高中数学 第二章 2.3等差数列的前n项和(二)导学案新人教A版必修5.doc

§2.3等差数列的前n项和(二)课时目标1熟练掌握等差数列前n项和的性质，并能灵活运用2掌握等差数列前n项和的最值问题3理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.1前n项和Sn与an之间的关系对任意数列an，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为an2等差数列前n项和公式Snna1d.3等差数列前n项和的最值(1)在等差数列an中当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定(2)因为Snn2n，若d0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值一个有用的结论：若Snan2bn，则数列an是等差数列反之亦然一、选择题1已知数列an的前n项和Snn2，则an等于()An Bn2C2n1 D2n1答案D2数列an为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn(n1)2，则的值是()A2 B1 C0 D1答案B解析等差数列前n项和Sn的形式为：Snan2bn，1.3已知数列an的前n项和Snn29n，第k项满足5<ak<8，则k为()A9 B8 C7 D6答案B解析由an，an2n10.由5<2k10<8，得7.5<k<9，k8.4设Sn是等差数列an的前n项和，若，则等于()A. B. C. D.答案A解析方法一a12d，.方法二由，得S63S3.S3，S6S3，S9S6，S12S9仍然是等差数列，公差为(S6S3)S3S3，从而S9S6S32S33S3S96S3，S12S9S33S34S3S1210S3，所以.5设Sn是等差数列an的前n项和，若，则等于()A1 B1C2 D.答案A解析由等差数列的性质，×1.6设an是等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6S7>S8，则下列结论错误的是()Ad<0 Ba70CS9>S5 DS6与S7均为Sn的最大值答案C解析由S5<S6，得a6S6S5>0.又S6S7a70，所以d<0.由S7>S8a8<0，因此，S9S5a6a7a8a92(a7a8)<0即S9<S5.二、填空题7数列an的前n项和为Sn，且Snn2n，(nN*)，则通项an_.答案2n28在等差数列an中，a125，S9S17，则前n项和Sn的最大值是_答案169解析方法一利用前n项和公式和二次函数性质由S17S9，得25×17×(171)d25×9×(91)d，解得d2，所以Sn25n(n1)×(2)(n13)2169，由二次函数性质可知，当n13时，Sn有最大值169.方法二先求出d2，因为a125>0，由得所以当n13时，Sn有最大值S1325×13×(2)169.因此Sn的最大值为169.方法三由S17S9，得a10a11a170，而a10a17a11a16a12a15a13a14，故a13a140.由方法一知d2<0，又因为a1>0，所以a13>0，a14<0，故当n13时，Sn有最大值S1325×13×(2)169.因此Sn的最大值为169.9在等差数列an中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n_.答案10解析由已知，a1a2a315，anan1an278，两式相加，得(a1an)(a2an1)(a3an2)93，即a1an31.由Sn155，得n10.10等差数列an中，a1<0，S9S12，该数列在nk时，前n项和Sn取到最小值，则k的值是_答案10或11解析方法一由S9S12，得da1，由，得，解得10n11.当n为10或11时，Sn取最小值，该数列前10项或前11项的和最小方法二由S9S12，得da1，由Snna1dn2n，得Sn·n2·n2a1 (a1<0)，由二次函数性质可知n10.5时，Sn最小但nN*，故n10或11时Sn取得最小值三、解答题11设等差数列an满足a35，a109.(1)求an的通项公式；(2)求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值解(1)由ana1(n1)d及a35，a109得可解得所以数列an的通项公式为an112n.(2)由(1)知，Snna1d10nn2.因为Sn(n5)225，所以当n5时，Sn取得最大值12已知等差数列an中，记Sn是它的前n项和，若S216，S424，求数列|an|的前n项和Tn.解由S216，S424，得即解得所以等差数列an的通项公式为an112n (nN*)(1)当n5时，Tn|a1|a2|an|a1a2anSnn210n.(2)当n6时，Tn|a1|a2|an|a1a2a5a6a7an2S5Sn2×(5210×5)(n210n)n210n50，故Tn能力提升13数列an的前n项和Sn3n2n2 (nN*)，则当n2时，下列不等式成立的是()ASn>na1>nan BSn>nan>na1Cna1>Sn>nan Dnan>Sn>na1 答案C解析方法一由an，解得an54n.a154×11，na1n，nan5n4n2，na1Snn(3n2n2)2n22n2n(n1)>0.Snnan3n2n2(5n4n2)2n22n>0.na1>Sn>nan.方法二an54n，当n2时，Sn2，na12，nan6，na1>Sn>nan.14设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由解(1)根据题意，有：整理得：解之得：<d<3.(2)d<0，而S1313a7<0，a7<0.又S126(a1a12)6(a6a7)>0，a6>0.数列an的前6项和S6最大1公式anSnSn1并非对所有的nN*都成立，而只对n2的正整数才成立由Sn求通项公式anf(n)时，要分n1和n2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示2求等差数列前n项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意nN*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值3求等差数列an前n项的绝对值之和，关键是找到数列an的正负项的分界点