高三数学寒假课程第9讲-等差数列与等比数列.doc

第九讲 等差数列与等比数列【知识回顾】一、等差数列涉及等差数列的基本概念的问题，常用基本量来处理； 若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元 等差数列的相关性质:等差数列中，变式；等差数列的任意连续项的和构成的数列仍为等差数列等差数列中，若，则，若，则等差数列中，（其中）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列 若是公差为的等差数列，则其子列也是等差数列，且公差为; 也是等差数列，且公差为.在项数为项的等差数列中，； 在项数为项的等差数列中， 等差数列中，也是一个等差数列，即点（）在一条直线上.两个等差数列与中，分别是它们的前项和，则.二、等比数列涉及等比数列的基本概念的问题，常用基本量来处理；已知三个数成等比数列时，可设这三个数依次为或；四个数时设为、等比数列的相关性质:若是等比数列，则；若是等比数列，当时， 特别地，当时，若是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列；若是等比数列，是的前项和，则， ， 成等比数列两个等比数列与的积、商、倒数的数列、仍为等比数列【考点剖析】考点一 等差数列的通项和求和公式例1、等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于 （ ）A1 B. C.- 2 D. 3选题意图：本题涉及等差数列的基本概念的问题，用基本量来处理答案：C解析：且，故选C.例2、已知为等差数列，+=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是 （ ） （ ） （A）21 （B）20 （C）19 （D） 18 选题意图：本题涉及等差数列的前n项和最大的问题，是比较典型的答案：B解析：由+=105得即，由=99得即 ，由得，选B变式训练：将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为 .答案：解析：前n1 行共有正整数12（n1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第3个，即为点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力.考点二 等比数列的通项和求和公式例3 、已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= （ ）A. B. C. D.2 选题意图：本题涉及等比数列的基本概念的问题，用基本量来处理答案：B解析：设公比为，由已知得，即，又因为等比数列的公比为正数，所以，故，选B.例4 、设为等比数列的前项和，求公比的值.选题意图：本题考查等比数列的求和公式答案解析：若，则，由得舍去.所以，由得，.变式训练：已知数列，Sn是它的前n项和，且，（1）设，求证:数列是等比数列；（2）设，求证:数列是等差数列.选题意图：本题考查等差数列、等比数列的证明.证明数列是等差数列还是等比数列.应紧扣定义式;而数列的前n项和Sn已知可求答案解析：（1），即 ，故由此可得是等比数列且首项（2）可知是首项的等差数列，.考点三 等差数列的性质例5、 设等差数列的前项和为，若，则= .选题意图：本题考查等差数列的性质解析：是等差数列，由，得， . 例6、等差数列的前n项和为，已知，则 .（A）38 （B）20 （C）10 （D）9 w.w.w.k.选题意图：本题考查等差数列的性质，比较典型答案：C解析：因为是等差数列，所以，由，得：20，所以，2，又，即38，整理得（2m1）×238，解得m10，故选C.变式训练：两个等差数列则=_. 答案： 考点四 等比数列的性质例7、设等比数列 的前n 项和为 ，若 =3 ，则 =（ ） （A） 2 （B） （C） （D）3选题意图：本题考查等比数列的性质，比较典型答案：B解析：设公比为q ，则1q33 Þ q32，于是例8、在等比数列中， 若是方程的两根，则=_. 选题意图：本题考查等比数列的性质、根与系数的关系，比较简单答案： 解析： 变式训练：在等比数列中，完成下列各题：（1）若，且，求的值；（2）若，求的值；答案解析：（1），即，又因为，所以（2）因为，所以考点五 等差数列、等比数列的综合例9、等差数列的公差不为零，首项1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是 （ ） A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 选题意图：本题考查等差数列的前n项，等比中项等内容答案：B解析：设公差为，则.0，解得2，100例10、设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ） A B CD选题意图：本题考查等差数列的前n项和，等比数列的概念答案：A解析：设数列的公差为，则据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和例11、公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项， ，则等于 （ ） A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 选题意图：本题考查等差数列的前n项，等比中项等内容答案：C解析：由得得，再由得则，所以.例12、已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且前项和满足=+（）.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列前项和为，问>的最小正整数是多少?选题意图：本题考查等差数列、等比数列的综合应用解析：（1）， ， .又数列成等比数列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又， ；数列构成一个首项为1公差为1的等差数列，故 ， 当， ；（）；（2）；由得，满足的最小正整数为112.【课后作业】1.在等差数列中，则的前5项和=（ ） A.7 B.15 C.20 D.252.已知为等比数列，则（ ） 3.定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：； ； ； .则其中是“保等比数列函数”的的序号为 （ ）A B C D 4.已知等差数列的前n项和为Sn，则数列的前100项和为（ ）（A） （B） （C） （D） 5.已知等比数列an为递增数列，且，则数列an的通项公式an =_.6.设数列，都是等差数列，若，则_.7.已知等差数列为其前n项和.若，则=_.8.已知各项均为正数的两个数列和满足：，（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，且是等比数列，求和的值9. 已知是等差数列，其前n项和为Sn，是等比数列，且，.（）求数列与的通项公式；（）记，证明（）.【参考答案】1.【答案】B【解析】因为，所以，所以数列的前5项和，选B.2.【答案】D【解析】因为为等比数列，所以，又，所以或.若，解得，；若，解得，仍有，综上选D.3.【答案】C【解析】等比数列性质，； ；.故选C4.【答案】A【解析】由，得，所以，所以，又，选A.5.【答案】【解析】，解得或（舍去），.6.【答案】35【解析】设数列的公差分别为，则由，得，即，所以，所以.7.【答案】，【解析】因为，所以，.8.【解析】（1），. . .数列是以1 为公差的等差数列.（2），.（）设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明若则，当时，与（）矛盾.若则，当时，与（）矛盾.综上所述，.，.又，是公比是的等比数列.若，则，于是.又由即，得.中至少有两项相同，与矛盾. .9.【解析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，则 故（2）