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2.61 双曲线的性质【学习目标】1.理解双曲线的对称性、范围、定点、离心率、渐近线等简单性质.2.能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程.3.能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题.【要点梳理】要点一、双曲线的简单几何性质双曲线22221xyab（a0，b 0）的简单几何性质范围22221xxaaxaxa即或双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a 和 x=a 的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x-a或 xa.对称性对于双曲线标准方程22221xyab（a0，b0），把x 换成-x，或把y 换成-y，或把x、y 同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线22221xyab（a0，b0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。顶点双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。双曲线22221xyab（a0，b0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，-b），B2（0，b）为y 轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。双曲线的焦点总在实轴上。实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。离心率双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作22cceaa。因为 ca0，所以双曲线的离心率1cea。由 c2=a2+b2，可得22222()11bcaceaaa，所以ba决定双曲线的开口大小，ba越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。等轴双曲线ab，所以离心率2e。渐近线经过点A2、A1作 y 轴的平行线x=a，经过点B1、B2作 x 轴的平行线y=b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是byxa。我们把直线xaby叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。22|bbMNxaxaa22220bxaxaabxxa要点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较标准方程22221xyab(0,0)ab22221yxab(0,0)ab图形性质焦点1(,0)Fc，2(,0)F c1(0,)Fc，2(0,)Fc焦距2212|2()F Fc cab2212|2()F Fc cab范围x xaxa或，yRy yaya或，xR对称性关于 x 轴、y 轴和原点对称顶点(,0)a(0,)a轴实轴长=a2，虚轴长=2b离心率(1)ceea渐近线方程xabyayxb要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果 x2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上。对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。要点三、双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为12222byax，则其渐近线方程为02222byax0byaxxaby已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为0mxny，则可设双曲线方程为2222m xn y，根据已知条件，求出即可。（3）与双曲线12222byax有公共渐近线的双曲线与双曲线12222byax有公共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)xyab（0，焦点在x轴上，0，焦点在y 轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为yx，因此等轴双曲线可设为22(0)xy.要点四、双曲线中a,b,c 的几何意义及有关线段的几何特征：双曲线标准方程中，a、b、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：cb0，c a0，且c2=b2+a2。双曲线22221xyab(0,0)ab，如图：（1）实轴长12|2A Aa，虚轴长2b,焦距12|2F Fc，（2）离心率：21211222121122|11|PFPFA FA FcbeePMPMAKA Kaa；（3）顶点到焦点的距离：11A F22A Fca，12AF21A Fac；（4）21FPF中结合定义aPFPF221与余弦定理，将有关线段1PF、2PF、21FF和角结合起来.（5）与焦点三角形21FPF有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式1 21211sin2PF FSPFPFF PF相结合的方法进行计算与解题，将有关线段1PF、2PF、12F F，有关角21PFF结合起来，建立12PFPF、12PFPF之间的关系.【典型例题】类型一：双曲线的简单几何性质例 1求双曲线22169144xy的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率.【解 读】把 方 程 化 为 标 准 方 程221916yx，由 此 可 知 实 半 轴 长3a，虚 半 轴 长4b，225cab双曲线的实轴长26a，虚轴长 28b，顶点坐标(0,3),(0,3)，焦点坐标(0,5),(0,5)，离心率53cea，渐近线方程为34yx【总结升华】在几何性质的讨论中要注意a 和 2a，b 和 2b 的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示.举一反三：【变式 1】双曲线mx2y21 的虚轴长是实轴长的2 倍，则 m 等于()A14B 4 C4 D.14【答案】A【变式 2】已知双曲线8kx2ky2=2 的一个焦点为3(0,)2，则 k 的值等于（）A 2 B1 C 1 D32【答案】C 类型二：双曲线的渐近线例 2.已知双曲线方程，求渐近线方程。（1）221916xy；（2）22-1916xy【解读】（1）双曲线221916xy的渐近线方程为：220916xy即43yx（2）双曲线22-1916xy的渐近线方程为：220916xy即43yx【总结升华】双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线方程为byxa，双曲线22221yxab的渐近线方程为bxya，即ayxb；若双曲线的方程为2222xymn（00mn、，焦点在x轴上，0，焦点在y 轴上），则其渐近线方程为22220 xymn0 xymnnyxm.举一反三：【变式 1】求下列双曲线方程的渐近线方程（1）2211636xy；（2）2228xy；（3）22272yx【答案】（1）32yx；（2）22yx；（3）2yx【变式 2】(2015 北京)已知双曲线2221(0)xyaa的一条渐近线为30 xy，则 a_【答案】33【解读】渐进线为30 xy，有3ba，由双曲线的方程2221xya得 b=1，且 a 0所以33a【变式】（2016 北京文）已知双曲线22221xyab（a 0，b0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦 点为（5,0），则 a=_；b=_.【答案】依题意有52cba，结合 c2=a2+b2，解得 a=1，b=2。例 3.根据下列条件，求双曲线方程。（1)与双曲线221916xy有共同的渐近线，且过点(3,2 3)；（2）一渐近线方程为320 xy，且双曲线过点(8,6 3)M【解读】（1）解法一：当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为22221xyab由题意，得222243(3)(2 3)1baab，解得294a，24b所以双曲线的方程为224194xy当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为22221yxab由题意，得222243(2 3)(3)1abab，解得24a，294b（舍去）综上所得，双曲线的方程为224194xy解法二：设所求双曲线方程为22916xy（0），将点(3,2 3)代入得14，所以双曲线方程为2219164xy即224194xy（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是023xy.故设双曲线方程为2249xy，点(8,6 3)M在双曲线上，228(6 3)49，解得4，所求双曲线方程为2211636xy.【总结升华】求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之 间 的 关 系，并 注 意 方程 思 想 的 应 用。若 已 知双 曲 线 的 渐 近线 方 程0axby，可 设 双 曲 线 方程 为2222a xb y（0）.举一反三：【变式 1】中心在原点，一个焦点在(0,3)，一条渐近线为23yx的双曲线方程是（）A.225513654xy B.225513654xyC.22131318136xy D.22131318136xy【答案】D【变式 2】过点(2，-2)且与双曲线1222yx有公共渐近线的双曲线是()A.14222xy B.12422yx C.12422xy D.14222yx【答案】A【变式 3】设双曲线2221(0)9xyaa的渐近线方程为320 xy，则a的值为A4 B3 C2 D1【答案】C【变式 4】双曲线22221xyab与2222(0)xyab有相同的（）A实轴 B焦点 C渐近线 D以上都不对【答案】C 类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围例 4.已知21,FF是双曲线22221(0)xyabab的左、右焦点,过1F且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于 A、B 两点,若2ABF是正三角形,求双曲线的离心率。【解读】12|2F Fc，2ABF是正三角形，12 3|2 tan303AFcc，224 3|2 tan30cos303cAFcc214 32 32 3|2333AFAFccca，3cea【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，求双曲线离心率的关键是由条件寻求a、c 满足的关系式，从而求出cea举一反三：【变式 1】(1)已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率2 33e，过点 A(0,-b)和 B(a,0)的直线与原点间的距离为32，求双曲线的方程.(2)求过点(-1,3)，且和双曲线22149xy有共同渐近线的双曲线方程.【答案】（1）2213xy（2）2241273yx【变式 2】(2015 山东文)过双曲线C：22221xyaa(a 0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点 P.若点 P的横坐标为2a,则 C的离心率为.【答案】23【解读】双曲线22221xyaa的右焦点为（c，0）.不妨设所作直线与双曲线的渐近线byxa平行，其方程为()byxca，代入22221xyaa求得点 P 的横坐标为222acxc，由2222acac，得2()410ccaa，解之得23,23ccaa（舍去，因为离心率1ca），故双曲线的离心率为23.【变式3】已知a、b、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax2bxc0 无实根，则双曲线离心率的取值范围是()A1e52 B1e2 C1e3 D1e0，b0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3 倍，则双曲线的渐近线方程为()Ay2xBy 2 2xCy24xDy 3x6（2016 天津文）已知双曲线)0,0(12222babyax的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02yx垂直，则双曲线的方程为（）A1422yxB1422yxC15320322yxD12035322yx二、填空题7已知双曲线C：22221xyab(a 0，b 0)的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C 的焦点坐标是_8椭圆22214xya与双曲线2221xya焦点相同，则a_.9（2015春 黑龙江期末改编）与双曲线2214yx有共同的渐近线，且过点（2,2）的双曲线方程为10（2016浙江文）设双曲线2213yx的左、右焦点分别为F1，F2若点P 在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是_三、解答题11.设 F1，F2分别为双曲线22221xyab(a0，b 0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P，满足212PFF F，且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程12设双曲线2222byax=1（0a0，b0)过点(14,5)A，且点A 到双曲线的两条渐近线的距离的积为43.求此双曲线方程14已知双曲线2214xy的两个焦点分别为12FF、，点P 在双曲线上且满足1290F PF，求12F PF的面积.15如下图，已知F1，F2是双曲线22221xyab(a0，b0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边 MF1的中点在双曲线上，求双曲线的离心率【答案与解读】1【答案】：C【解读】由双曲线右焦点为F2（5，0），则 c=5，54cea，a=4 b2=c2a2=9，所以双曲线方程为191622yx2【答案】：B【解读】：由双曲线的定义得：|PF1|-|PF2|=2a,(不妨设该点在右支上)|PF1|+|PF2|=3b,所以|PF1|=22332,|22abbaPF，两式相乘得2294944baab。结合222cab得53ca，故53e,故选 B。3【答案】：D【解读】：设双曲线方程为22(0)yx焦点(0,4 3),0,又22(4 3),244.【答案】：B【解读】：因为|PF2|=|F2F1|，P点满足2222byac=1，22bycaa,222bccaa,即 2ac=b2=c2-a2,12ee,故 e=1+2.5.【答案】：B【解读】：如图，分别过双曲线的右顶点A，右焦点F 作它的渐近线的垂线，B、C 分别为垂足，则OBA OCF，13OAABOFFC，13ac，2 2ba，故渐近线方程为：2 2yx.6.【答案】：A【解读】由题意得5c，122baa，221141xyb，选 A 7.【答案】：(2,0)【解读】：由题意得：a1，eca2，所以c2，又由标准方程可得焦点在x 轴上，所以焦点坐标为(2,0)8【答案】：62【解读】；由题意得 4a2a21，2a23，a62.9【答案】：221312xy【解读】设双曲线方程为224yxk，因为双曲线过点（2,2），所以k=3,所以双曲线的方程为221312xy。10.【答案】(2 7,8)【解读】由已知a=1，3b，c=2，则2cea，设 P（x，y）是双曲线上任一点，由对称性不妨设P在右支上，则1x2，|PF1|=2x+1，|PF2|=2x1，F1PF2为 锐 角，则|PF1|2+|PF2|2|F1F2|2，即(2x+1)2+(2x 1)2 42，解 得72x，所 以722x，12|4(2 7,8)PFPFx11.【解读】：过F2作 F2APF1于 A，由题意知F2A2a，12F F2c，则1AF2b，1PF4b，而1PF2PF2a，4b2c2a，c2ba，c2(2ba)2，a2b24b2 4aba2，解得43ba，双曲线的渐近线方程为43yx.12.【解读】：由已知，l的方程为ay+bx-ab=0,原点到l的距离为34c，则有2234abcab,又 c2=a2+b2,243abc，两边平方，得16a2(c2-a2)=3c4.两边同除以a4并整理得3e4-16e2+16=0，e2=4 或243e.0ab,1ba,221ba,得22222212abbeaa,e2=4，故 e=2.13.【解读】：双曲线22221xyab的两渐近线的方程为bx ay0.点 A 到两渐近线的距离分别为122|145|badab，222|145badab已知 d1d243，故2222|145|43baab()又 A 在双曲线上，则14b25a2a2b2()()代入()，得 3a2b24a24b2()联立()、()解得 b22，a2 4.故所求双曲线方程为22142xy.14.【解读】：解法一：由双曲线的方程知a=2,b=1,5c.因此12|22 5F Fc.由于双曲线是对称图形，如图所示，设 P点坐标为(x,142x)，由已知 F1PF2P，111F PF Pkk,即221144155xxxx，得2245x，12212111|12 512425F PFxSF F解法二：(|PF1|-|PF2|)2=4a2=16,又由勾股定理得|PF1|2+|PF1|2=(2c)2=20,|PF1|PF2|=21|PF1|2+|PF2|2-(|PF1|-|PF2|)2=21(20-16)=2,121F PFS.15.【解读】：设MF1的中点为P，在 RtPMF2中，|PF2|MF2|sin60 2c323c.又由双曲线的定义得|PF2|PF1|2a，所以312ac，23131cea.