2016年普通高等学校招生全国统一专业考试(新课标全国卷1)文数.doc

|2016 年普通高等学校招生全国统一考试（课标全国卷1）文数 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1 （5 分）设集合 A=1，3，5，7，B=x|2x5 ，则 AB=（ ） A1 ，3 B3，5 C5，7 D 1 ，7 2 （5 分）设（1+2i ） （a+i）的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a=（ ） A3 B2 C2 D 3 3 （5 分）为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中， 余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ） A B C D 4 （5 分）ABC 的内角 A 、B、C 的对边分别为 a 、b、c 已知 a= ，c=2，cosA= ，则 b=（ ） A B C2 D 3 5 （5 分）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ， 则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 6 （5 分）将函数 y=2sin（2x+ ）的图象向右平移 个周期后，所得图象对应的函数为（ ） Ay=2sin（2x+ ） By=2sin（2x+ ） C y=2sin（2x ） Dy=2sin（2x ） 7 （5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半 径若该几何体的体积是 ，则它的表面积是（ ） A17 B18 C20 D 28 8 （5 分）若 a b0，0c1，则（ ） Alog a clog b c Blog c a log c b C a c b c D c a c b 9 （5 分）函数 y=2x 2 e |x| 在2，2 的图象大致为（ ）|A B C D 10 （5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 x=0，y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（ ） Ay=2x By=3x Cy=4x D y=5x 11 （5 分）平面 过正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 的顶点 A，平面 CB 1 D 1 ， 平面 ABCD=m，平面 ABA 1 B 1 =n ，则 m 、n 所成角的正弦值为（ ） A B C D 12 （5 分）若函数 f （x）=x sin2x+asinx 在（ ，+ ）单调递增，则 a 的取值范围是（ ） A1，1 B1， C ， D 1， 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分|13 （5 分）设向量 =（x，x+1） ， = （1，2） ，且 ，则 x= 14 （5 分）已知 是第四象限角，且 sin （+ ）= ，则 tan（ ）= 15 （5 分）设直线 y=x+2a 与圆 C：x 2 +y 2 2ay 2=0 相交于 A，B 两点，若|AB|=2 ，则圆 C 的面积为 16 （5 分）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材 料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （12 分）已知a n 是公差为 3 的等差数列，数列b n 满足 b 1 =1，b 2 = ，a n b n+1 +b n+1 =nb n （）求a n 的通项公式； （）求b n 的前 n 项和 18 （12 分）如图，已知正三棱锥 PABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G （）证明：G 是 AB 的中点； （）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F （说明作法及理由） ，并求四面体 PDEF 的体积 19 （12 分）某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零 件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如 果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为 此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：|记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件 上所需的费用（单位：元） ，n 表示购机的同时购买的易损零件数 （）若 n=19，求 y 与 x 的函数解析式； （）若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.5，求 n 的最小值； （）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易 损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据， 购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？ 20 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l ：y=t（t0）交 y 轴于点 M ，交抛物线 C：y 2 =2px （p0）于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N ，连结 ON 并延长交 C 于点 H （）求 ； （）除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由 21 （12 分）已知函数 f （x）= （x2）e x +a （x1） 2 （）讨论 f （x）的单调性； （）若 f （x）有两个零点，求 a 的取值范围请考生在22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4- 1：几何证明选讲 22 （10 分）如图，OAB 是等腰三角形，AOB=120°以 O 为圆心， OA 为半径作 圆 （）证明：直线 AB 与O 相切； （）点 C，D 在O 上，且 A ，B ，C，D 四点共圆，证明：ABCD选修4-4：坐标系与参数方程 23在直线坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 （t 为参数，a0） 在以 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2 ：=4cos|（）说明 C 1 是哪一种曲线，并将 C 1 的方程化为极坐标方程； （）直线 C 3 的极坐标方程为 = 0 ，其中 0 满足 tan 0 =2，若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都 在 C 3 上，求 a 选修4-5：不等式选讲 24已知函数 f （x）=|x+1| |2x3| （）在图中画出 y=f （x）的图象； （）求不等式|f（x）|1 的解集|2016 年普通高等学校招生全国统一考试（课标全国卷1）文数 参考答案与试题解析一、选择题 1B 【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可 【解答】解：集合 A=1，3，5，7，B=x|2x5 ， 则 AB=3，5 故选：B 2A 【分析】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可 【解答】解：（1+2i ） （a+i）=a2+（2a+1）i 的实部与虚部相等， 可得：a 2=2a+1 ， 解得 a=3 故选：A 3C 【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论 【解答】解：从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种 花种在另一个花坛中，有 =6 种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有 2 种方法，红色 和紫色的花不在同一花坛，有 4 种方法，所以所求的概率为 = 故选：C 4D 【分析】由余弦定理可得 cosA= ，利用已知整理可得 3b 2 8b3=0 ，从而解得 b 的值 【解答】解：a= ，c=2，cosA= ， 由余弦定理可得：cosA= = = ，整理可得：3b 2 8b3=0， 解得：b=3 或 （舍去） 故选：D 5B 【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离 心率|【解答】解：设椭圆的方程为： ，直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点， 则直线方程为： ，椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ， 可得： ， 4=b 2 （ ） ， ， =3， e= = 故选：B 6D 【分析】求得函数 y 的最小正周期，即有所对的函数式为 y=2sin2（x ）+ ，化简整 理即可得到所求函数式 【解答】解：函数 y=2sin（2x+ ）的周期为 T= = ， 由题意即为函数 y=2sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位， 可得图象对应的函数为 y=2sin2（x ）+ ， 即有 y=2sin（2x ） 故选：D 7A 【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体 的表面积 【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉 后的几何体，如图： 可得： = ，R=2 它的表面积是： ×42 2 + =17 故选：A|8C 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的 真假，可得答案 【解答】解：a b0，0c1， log c a log c b0，故 B 正确； 0log a clog b c，故 A 错误； c a c b ，故 C 错误； a c b c ，故 D 错误； 故选：C 9D 【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法， 可得答案 【解答】解：f （x）=y=2x 2 e |x| ， f（ x）=2（x） 2 e |x| =2x 2 e |x| ， 故函数为偶函数， 当 x=±2 时，y=8e 2 （0，1） ，故排除 A ，B ； 当 x0，2时，f（x）=y=2x 2 e x ， f（x）=4xe x =0 有解， 故函数 y=2x 2 e |x| 在0，2 不是单调的，故排除 C ， 故选：D 10C 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 x，y 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：输入 x=0，y=1，n=1 ， 则 x=0，y=1，不满足 x 2 +y 2 36，故 n=2 ， 则 x= ，y=2，不满足 x 2 +y 2 36，故 n=3 ， 则 x= ，y=6，满足 x 2 +y 2 36， 故 y=4x， 故选：C 11A 【分析】画出图形，判断出 m 、n 所成角，求解即可|【解答】解：如图： 平面 CB 1 D 1 ，平面 ABCD=m ， 平面 ABA 1 B 1 =n， 可知：nCD 1 ，m B 1 D 1 ，CB 1 D 1 是正三角形m 、n 所成角就是 CD 1 B 1 =60° 则 m、n 所成角的正弦值为： 故选：A 12C 【分析】求出 f （x）的导数，由题意可得 f（x）0 恒成立，设 t=cosx（1t1） ，即有 54t 2 +3at0，对 t 讨论，分 t=0，0t1，1t0，分离参数，运用函数的单调性可得最值， 解不等式即可得到所求范围 【解答】解：函数 f （x）=x sin2x+asinx 的导数为 f（x）=1 cos2x+acosx， 由题意可得 f （x）0 恒成立， 即为 1 cos2x+acosx0， 即有 cos 2 x+acosx0， 设 t=cosx（1t1） ，即有 54t 2 +3at0， 当 t=0 时，不等式显然成立； 当 0t1 时，3a4t ， 由 4t 在（0，1递增，可得 t=1 时，取得最大值1， 可得 3a 1，即 a ； 当1t0 时，3a4t ， 由 4t 在 1，0）递增，可得 t=1 时，取得最小值 1， 可得 3a1，即 a |综上可得 a 的范围是 ， 故选：C 二、填空题 13 【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出 ，进行向量数量积的坐标运算即可得出 关于 x 的方程，解方程便可得出 x 的值 【解答】解： ； ； 即 x+2（x+1）=0； 故答案为： 14 【分析】由 得范围求得 + 的范围，结合已知求得 cos（+ ） ，再由诱导公式求得 sin（ ）及 cos （ ） ，进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得 tan（ ）的值 【解答】解： 是第四象限角， ，则 ， 又 sin（+ ）= ， cos （+ ）= cos （ ）=sin （+ ）= ，sin（ ）=cos（+ ）= 则 tan（ ）=tan （ ）= = 故答案为： 15 4 【分析】圆 C：x 2 +y 2 2ay2=0 的圆心坐标为（0，a） ，半径为 ，利用圆的弦长公式， 求出 a 值，进而求出圆半径，可得圆的面积 【解答】解：圆 C：x 2 +y 2 2ay2=0 的圆心坐标为（0，a） ，半径为 ，|直线 y=x+2a 与圆 C：x 2 +y 2 2ay2=0 相交于 A ，B 两点，且|AB|=2 ， 圆心（0，a）到直线 y=x+2a 的距离 d= ， 即 = ， 解得：a 2 =2， 故圆的半径 r=2 故圆的面积 S=4， 故答案为：4 16 216000 【分析】设甲、乙两种产品每件分别是 x 元和 y 元，根据题干的等量关系建立不等式组以 及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可； 【解答】解：（1）设甲、乙两种产品每件分别是 x 件和 y 件，或利为 z 元 由题意，得 ，z=2100x+900y 不等式组表示的可行域如图：由题意可得 ，解得： ，A（60，100） ， 目标函数 z=2100x+900y经过 A 时，直线的截距最大，目标函数取得最大值： 2100×60+900×100=216000 元 故答案为：216000 三.解答题 17 【分析】 （）令 n=1，可得 a 1 =2，结合a n 是公差为 3 的等差数列，可得a n 的通项公式；|（）由（1）可得：数列b n 是以 1 为首项，以 为公比的等比数列，进而可得：b n 的 前 n 项和 【解答】解：（）a n b n+1 +b n+1 =nb n 当 n=1 时，a 1 b 2 +b 2 =b 1 b 1 =1，b 2 = ， a 1 =2， 又a n 是公差为 3 的等差数列， a n =3n 1， （）由（I ）知：（3n1）b n+1 +b n+1 =nb n 即 3b n+1 =b n 即数列b n 是以 1 为首项，以 为公比的等比数列， b n 的前 n 项和 S n = = （13 n ）= 18 【分析】 （）根据题意分析可得 PD平面 ABC，进而可得 PDAB，同理可得 DEAB， 结合两者分析可得 AB 平面 PDE，进而分析可得 ABPG，又由 PA=PB ，由等腰三角形的 性质可得证明； （）由线面垂直的判定方法可得 PB 平面 PAC ，进而由于 PB 平面 PAB，可得平面 PAB平面 PAC，由此可以在平面 PAB 中，过 E 作 EF PA，可得 F 为 E 在平面 PAC 内的 正投影 进而由棱锥的体积公式计算可得答案 【解答】解：（）证明：PABC 为正三棱锥，且 D 为顶点 P 在平面 ABC 内的正投影， PD平面 ABC，则 PD AB， 又 E 为 D 在平面 PAB 内的正投影， DE 面 PAB，则 DE AB， PDDE=D， AB平面 PDE ，连接 PE 并延长交 AB 于点 G ， 则 AB PG， 又 PA=PB， G 是 AB 的中点； （） 正三棱锥 P ABC 的侧面是直角三角形， PBPA，PB PC ，则 PB 平面 PAC ， 而 PB平面 PAB，则平面 PAB平面 PAC ， 在平面 PAB 中，过 E 作 EF PA ，则 EF 平面 PAC， 即 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影|由于 PA=PB=PC=6，故 AB=BC=AC=6 ， 易知 PG= =3 ，GD= = ，由勾股定理得 PD= =2 ， 19 【分析】 （）若 n=19，结合题意，可得 y 与 x 的分段函数解析式； （）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于 n” 的频率不小于 0.5，可得 n 的最小值； （）分别求出每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零件时的平均费用， 比较后，可得答案 【解答】解：（）当 n=19 时， y= = （）由柱状图知，更换的易损零件数为 16 个频率为 0.06， 更换的易损零件数为 17 个频率为 0.16， 更换的易损零件数为 18 个频率为 0.24， 更换的易损零件数为 19 个频率为 0.24 又 更换易损零件不大于 n 的频率为不小于 0.5 则 n19 n 的最小值为 19 件；（）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件， 所须费用平均数为： （70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 20 个易损零件， 所须费用平均数为 （90×4000+10×4500）=4050（元） 4000 4050 购买 1 台机器的同时应购买 19 台易损零件 20 【分析】 （）求出 P，N ，H 的坐标，利用 = ，求 ； （）直线 MH 的方程为 y= x+t ，与抛物线方程联立，消去 x 可得 y 2 4ty+4t 2 =0，利用判 别式可得结论|【解答】解：（）将直线 l 与抛物线方程联立，解得 P （ ，t ） ， M 关于点 P 的对称点为 N， = ， =t ， N（ ，t） ， ON 的方程为 y= x， 与抛物线方程联立，解得 H（ ，2t ） = =2； （）由（）知 k MH = ， 直线 MH 的方程为 y= x+t，与抛物线方程联立，消去 x 可得 y 2 4ty+4t 2 =0， =16t 2 4×4t 2 =0 ， 直线 MH 与 C 除点 H 外没有其它公共点 21 【分析】 （）求出 f （x）的导数，讨论当 a0 时，a 时，a= 时， a0，由导数 大于 0，可得增区间；由导数小于 0，可得减区间； （）由（）的单调区间，对 a 讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求 范围 【解答】解：（）由 f （x）= （x2）e x +a （x1） 2 ， 可得 f （x）=（x1）e x +2a（x1）=（x1） （e x +2a ） ， 当 a0 时，由 f（x）0，可得 x1；由 f（x）0，可得 x1， 即有 f（x）在（，1）递减；在（1，+）递增； 当 a 0 时，若 a= ，则 f （x）0 恒成立，即有 f （x）在 R 上递增； 若 a 时，由 f （x）0，可得 x1 或 xln （2a） ； 由 f （x）0，可得 1xln（2a） 即有 f（x）在（，1） ， （ln （2a） ，+）递增； 在（1，ln（2a） ）递减；|若 a0，由 f （x）0，可得 x1 或 xln （2a） ； 由 f （x）0，可得 1xln（2a） 即有 f（x）在（，1） ， （ln （2a） ，+）递减； 在（1，ln（2a） ）递增； （）由（）可得若 a0 时，f（x）在（ ，1）递减；在（1，+）递增，且 f（1）= e0，x+，f（x）+；x，f （x）+f（x）有两个零点； 若 a 时，f （x）在（ ，1） ， （ln （2a ） ，+ ）递增， 在（1，ln（2a） ）递减，f（1）= e0，f （x）只有一个零点； 若 a= ，f（x）在 R 上递增，f（x）只有一个零点； 若 a0，f（x）在（ ，1） ， （ln （2a ） ，+ ）递减； 在（1，ln（2a） ）递增；且 f（1）= e0，x+ ，f （x）+； x，f（x） f （x）在（1，+ ）只有一个零点， f（x）若恰有两个零点，只要使 f （ln （2a ） ）=0， 即（ln（2a）2） （2a）+aln （2a）1 2 =0， 即有 42ln （2a ）+ln （2a ） 1 2 =0， 又 a0，可得 ln（2a ）1，42ln （2a）0，ln（2a）1 2 0，则不可能为 0， 综上可得，f （x）有两个零点时，a 的取值范围为0 ，+） 22 【分析】 （）过点 O 作 OK AB 于点 K根据等腰三角形 AOB 的性质知 OKAB，A=30° ，OK=OAsin30°= r，则 AB 是圆 O 的切线 （）设圆心为 T，证明 OT 为 AB 的中垂线，OT 为 CD 的中垂线，即可证明结论 【解答】证明：（）设圆的半径为 r ，作 OKAB 于 K， OA=OB，AOB=120° ， OK AB，A=30°，OK=OAsin30°= r， 直线 AB 与O 相切； （）点 C，D 在O 上，且 A ，B ，C，D 四点共圆，不妨设圆心为 T，|OA=OB，TA=TB， OT 为 AB 的中垂线， 同理，OC=OD ，TC=TD ， OT 为 CD 的中垂线， ABCD 23 【分析】 （）把曲线 C 1 的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲 线 C 1 是圆，化为一般式，结合 x 2 +y 2 = 2 ，y=sin 化为极坐标方程； （）化曲线 C 2 、C 3 的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知 y=x 为圆 C 1 与 C 2 的公 共弦所在直线方程，把 C 1 与 C 2 的方程作差，结合公共弦所在直线方程为 y=x 可得 1a 2 =0 ，则 a 值可求 【解答】解：（）由 ，得 ，两式平方相加得，x 2 +（y1） 2 =a 2 C 1 为以（0，1）为圆心，以 a 为半径的圆 化为一般式：x 2 +y 2 2y+1a 2 =0 由 x 2 +y 2 = 2 ，y=sin，得 2 2sin+1a 2 =0 ； （）C 2 ：=4cos，两边同时乘 得 2 =4cos， x 2 +y 2 =4x， 即（x2 ） 2 +y 2 =4 由 C 3 ：= 0 ，其中 0 满足 tan 0 =2，得 y=2x， 曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上， y=2x 为圆 C 1 与 C 2 的公共弦所在直线方程， 得：4x2y+1 a 2 =0，即为 C 3 ， 1a 2 =0 ， a=1（a 0） 24 【分析】 （）运用分段函数的形式写出 f （x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到 所求图象； （）分别讨论当 x1 时，当1x 时，当 x 时，解绝对值不等式，取交集，最后求 并集即可得到所求解集 【解答】解：（）f （x）= ，|由分段函数的图象画法，可得 f（x）的图象，如右： （）由|f（x）|1，可得 当 x1 时，|x 4|1，解得 x5 或 x3，即有 x1； 当1 x 时，|3x 2| 1，解得 x1 或 x ， 即有1x 或 1x ； 当 x 时，|4x| 1，解得 x5 或 x3，即有 x5 或 x3 综上可得，x 或 1x3 或 x5 则|f （x）|1 的解集为（， ） （1，3）（5，+ ）