二阶导数的意义.doc
二阶导数的意思 二阶导数确实是对一阶导数再求导一次， 意思 如下：1歪 线歪 率变更 的速率 ，表现 的是一阶导数的变更 率如物理上的减速率 等2函数的凹凸性。3推断 极年夜 值极小值。联合 一阶、二阶导数能够 求函数的极值。当一阶导数即是 零，而二阶导数年夜 于零时，为极小值点；当一阶导数即是 零，而二阶导数小于零时，为极年夜 值点；当一阶导数、二阶导数都即是 零时，为驻点。驻点的数学含意 ：函数的导数为0的点称为函数的驻点，驻点能够 分别 函数的枯燥 区间。驻点跟 拐点的区不在驻点处的枯燥 性能够改动，而在拐点处凹凸性确信 改动。拐点：二阶导数为零。且三阶导不为零驻点：一阶导数为零。二阶导数为零时，一阶不必定 为零；一阶导数为零时，二阶不必定 为零。拐点不必定 是驻点 驻点也不必定 是拐点一、用二阶导数推断 极年夜 值或极小值定理设在二阶可导，且(1) 假定，那么在获得极年夜 值；(2) 假定，那么在获得极小值例 试咨询 为何值时，函数在处获得极值？它是极年夜 值依然 极小值？求此极值解 由假定知，从而有，即又事先，且，因而 在处获得极年夜 值，且极年夜 值例 求函数的极年夜 值与极小值解 在上延续，可导令，得 跟 ，考虑： 在获得极年夜 依然 极小值？在获得极年夜 依然 极小值？-1代入二阶导数表白 式为-12，在获得极年夜 值3代入二阶导数表白 式12，在获得极小值二、函数图像凹凸定理 假定在内二阶可导，那么曲线在内的图像是凹曲线的充要前提 是，曲线在内的图像是凸曲线的充要前提 是，。多少 何的直不雅 说明 ：假如假如一个函数f(x)在某个区间I上有恒成破 ，那么在区间I上f(x)的图象上的恣意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。. 曲线的凸性对函数的枯燥 性、极值、最年夜 值与最小值进展了探讨 ，使咱们 明白了函数变更 的年夜 抵 状况但这还不敷 ，由于同属单增的两个可导函数的图形，尽管从左到右曲线都在回升 ，但它们的曲折 偏向 却能够 差别 如图11中的曲线为向下凸，而图12中的曲线为向上凸 图 11 图 12界说 设在内可导，假定曲线位于其每点处切线的上方，那么称它为在内下凸(或上凹)；假定曲线位于其每点处切线的下方，那么称它在内上凸(或下凹)响应 地，也称函数分不为内的下凸函数跟 上凸函数(平日 把上凸函数称为凸函数)依照函数图象推断 ：普通启齿向下的二次函数是凸函数，启齿向上的二次函数是凹函数。在函数f(x)的图象上取恣意两点，假如函数图象在这两点之间的局部总在衔接这两点的线段的下方，那么那个 函数确实是凹函数。直不雅 上看，凸函数确实是图象向上凸起 来的。比方y=-x2,y=lnx。只是弥补 一下，中国数学界对于 函数凹凸性界说 跟 外洋 非常多界说 是反的。Convex Function在国际的数学书中指凹函数。Concave Function指凸函数。在国际触及经济学的非常多书中，凹凸性的提法跟 外洋 的提法是分歧的，也确实是跟 纯真 的数学课本 是反的。非常头年夜 的咨询 题。 别的 ，国际各差别 窗科课本 、领导 书的对于 凹凸的说法也是相反的。普通来说，可按如下办法精确阐明：1f(x1+(1-)x2)<=f(x1)+(1-)f(x2) ， 即V型，为“凸向原点，或“下凸也可说上凹，有的简称凸，有的简称凹 2、f(x1+(1-)x2)>=f(x1)+(1-)f(x2) ， 即A型，为“凹向原点，或“上凸下凹，异样有的简称凹，有的简称凸 凸/凹向原点这种说法了如指掌。高低 凸的说法也不 歧义。平日 咱们 把函数f的图象画在第1象限，站在x坐标轴的角度,看上方的图象，f">0的函数是“凸的；一代宗师Hardy的Inequalities书中就这么以为的。然而 ，当年夜 官是每每 站在高处,看下去确实是凹的；国人笔墨 “凹也对应f">0的函数图象。我想：中国教导 部的官员假定下规则的话，肯定与Hardy相反。从图11跟 图12分明看出，下凸曲线的歪 率(此中 为切线的倾角)跟着 的增年夜 而增年夜 ，即为单增函数；上凸曲线歪 率跟着 的增年夜 而减小，也确实是说，为单减函数但的枯燥 性可由二阶导数来断定，因而有下述定理定理 假定在内二阶可导，那么曲线在内下凸(凹函数)的充要前提 是 例1 探讨 高斯曲线的凸性解 ，因而 当，即当或时；当，即事先因而在区间与内曲线下凸；在区间内曲线上凸导数的意思 导数是高中数学的新增内容之一，在高中阶段的引入意思 深远，应用导数既可从更深的角度来研讨函数性子 ，又可更普遍地联络其余 学科，表白 数学学科的根底性。一、一阶导数的多少 何意思 与物理意思 1函数在点处的导数的多少 何意思 ：表现 曲线在点处的切线的歪 率。2函数在点处的导数的物理意思 ：指函数在处对自变量x的变更 率。在非常多物理量中基本上 借助变更 率界说 的。比方 ，角速率 是角度作为时辰 的函数对时辰 的变更 率；电流是电量作为时辰 的函数对时辰 的变更 率；刹时 功率是功作为时辰 的函数对时辰 的变更 率；刹时 电动势是磁通量作为时辰 的函数对时辰 的变更 率。最常用的是刹时 速率 ，假定SSt，那么物体在时辰的刹时 速率 。二、二阶导数的物理意思 函数的二阶导数指对自变量x的变更 率。在物理量中最常用的为刹时 减速率 ，假定那么物体在t时辰的减速率 三、与的意思 1的意思 ：假定函数在某个区间内可导，表现 在那个 区间内为增函数；2的间义：假定函数在某个区间内可导，表现 在那个 区间内为减函数。四、的意思 的意思 ：假如在某个区间内恒有，那么为常函数。是有极值的须要 前提 。1求极值。求可导函数的极值步调 ：<1>求导数；<2>求方程的根；<3>反省在方程根阁下 的值的状况，假如左正右负，那么在那个 根处取极年夜 值；假如左负右正，那么在那个 根处取极小值。2求最值。设函数在a，b上延续，在a，b内可导，求f(x)在a，b上的最年夜 值与最小值的步调 ：<1>求f(x)在a，b内的极值；<2>将的各极值与比拟，此中 最年夜 的确实是最年夜 值，最小的确实是最小值。精选可编纂
