2018年度浙江数学高专业考试题~(word版含内容答案).doc
|绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数 学 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4页，选择题部分 1至 2页；非选择题部分 3 至 4页。满分 150分。考试用时 120分钟。 考生注意： 1答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答 题纸规定的位置上。 2答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试 题卷上的作答一律无效。 参考公式： 若事件 A ，B 互斥，则 ( ) ( ) ( ) P A B P A P B 若事件 A ，B 相互独立，则 ( ) ( ) ( ) P AB P A P B 若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，则 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 ( ) C (1 ) ( 0,1,2, , ) k k n k n n P k p p k n 台体的体积公式 1 1 2 2 1 ( ) 3 V S S S S h 其中 1 2 , S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表 示台体的高 柱体的体积公式V Sh 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式 1 3 V Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 2 4 S R 球的体积公式 3 4 3 V R 其中R 表示球的半径 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1已知全集U=1，2，3，4，5 ，A=1 ，3，则 = U A ð A B 1 ，3 C 2 ，4，5 D1 ，2，3，4，5 2双曲线 2 2 1 3 = x y 的焦点坐标是|A( 2 ，0)，( 2 ，0) B (2，0) ，(2 ，0) C(0 ， 2 ) ，(0， 2 ) D (0，2) ，(0 ，2) 3某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位：cm 3 ）是 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 2 2 1 1 A2 B 4 C 6 D8 4复数 2 1 i (i 为虚数单位)的共轭复数是 A1+i B 1i C 1+i D1i 5函数y= | | 2 x sin2x 的图象可能是 A B C D 6已知平面 ，直线m，n 满足m ，n ，则“m n”是“m ”的 A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 7设 01)上两点A，B 满足 AP =2PB ，则当m=_时， 点B 横坐标的绝对值最大学科*网 三、解答题：本大题共 5小题，共 74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 （本题满分 14 分）已知角 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过 点P（ 3 4 5 5 ，- ） （）求 sin（+ ）的值； （）若角 满足 sin （+ ）= 5 13 ，求 cos 的值 19（本题满分 15 分）如图，已知多面体ABCA 1 B 1 C 1 ，A 1 A，B 1 B，C 1 C 均垂直于平面 ABC，ABC=120° ，A 1 A=4，C 1 C=1，AB=BC=B 1 B=2 （）证明：AB 1 平面A 1 B 1 C 1 ； （）求直线AC 1 与平面ABB 1 所成的角的正弦值 20（本题满分 15 分）已知等比数列a n 的公比q>1，且a 3 +a 4 +a 5 =28，a 4 +2 是a 3 ，a 5 的等差中 项数列 b n 满足b 1 =1 ，数列（b n+1 b n ）a n 的前n 项和为 2n 2 +n （）求q 的值；|（）求数列b n 的通项公式学*科网 21 （本题满分 15 分）如图，已知点P 是y 轴左侧( 不含y 轴)一点，抛物线C：y 2 =4x 上存在不同的 两点A，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上 P M B A O y x （）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴； （）若P 是半椭圆x 2 + 2 4 y =1(x88ln2； （）若a34ln2 ，证明：对于任意k>0 ，直线y=kx+a 与曲线y=f(x) 有唯一公共点|2018 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数 学·参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4 分，满分40 分。 1.C 2.B 3.C 4.B 5.D 6.A 7.D 8.D 9.A 10.B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6 分，单空题每题4 分，满分36 分。 11.8；11 12.2；8 13. 21 ;3 7 14.7 15. (1,4);(1,3 (4, ) 16.1260 17.5 三、解答题：本大题共5 小题，共74 分。 18.本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分 14 分。 （）由角 的终边过点 3 4 ( , ) 5 5 P 得 4 sin 5 ， 所以 4 sin( ) sin 5 . （）由角 的终边过点 3 4 ( , ) 5 5 P 得 3 cos 5 ， 由 5 sin( ) 13 得 12 cos( ) 13 . 由 ( ) 得 cos cos( )cos sin( )sin ， 所以 56 cos 65 或 16 cos 65 . 19.本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象 能力和运算求解能力。满分 15 分。 方法一： （）由 1 1 1 1 2, 4, 2, , AB AA BB AA AB BB AB 得 1 1 1 2 2 AB AB ，|所以 2 2 2 1 1 1 1 AB AB AA . 故 1 1 1 AB AB . 由 2 BC ， 1 1 2, 1, BB CC 1 1 , BB BC CC BC 得 1 1 5 BC ， 由 2, 120 AB BC ABC 得 2 3 AC ， 由 1 CC AC ，得 1 13 AC ，所以 2 2 2 1 1 1 1 AB BC AC ，故 1 1 1 AB BC . 因此 1 AB 平面 1 1 1 ABC . （）如图，过点 1 C 作 1 1 1 C D AB ，交直线 1 1 AB 于点 D ，连结 AD . 由 1 AB 平面 1 1 1 ABC 得平面 1 1 1 ABC 平面 1 ABB ， 由 1 1 1 C D AB 得 1 C D 平面 1 ABB ， 所以 1 C AD 是 1 AC 与平面 1 ABB 所成的角.学科.网 由 1 1 1 1 1 1 5, 2 2, 21 BC AB AC 得 1 1 1 1 1 1 6 1 cos ,sin 7 7 C AB C AB ， 所以 1 3 C D ，故 1 1 1 39 sin 13 C D C AD AC . 因此，直线 1 AC 与平面 1 ABB 所成的角的正弦值是 39 13 . 方法二： （）如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB，OC 为x，y 轴的正半轴，建立空间直 角坐标系O-xyz.|由题意知各点坐标如下： 1 1 1 (0, 3,0), (1,0,0), (0, 3,4), (1,0,2), (0, 3,1), A B A B C 因此 1 1 1 1 1 (1, 3,2), (1, 3, 2), (0,2 3, 3), AB AB AC uuu r uuuu r uuuu r 由 1 1 1 0 AB AB uuu r uuuu r 得 1 1 1 AB AB . 由 1 1 1 0 AB AC uuu r uuuu r 得 1 1 1 AB AC . 所以 1 AB 平面 1 1 1 ABC . （）设直线 1 AC 与平面 1 ABB 所成的角为 . 由（）可知 1 1 (0,2 3,1), (1, 3,0), (0,0,2), AC AB BB uuur uuu r uuu r 设平面 1 ABB 的法向量 ( , , ) x y z n . 由 1 0, 0, AB BB uuu r uuu r n n 即 3 0, 2 0, x y z 可取 ( 3,1,0) n . 所以 1 1 1 | 39 sin |cos , | 13 | | | AC AC AC uuur uuur uuur n| n n| . 因此，直线 1 AC 与平面 1 ABB 所成的角的正弦值是 39 13 . 20.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合 应用能力。满分 15 分。 （）由 4 2 a 是 3 5 , a a 的等差中项得 3 5 4 2 4 a a a ， 所以 3 4 5 4 3 4 28 a a a a ，|解得 4 8 a . 由 3 5 20 a a 得 1 8( ) 20 q q ， 因为 1 q ，所以 2 q . （）设 1 ( ) n n n n c b b a ，数列 n c 前n 项和为 n S . 由 1 1 , 1, , 2. n n n S n c S S n 解得 4 1 n c n . 由（）可知 1 2 n n a ， 所以 1 1 1 (4 1) ( ) 2 n n n b b n ， 故 2 1 1 (4 5) ( ) , 2 2 n n n b b n n ， 1 1 1 2 3 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n b b b b b b b b b b 2 3 1 1 1 (4 5) ( ) (4 9) ( ) 7 3 2 2 2 n n n n . 设 2 2 1 1 1 3 7 11 ( ) (4 5) ( ) , 2 2 2 2 n n T n n ， 2 2 1 1 1 1 1 1 3 7 ( ) (4 9) ( ) (4 5) ( ) 2 2 2 2 2 n n n T n n 所以 2 2 1 1 1 1 1 1 3 4 4 ( ) 4 ( ) (4 5) ( ) 2 2 2 2 2 n n n T n ， 因此 2 1 14 (4 3) ( ) , 2 2 n n T n n ， 又 1 1 b ，所以 2 1 15 (4 3) ( ) 2 n n b n . 21本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算 求解能力和综合应用能力。满分 15 分。 （）设 0 0 ( , ) P x y ， 2 1 1 1 ( , ) 4 A y y ， 2 2 2 1 ( , ) 4 B y y |因为 PA ， PB 的中点在抛物线上，所以 1 y ， 2 y 为方程 2 0 2 0 1 4 ( ) 4 2 2 y x y y 即 2 2 0 0 0 2 8 0 y y y x y 的两个不同的实数根 所以 1 2 0 2 y y y 因此， PM 垂直于 y 轴 （）由（）可知 1 2 0 2 1 2 0 0 2 , 8 , y y y y y x y 所以 2 2 2 1 2 0 0 0 1 3 | | ( ) 3 8 4 PM y y x y x ， 2 1 2 0 0 | | 2 2( 4 ) y y y x 因此， PAB 的面积 3 2 2 1 2 0 0 1 3 2 | | | | ( 4 ) 2 4 PAB S PM y y y x 因为 2 2 0 0 0 1( 0) 4 y x x ，所以 2 2 0 0 0 0 4 4 4 4 4,5 y x x x 因此， PAB 面积的取值范围是 15 10 6 2, 4 22本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。 满分 15 分。 （）函数f （x ）的导函数 1 1 ( ) 2 f x x x ， 由 1 2 ( ) ( ) f x f x 得 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 x x x x ， 因为 1 2 x x ，所以 1 2 1 1 1 2 x x 由基本不等式得 4 1 2 1 2 1 2 1 2 2 x x x x x x 因为 1 2 x x ，所以 1 2 256 x x 由题意得 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ln ln ln( ) 2 f x f x x x x x x x x x 设 1 ( ) ln 2 g x x x ，|则 1 ( ) ( 4) 4 g x x x ， 所以 x （0 ，16 ） 16 （16 ，+ ） ( ) g x - 0 + ( ) g x 2-4ln2 所以g（x）在256 ，+ ）上单调递增， 故 1 2 ( ) (256) 8 8ln 2 g x x g ， 即 1 2 ( ) ( ) 8 8ln 2 f x f x （）令m= ( ) e a k ，n= 2 1 ( ) 1 a k ，则 f（m）kma>|a|+kka0， f（n）kna0，直线y=kx+a 与曲线y=f（x）有唯一公共点
