公共基础（数理化）精讲班第一章高等.doc
第2章函数、极限、连续第一节函数1函数的不雅念1定义：设是两个变量，是给定的实数集，假设有一个对应法那么，使得关于每一个实数，变量都有独一判定的数值与之对应，那么称变量是变量的函数，记为其中称为自变量，称为函数。聚拢称为该函数的定义域。事前，对应的取值称为函数值，函数值的全体构成的聚拢称为该函数的值域。2函数的定义域是使得该函数有意思的实数全体，假设函数有理论意思，定义域由理论意思判定。3一元函数还可表为隐函数，跟参数式。2.函数根天分质1单调性：假设函数关于区间内的任意两点，都有或那么称函数在区间内单调增加或单调增加。2有界性：假设函数关于区间内的一切，都有其中是一个畸形数，那么称函数在区间内有界。在全体定义域内有界的函数称为有界函数。3奇偶性：假设函数关于区间内的一切，都有那么称为偶函数；关于区间内的一切，都有那么称为奇函数。注：偶函数的图形关于轴对称，奇函数的图形关于原点对称。4周期性：假设函数关于定义域内的一切，都有那么称函数为周期函数，为函数的周期，理论中常指最小正周期。【例题2-1】设，那么：(A)为偶函数，值域为(B)为奇函数，值域为(C)为奇函数，值域为(D)为奇函数，值域为解：，为奇函数。又的定义域为，在定义域内，故是单增调的，又,，因而值域为，应选(C)【例题2-2】函数是定义域内的：(A)有界函数(B)无界函数(C)单调函数(D)周期函数解：是有界函数，与复合后依然有界的。其余选项都差错，应选A。3.全然初等函数1全然初等函数：幂函数为实数指数函数对数函数，三角函数反三角函数2常用结论对数运算法那么：三角函数公式：4.初等函数1函数的复合：设是的函数，而又是的函数，假设关于的定义域中的某些值所对应的值，函数有定义，那么通过的联系也是的函数，称为由及复合而成的函数，记为，其中称为中间变量。比如：是由这三个庞杂函数复合而成。（2） 初等函数：由常数跟全然初等函数通过无限次四那么运算、无限次复合步伐所构成，且可用一个式子表示的函数称为初等函数。第二节：极限1.数列的极限1定义：关于数列，假设当无限增大年夜时，通项无限趋近于某个判定的常数，那么称常数为数列的极限。记为2结论：1单调有界数列必有极限。2收敛数列的任一子列全然上收敛的。2.函数极限不雅念定义1：假设当无限增大年夜时，函数无限趋近于某个判定的常数，那么称常数为函数事前的极限，记为同理可定义事前，函数的极限，且有且定义2：设函数在的某去心邻域内有定义，当自变量趋近时，函数无限趋近于某个判定的常数，那么称常数为函数事前的极限，记为同理可定义当跟时，函数的极限，称为在该点的左、右极限，且有且【例题2-3】函数在时,的极限是:(A)2(B)3(C)0(D)不存在解：由,，在左右极限存在但不相当，故时,的极限不存在,应选(D).3.无穷小跟无穷大年夜1)定义:无穷小：假设，那么称为对应极限过程下的无穷小量无穷大年夜：假设，那么称为对应极限过程下的无穷大批2无穷大年夜与无穷小互为倒数关系。3无穷小的性质1无限个无穷小的跟积仍为无穷小；2有界量与无穷小的乘积依然无穷小。讨论极限4无穷小比较假设事前，跟全然上无穷小，那么假设，是的高阶无穷小；假设(为常数)，跟是同阶无穷小；假设，跟是等价无穷小，记为。5等价无穷小代换1假设事前，那么2事前，常用的等价无穷小有，【例题2-4】设，那么事前，以下结论中精确的选项是：A与是等价无穷小B是的高阶无穷小C是低阶无穷小D与是同阶无穷小但不是等价无穷小解：因，故与是同阶无穷小但不是等价无穷小，应选(D).4求极限的几多个要紧结论1两个要紧极限，【例题2-5】以下极限打算中，差错的选项是：ABCD解:由于，而是有界量，按照无穷小量与有界量的乘积仍然无穷小量，知，故差错，应选(B)。由于利，知A)选项是精确的。又，知C)跟(D)选项全然上精确的。2有理式的极限设，1事前，假设，那么假设且，那么；假设且，那么为未定式，可用罗比达法那么或通过去零因子来求极限。2事前，有以下结论【例题2-6】假设，那么与的值是：(A)为任意实数(B)；(C)；(D)解：由，分子的幂次必须高于分母的幂次，故有为任意实数，应选(A)。3罗必达法那么事前，；1在点某去心邻域内或事前及都存在且；2存在或为无穷大年夜，那么【例题2-7】求极限时，以下各种解法中精确的选项是：A用罗比达法那么后，求得极限为0B由于不存在，因而上述极限不存在C原式=D由于不克不迭用罗比达法那么，故极限不存在解:由于无穷小与有界量的乘积，而，故应选C。由于，当时极限不存在，故不克不迭用罗比达法那么，但求导后极限不存在不克不迭得出原极限不存在，因而选项A跟D都差错；又，B选项错。【例题2-8】以下极限式中，能够应用洛必达法那么求极限的是：A.B.C.D.分析:使用洛必达法那么,故应选B.而不是未定式；是型未定式，但分子分母分不求导后极限不存在；是型未定式，分子分母分不求导后依然型未定式，再次应用洛必达法那么又回到原式。因而答案B.
