数列与数学归纳法陈.doc
第七章 数列与数学归纳法7.5 数学归纳法的应用【教学目标】1理解数学归纳法的原理，进一步掌握数学归纳法证明的步骤，会利用数学归纳法证明等式、整除问题；2在例题的学习过程中，体会用数学归纳法证明问题的一般程序，感受特殊到一般的思想，培养学生探究的精神和严谨的思维品质；3在师生共同解决问题的过程中，品味解决数学问题的乐趣，从而更好的学习数学。【教学重点】进一步掌握数学归纳法的证明步骤和数学归纳法的应用。【教学难点】 用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除【教材分析】本节课的主要内容是用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除.教学时应对书写与表达提出严格的要求.尤其是在证明数或式的整除性时，更要注意说理清楚，并以此作为培养学生逻辑推理能力的一个抓手.而本节课的难点是用数学归纳法证明数或式的整除性.突破难点的关键是在授课时要重点分析“补项法”的证明思路：通过补项为运用归纳假设创造条件.不要让学生单纯机械地模仿.另外还常用作差方法，通过相减后，证明差能被某数（或某式）整除,再利用归纳假设可得当时命题成立. 【教学过程】一、复习巩固：1.下列命题中能用数学归纳法证明的是 （ ）（A）三角形的内角和为（B）（C）（D）2数学归纳法证明中，在验证了时命题正确。假定时命题正确，这里的取值范围是（）（）（）（）（）下列命题是真命题还是假命题？用数学归纳法证明过程是否正确？如有错误请改正：若，则证明：假设时等式成立，即则当时， 成立所以，等式对一切均成立。4、某个命题：（1）当时，命题成立。 （2）假设时成立，可以推出时也成立；则命题对（ ）成立。 （A）正整数 （B）正奇数 （C）正偶数 （D）都不是二、讲授新课:1、恒等式证明问题：例1、用数学归纳法证明: 证明：（）当 时，左边，右边，等式成立。 （）假设当时，等式成立，即 ， 那么，当时， , 等式也成立。 根据（）和（）可以断定，对任何都成立。例2、用数学归纳法证明： 证明：（）当 时，左边，右边，等式成立。 （）假设当时，等式成立，即 那么，当时， ， 等式也成立。 根据（）和（）可以断定，对任何都成立。2、整除问题例3、求证：能被64整除。 证明：（）当 时，能被64整除 （）假设当时，结论成立，即 能被64整除。 那么，当时， 能被64整除，也能被64整除 能被64整除。 根据（）和（）可以断定，能被64整除。三、课堂反馈 学生练习：用数学归纳法证明：能被7整除。证明：（）当 时，能被7整除。 （）假设当时，结论成立，即 能被7整除。 那么，当时， 能被64整除，7也能被64整除 能被64整除。 根据（）和（）可以断定，能被7整除。四、思考创新 已知数列的递推公式为， （1）求数列的前5项的值； （2）猜测数列的通项公式，并用数学归纳法证明。 解：（1）；。 （2）猜想：数列的通项公式为 证明：（）当 时，,结论成立; （）假设当时，结论成立，即 那么，当时， 结论也成立。 根据（）和（）可以断定，。五、课堂小结今天这节课讲的是数学归纳法的两个方面的应用：恒等式证明问题和整除问题。在证明过程中要关注：1、用数学归纳法证明问题的两个步骤缺一不可；2、注意第一步中时左右两边的形式，第二步中时应增减的式子；3、第二步中证明时命题成立是全局的主体，主要注意两个“凑”：一是凑时的形式（这样才好利用归纳假设），二是凑目标式。4、注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。六、布置作业数学练习部分P13P14；A组1、2、3；B组1教材课后练习题P34 第3题【课后反思】【课后习题】7.5数学归纳法的应用一、填空题1若，则_2用数学归纳法证明时，需要写出当时的表达式，它与相比，应添加的项为_3用数学归纳法证明7的奇数次幂加上1是8的倍数时，在证明了时命题成立后，需要作假设，这个假设应为_4已知，则_二、选择题5. 用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在第二步时，正确的证法是 ()A假设nk(kN)，证明nk1命题成立B假设nk(k是正奇数)，证明nk1命题成立C假设n2k1(kN)，证明nk1命题成立D假设nk(k是正奇数)，证明nk2命题成立64用数学归纳法证明“n2(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开 ()A(k3)3 B(k2)3 C(k1)3 D(k1)3(k2)3三、解答题7求证：当nN*时，f(n)32n28n9能被64整除8数列中，用数学归纳法证明：。9用数学归纳法证明：。【参考答案】1答案： 2答案： 3答案：假设当时结论成立，即能被8整除。.答案：5.解析：A、B、C中，k1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k2为奇数答案：D6.解析：假设当nk时，原式能被9整除，即k2(k1)3(k2)3能被9整除当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可答案：A7.证明： (1)当n1时，f(1)64，命题显然成立(2)假设当nk(kN*，k1)时命题成立，即f(k)32k28k9能被64整除则当nk1时，32(k1)28(k1)99(32k28k9)9·8k9·98(k1)99(32k28k9)64(k1)，即f(k1)9f(k)64(k1)，nk1时命题也成立根据(1)、(2)可知，对于任意nN*，命题都成立8.证明： (1)当n1时，命题显然成立(2)假设当nk(kN*，k1)时命题成立，即则当nk1时，nk1时命题也成立根据(1)、(2)可知，对于任意nN*，命题都成立 9.证明：(1)当n2时，左边，右边 左边右边，等式成立。(2)假设当nk(kN*，k2)时等式成立，即 则当nk1时， nk1时等式也成立根据(1)、(2)可知，对于任意且时，都成立
