最新04 第四节幂级数.doc
第四节幂级数散布图示函数项级数的普通观点例1例2例3幂级数的观点幂级数的收敛域收敛半径的求法求收敛域的根本步调例4例5例6例7幂级数的代数运算例8幂级数跟剖析运算性子例9例10例11例12内容小结讲堂训练习题12-4前往内容要点一、函数项级数的根本观点；函数项级数在某地区的收敛性咨询题，是指函数项级数在该地区内恣意一点的收敛性咨询题，而函数项级数在某点的收敛咨询题，本质上是常数项级数的收敛咨询题.如此，咱们仍可应用常数项级数的收敛性判不法来推断函数项级数的收敛性.二、幂级数及其收敛性；阿贝尔定理；三、收敛半径及其求法:依照幂级数的系数的方式，当幂级数的各项是依幂次延续的时分，可用对其系数使用比值判不法或根值判不法直截了当求出收敛半径，即有或；假如幂级数出缺项，如短少奇数次幂的项等，那么应将幂级数视为函数项级数并应用比值判不法或根值判不法其收敛域；四、求幂级数收敛域的根本步调：1求出收敛半径R.；2判不常数项级数的收敛性；3写出幂级数的收敛域.五、幂级数的算术运算：加、减、乘、除；六、幂级数的剖析运算：跟函数的延续性；逐项求导公式；逐项积分公式；多少何级数的跟函数是幂级数求跟中的一个根本的后果咱们所探讨的很多级数求跟的咨询题都能够应用幂级数的运算性子转化为多少何级数的求跟咨询题来处理例题选讲函数项级数的收敛域例1E01求级数的收敛域.解由比值判不法(1)立即或时,原级数相对收敛.(2)立即时,原级数发散.(3)当或时,级数为收敛;时，级数为发散,故级数的收敛域为例2断定级数的收敛域.解事先，级数为此级数收敛.事先，记有由比值判不法知,如今级数相对收敛,故级数收敛.因而,级数的收敛域为例3E02求级数的收敛域.解因事先，级数发散.事先，级数去掉落后面的无限项(最多去掉落前项,它不妨碍级数的收敛性)后为正级数,而且级数事先收敛,时发散.由比拟判不法的极限方式知,题设级数事先收敛,即收敛域为求幂级数的收敛域例4E03求以下幂级数的收敛域解因而收敛半径事先，级数成为该级数收敛;事先，级数成为该级数发散.从而所求收敛域为(2)由于故收敛半径即题设级数只在处收敛.(3)由于因而收敛半径所求收敛域为例5E04求幂级数的收敛域解令题设级数化为由于因而收敛半径收敛区间为即事先，级数成为该级数发散;事先,级数成为该级数收敛.从而所求收敛域为例6E05求幂级数的收敛域.解题设级数短少偶数次幂，如今可直截了当应用比值判不法:立即时，级数收敛;立即时，级数发散,因而收敛半径事先，级数成为该级数发散;事先，级数成为该级数发散.故所求收敛域为例7求函数项级数的收敛域.解令原级数变为轻易求得级数的收敛域为即解此不等式得因而原级数的收敛域为幂级数的运算例8E06求幂级数的收敛域.解从例4的(1)知,级数的收敛域为对级数有因而,其收敛半径为4.易见事先，该级数发散.因而级数的收敛域为由幂级数的代数运算性子，题设级数的收敛域为求幂级数的跟函数，剖析运算性子的使用例9E07求幂级数的跟函数.解由例4(1)的后果知，题设级数的收敛域为设其跟函数为即显然且由积分公式得因题设级数在时收敛，因而例10E08求幂级数的跟函数.解由于，故题设级数的收敛半径R=1，易见事先，题设级数发散，因而题设级数的收敛域为设那么在上式两头求导，得所求跟函数例11求级数的跟.解所求级数的跟是幂级数事先的跟.设逐项求导,得双方积分,得即又因因而故所求原级数的跟为例12求幂级数的跟.解设那么将上式两头对积分,得由得两头积分得由得即讲堂训练1.幂级数逐项求导后,收敛半径稳定,那么它的收敛域能否也稳定?2.求所给幂级数的收敛域:;3.求幂级数的跟函数.阿贝尔Abel,NiclsHenrik，18021829阿贝尔挪威数学家，1802年8月5日生于挪威芬岛；1829年4月6日卒于挪威弗鲁兰。阿贝尔出生贫穷，未能遭到零碎教导，发蒙教导得自于他的父亲。1813年，年仅13岁的阿贝尔进入奥斯陆的一所教会黉舍进修。后来，黉舍里缺少活力的教导办法不惹起他对数学的兴味。15岁时，他侥幸地碰到一位优良数学老师，使他对数学发生了兴味。阿贝尔敏捷学完了初等数学课程。而后，他在老师的指点下攻读初等数学，同时还自学了许少数学巨匠的著述。1821年秋，阿贝尔在一些教学资助下进入了奥斯陆年夜学进修。1825年年夜学结业后，他决议请求经费出国，接着进修跟追求职位。在德国他结识了一位非常有妨碍的工程师A.L.克雷尔，在阿贝尔及冤家的资助下，克雷尔于1826年兴办了有名的数学刊物地道与使用数学杂志，后被称为克雷尔杂志。它的第一卷登载了7篇阿贝尔的文章，克雷尔杂志头三篇共宣布了他的22篇包含方程、无量级数、椭圆函数等方面的创始性论文。今后，欧洲年夜陆数学家才开场留意他的任务。1826年7月，阿贝尔从柏林离开巴黎，碰见了勒让德跟柯西等有名数学家，他写了一篇题为“对于一类普遍的逾越函数的一个普通性子的文章，于1826年10月30日提交给法国迷信院，可怜未掉掉落注重，事先迷信院的秘书傅里叶读了论文的弁言，而后委托勒让德跟柯西对论文作出评估，柯西是要紧担负人，这篇论文非常长并且难明白，由于它饱含了很多新观点。柯西把它放在一边，醉心本人的任务。勒让德也把它不记得了。现实上，这篇论文直到阿贝尔逝世后的1841年才宣布。1826岁尾，阿贝尔回到柏林。未多少，他染上了肺结核，克雷尔协助了他，请他担负克雷尔杂志的编纂，同时为他谋请教学职位，但未取得胜利。1827年5月20日，阿贝尔回到奥斯陆。返国后更绝望，依然不寻离职位的希冀，他不得不靠作家庭老师维生。在贫病交煎、茹苦含辛的顺境中，他并滑倒下去，依然保持研讨，取得了很多严重效果。他定下了一系列对于椭圆函数的文章，发觉了椭圆函数的定理、双周期性，并引进了椭圆函数的反演。恰是这些严重发觉才使欧洲数学家们看法到他的代价。1828年9月，四名法国迷信院院士上书给挪威国王，请他为这位天赋布置一个适宜的职位。勒让德在1829年2月25日迷信院集会上，也对阿贝尔及其任务年夜加赞扬。同年4月6日，阿贝尔怀着激烈的求生愿望跟接着为迷信奇迹做奉献的幻想，在病魔侵袭的哀伤中，寿终正寝了。就在他去两天后，克雷尔来信告诉他已被柏林年夜学录用为数学教学。尔后声誉跟嘉奖相继而来，1830年6月28日，他跟雅可比独特取得了法国迷信院年夜奖。
