、正弦定理；2、三角函数的性质.24（1）；（2）售价为(元)时.【解析】试题分析：（1）先根据题意表示出销售价、月平均销售量、以及月平均利润，即可写出与的函数关系式；（2）根据(1)的结论，对与的函数关系式研究其单调性以及极值，即可求得所需结果.试题解析：（1）改进工艺后,每件产品的销售价为元,月平均销售量为件,则月平均利润元,所以与的函数关系式为.（2）由,得 (舍).当时, ; 时, ,所以函数在处取得最大值.故改进工艺后,产品的销售价为 (元)时,旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.考点：(1)函数在实际问题中的应用；2、导数在函数研究中的应用.专心-专注-专业