平面向量与空间向量(精华版) 适合高三复习用可直接打印.doc
平面向量与空间向量 例1 和= (3,4)平行的单位向量是_；错解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量就是，即 (，)错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。正解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量是，即(，)或(，)例2已知A（2，1），B（3，2），C（-1，4），若A、B、C是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D的坐标。错解：设D的坐标为（x，y），则有x-2=-1-3，y-1=4-2 ，即x=-2，y=3。故所求D的坐标为（-2，3）。错因：思维定势。习惯上，我们认为平行四边形的四个顶点是按照ABCD的顺序。其实，在这个题目中，根本就没有指出四边形ABCD。因此，还需要分类讨论。正解：设D的坐标为（x，y）当四边形为平行四边形ABCD时，有x-2=-1-3，y-1= 4-2 ，即x= -2，y= 3。解得D的坐标为（-2，3）；当四边形为平行四边形ADBC时，有x-2=3-（-1），y-1= 2-4 ，即x= 6，y= -1。解得D的坐标为（6，-1）；当四边形为平行四边形ABDC时，有x-3=-1-2，y-2= 4-1 ，即x= 0，y= 5。解得D的坐标为（0，5）。故第四个顶点D的坐标为（-2，3）或（6，-1）或（0，5）。例3已知P1(3,2)，P2（8，3），若点P在直线P1P2上，且满足|P1P|=2|PP2|，求点P的坐标。错解：由|P1P|=2|PP2|得，点P 分P1P2所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P（）错因：对于|P1P|=2|PP2|这个等式，它所包含的不仅是点P为 P1，P2 的内分点这一种情况，还有点P是 P1，P2的外分点。故须分情况讨论。正解：当点P为 P1，P2 的内分点时，P 分P1P2所成的比为2，此时解得P（）； 当点P为 P1，P2 的外分点时，P 分P1P2所成的比为-2，此时解得P（13，4）。 则所求点P的坐标为（）或（13，4）。点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。也就是分类讨论的数学思想。例4 设向量 ，则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件分析：根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可解：若，则，代入坐标得：，即且 消去，得；反之，若，则且，即 则， 故“”是“ ”的充要条件答案：C点评：本题意在巩固向量平行的坐标表示例5已知=（1，-1），=（-1，3），=（3，5），求实数x、y，使=x +y 分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可解：由题意有 x +y =x（1，-1）+y（-1，3）=（x-y，-x+3y） 又 =（3，5） x-y=3且-x+3y=5 解之得 x=7 且y=4点评：在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法例6已知A（-1，2），B（2，8），= ，= -，求点C、D和向量的坐标分析：待定系数法设定点C、D的坐标，再根据向量 ， 和 关系进行坐标运算，用方程思想解之 解：设C、D的坐标为、，由题意得 =（），=（3，6）， =（），=（-3，-6） 又= ，= - （）=（3，6）， （）=-（-3，-6） 即 ()=(1,2) ， ()=(1,2) 且，且 且 ，且 点C、D和向量 的坐标分别为（0，4）、（-2，0）和（-2，-4）小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高例1在ABC中，已知a2b2bcc2，则角A为()A BCD或错解：选A错因：公式记不牢，误将余弦定理中的“减”记作“加”。正解：a2b2bcc2b2c22bc()b2c22bc·cos A 选C.例2在ABC中，已知，试判别其形状。错解：等腰三角形。错因：忽视了两角互补，正弦值也相等的情形。直接由得，即，则。接着下结论，所求三角形为等腰三角形正解：由得，即 则或，故三角形为直角三角形或等腰三角形。例3在中，试求周长的最大值。并判断此时三角形的形状。错解：由于题目中出现了角和对边，故使用余弦定理，进一步想使用不等式或二次函数求最值错因：其实这种思路从表面上看是可行的，实际上处理过程中回遇到无法进行下去的困难。正解：由正弦定理,得a=2()sinA, b=2()sinB. a+b=2()(sinA+sinB)=4()sincos sin=sin75o= a+b=()2 cos()2=8+4. 当a=b时,三角形周长最大,最大值为8+4+. 此时三角形为等腰三角形例4在 中，其内切圆面积为，求面积。分析：题中涉及到内切圆，而内切圆直接与正弦定理联系起来了，同时正弦定理和余弦定理又由边联系起来了。解：由已知,得内切圆半径为2. 由余弦定理,得三角形三边分别为16,10,14.例5已知定点A(2,1)与定直线:3x-y+5=0,点B在上移动,点M在线段AB上,且分AB的比为2,求点M的轨迹方程.分析:向量的坐标为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,形成了代数与几何联系的新纽带 .解:设B(x0,y0),M(x,y)=(x-2,y-1),=(x0-x,y0-y),由题知=2 由于3x0-y0+5=0,3×-+5=0化简得M的轨迹方程为9x-3y+5=0例6过抛物线:y2=2px(p>0)顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB(如图),求证:直线AB过一定点,并求出这一定点.分析: 对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),有a/bx1y2-x2y1=0.可以用来处理解析几何中的三点共线与两直线平行问题.证明:由题意知可设A点坐标为(,t1),B点坐标为(,t2) =(,t1), =(,t2),OAOB,=0+t1t2=0t1t2=-4p2 设直线AB过点M(a,b),则=(a-,b-t2),=(-,t1-t2),由于向量与是共线向量,（a-）(t1-t2)= (b-t2)(-) 化简得2p(a-2p)=b(t1+t2) 显然当a=2p,b=0时等式对任意的成立直线AB过定点,且定点坐标为M(2p,0)三、经典例题例1下列所表示的空间直角坐标系的直观图中，不正确的是（） A B C D 错解：B、C、D中任选一个错因：对于空间直角坐标系的表示不清楚。有共同的原点，且两两垂直的三条数轴，只要符合右手系的规定，就可以作为空间直角坐标系正解：易知(C)不符合右手系的规定，应选(C)例2已知点A(3，1，1)，点B(2，2，3)，在Ox、Oy、Oz轴上分别取点L、M、N，使它们与A、B两点等距离错因：对于坐标轴上点的坐标特征不明；使用方程解题的思想意识不够。分析：设Ox轴上的点L的坐标为(x，0，0)，由题意可得关于x的一元方程，从而解得x的值类似可求得点M、N的坐标解：设L、M、N的坐标分别为(x，0，0)、(0，y，0)、(0，0，z)由题意，得(x3)211(x2)249，9(y1)214(y2)29，91(z1)244(z3)2分别解得，故评注：空间两点的距离公式是平面内两点的距离公式的推广：若点P、Q的坐标分别为(x1，y1，z1)、(x2，y2，z2)，则P、Q的距离为必须熟练掌握这个公式例3设，且，记，求与轴正方向的夹角的余弦值错解：取轴上的任一向量，设所求夹角为，即余弦值为错因：审题不清。没有看清“轴正方向”，并不是轴正解：取轴正方向的任一向量，设所求夹角为，即为所求例5已知空间三点A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5)，求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；若向量分别与向量垂直，且|，求向量的坐标分析：BAC60°，设(x,y,z)，则解得xyz1或xyz1，(1,1,1)或(1，1，1).例6已知正方体的棱长为，是的中点，是对角线的中点，求异面直线和的距离
